九年级（上）期末数学试卷
题号 得分
一 二 三 总分
一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）
1. 随着人们生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，
是中心对称图形的是（ ）
A.
B. C. D.
2.
2
关于 x 的一元二次方程 x -3x+m=0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围为 （ ）
A. m≥94
3.
B. m<94 C. m=94 D. m<−94
如图，点 A、B、C 都在⊙O 上，若∠C=40°，则∠AOB 的度数为 （ ）
A. B. C. D.
40∘ 50∘ 80∘ 140∘
）
4.
下列说法中正确的是（
A. B. C. D.
5.
366 人中至少有两人是同月同日生
某商场抽奖活动的中奖率为 1‰，说明每抽 1000 张奖券，一定有一张能中奖 “打开电视机，正在播放《动物世界》”是必然事件
“明天降雨的概率是 80%”表示明天有 80%的时间降雨
抛物线 y=2x2 先向右平移 3 个单位，再向下平移 5 个单位，则平移后所得的抛物线 的解析式为（
）
A. y=2(x−3)2+5 B. y=2(x+3)2−5
6.
C. y=2(x+3)2+5 B. (x−6)2=8+36 D. (x−3)2=−8+9
D. y=2(x−3)2−5
）
2 x-8=0，下列变形正确的是（ 用配方法解一元二次方程 x -6A. (x−6)2=−8+36
C. (x−3)2=8+9
7.
为执行“均衡教育”政策，某县 2015 年投入教育经费 2800 万元，预计到 2017 年底三 年累计投入 1.3 亿元．若每年投入教育经费的年平均增长率为 x，则下列方程正确 的是（ ）
A. B. C. D.
8.
2800(1+x)2=1.3
2800+2800(1+x)+2800(1+x)2=13000 2800(1+x)2=13000
2800+2800(1+x)+2800(1+x)2=1.3
如图，已知 AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点 A，点 C 是 EB 的中点，则下列结论：①OC∥AE；②OC=AE； ③∠DAE=∠ABE；④AC⊥OE，其中正确的有（ ）
A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个
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D. 1 个
9.
如图，点 B 是反比例函数图象上的一点，矩形 OABC 的周长是 16，正方形 BCFG 和正方形 OCDE 的面积之和为 32，则反比例函数的解析式为（ ）
A. y=10x B. y=16x C. y=20x D. y=30x
10. 如图，抛物线 y=ax2 +bx+c（a≠0 对称轴为直线 x=1，与 x 轴 的一个交点坐标为（-1，0），其部分图象如图所示，下列 结论：
①abc＜0；
②4ac＜b 2； bx+c=0 的两个根是 x =-1，x =3； ③方程 ax 2+1 2
④3a+c＞0；
⑤当 y≥0 时，x 的取值范围是-1≤x≤3． 其中结论正确的个数是（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 D. 4 个
二、填空题（本大题共 6 小题，共 30.0 分） 11. 点 P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是______． 12. 某种油菜籽在相同条件下发芽试验的结果如表：
每批粒数 n 发芽的频数 m 发芽的频率 mn
100
300
400
600
1000
2000
3000
96 0.960
284 0.947
380 0.950
571 0.952
948 0.948
1902 0.951
2848 0.949
2 那么这种油菜籽发芽的概率是______（结果精确到 0.01）．
1 2 1 2
13. 点 A（-3，y ），B（2，y ）在抛物线 y=-x -3x+c 上，则 y ______y ．（填“＞”，“＜” 域或“=”）
14. 如图是一段弯形管道，其中，∠O=∠O′=90°，中心线的
两条圆弧半径都为 1m，则图中管道的展直长度是 ______m．（结果保留 π）
15. 如图，在扇形 OEF 中，∠EOF=90°，正方形 ABCD 的顶点 C 是弧 EF 的中点，点 D 在 OF 上，点 A 在 OF 的延长线上，正方形 ABCD 的边长为 1，则图中阴影部分的 面积为______．
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16. 已知正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 边长均为 2，把正 方形放在正六边形中，使 OK 边与 AB 边重合，如图所示， 按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点 B 顺时针旋 转，使 KM 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C 顺 时针旋转，使 MN 边与 CD 边重合，完成第二次旋转；…在 这样连续 6 次旋转的过程中，点 B，M 之间距离的最小值是 ______． 三、解答题（本大题共 8 小题，共 80.0 分） 17. 解下列方程：
（1）x2
-2 x-1=0 （2）（x-2） 2=3 （x-2） 18. 如图，在平面直角坐标系中 △，ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，4），B（4，2），（3，5）（每个方格的边长均为 1 个单位长度）．
（1） △将ABC 绕点 O 逆时针旋转 90°，画出旋转后得到 的△A B 1 C1 ；1 （1）写 出△A 1B 1C 1 的顶点坐标：A 1______ ，B 1______ ，C ______1
． （3）若 P（a，b）是 AB 边上任意一点，则旋转后它的对应点 P 1的
坐标是______．19. 正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y=kx 的图象有一个交点的纵坐标是 2． （1）求 k 的值；
（2）当 x 在什么范围时，正比例函数的函数值大于反比例函数的函数值？
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C
20. 为创建“绿色校园”，某学校准备将校园内一块长 34m，宽 20m
的长方形空地建成一个矩形花园，要求在花园中修两条纵向平 行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要 使种植花草的面积为 608m2，那么小道进出口的宽度应为多少
米？（注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形）
21. 小明进行“抛硬币游戏”，他抛了 3 次，结果两次正面向上，一次反面向上．
（1）他认为抛一次硬币正面向上的概率是 23，你认为他的说法正确吗？请说明理 由．
（2）如果连续抛 3 次硬币，恰好出现 2 次正面向上的概率是多少？请通过列举法 进行计算．
22. 如图，⊙O △是ABC 的外接圆，圆心 O 在 AB 上，M 是 OA 上 一点，过 M 作 AB 的垂线交 BC 的延长线于点 E，点 F 是 ME 上的一点，且 EF=CF．
（1）求证：直线 CF 是⊙O 的切线；
（2）若∠B=2∠A，AB=8，且 AC=CE，求 BM 的长．
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23. 某服装公司试销一种新款服装，每件成本为 210 元，销售单价定为 300 元，在试销 期间，为了促销，鼓励商家购买该服装，公司决定商家一次购买这种服装不超过 15 件，每件按 300 元销售；若一次购买该服装超过 15 件时，每增加一件所购买的 全部服装的销售单价均降低 2 元，但销售单价均不低于 250 元．
（1）商家一次购买该服装多少件时，销售单价恰好为 250 元？
（2）设商家一次购买这款服装 x 件，服装公司所获得利润为 y 元，求 y 与 x 之间的 函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
（2）该公司的销售人员发现：当商家一次购买服装的件数超过某一数量时，会出 现随着一次购买数量的增多，公司所获得利润反而减少这一情况，为使商家一次购 买的数量越多公司所获得利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其他 销售条件不变）
24. 如图 1，已知点 O 为正方形 ABCD 的对角线的交点，∠EOF=90°，∠EOF 绕着 O 点 按逆时针方向旋转 α 角度，0°≤α≤180°，其中边 OE 从 OC 开始旋转，OE 与 OF 分 别交正方形的边于 M，N 两点．
（1）求证：OM=ON；
（2）如图 2，把题目条件中的“正方形 ABCD”改为“菱形 ABCD”，∠BAD=∠EOF=60°， 其他条件不变，当 α 度数在什么范围时，OM=ON 仍成立，并说明理由； （3）如图 3，把题目条件中的“正方形 ABCD”改为“菱形 ABCD”，∠BAD=∠EOF=β （β 为锐角），其他条件不变，当 α 度数在什么范围时，OM=ON 仍成立请直接写 出结论．（用含 β 的式子表示）
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】
解：A、是中心对称图形，故本选项正确；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：A．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图 形旋转 180 度后与原图形重合．
2.【答案】B
【解析】
解：∵方程有两个不相等的实数根，a=1，b=-3，c=m，
∴=△b
2 2-4×
-4ac=（-3） 1×m＞0，
解得 m＜ ．
故选：B．
若一元二次方程有两不等根，则根的判别式=△b△ 等 式，求出 m 的取值范围．
2
-4ac＞0，建立关于 m 的不
本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的△ 关系： （1）△＞△ 0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）=△0△ ⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜△ 0⇔方程没有实数根．
3.【答案】C
【解析】
解：∵∠C=40°，
∴∠AOB=2∠C=80°．
故选：C．
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根据 圆周角定理：同弧所 对的圆周角等于 圆心角的一半，可得到 ∠AOB=2∠C ， 即而得到答案．
此题主要考查了圆周角定理，关键是找准同弧所对的圆周角和圆心角个是哪 一个．
4.【答案】A
【解析】
解：A、366 人中至少有两人是同月同日生，正确；
B、某商场抽奖活动的中奖率为 1‰，是随机事件，不一定每抽 1000 张奖券， 一定有一张能中奖，故本选项错误；
C、“打开电视机，正在播放《 动物世界》”是随机事件，故本选项错误；
D、“明天降雨的概率是 80%”表示明天降雨的可能性大，但不一定是明天有 80%的时间降雨，故本选项错误；
故选：A．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机
事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指
在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件 下，可能发生也可能不发生的事件．
5.【答案】D
【解析】
解：抛物线 y=2x 2 的顶点坐标为（0，0），
向右平移 3 个单位长度，再向下平移 5 个单位长度后的图象的顶点坐标为（3， -5），
所以，所得图象的解析式为 y=2（x-3） 2-5．
故选：D．
先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐 标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
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本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利 用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】
2
解：x -6x-8=0， 2 x -6x=8， 2 x -6x+9=8+9， 2=17 （x-3） ，
故选：C．
移项，配方，即可得出答案．
本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．
7.【答案】B
【解析】
解：设每年投入教育经费的年平均增长率为 x，
2=13000 根据题意得：2800+2800（1+x）+2800（1+x） ．
故选：B．
设每年投入教育经费的年平均增长率为 x，根据三年累计投入 1.3 亿元．即可 得出关于 x 的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元 二次方程是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】
解：∵C 为
中点，即
=
，
∴OC⊥BE， ∴∠BFO=90°，
∵AB 为圆 O 的直径， ∴AE⊥BE，即∠BEA=90°， ∴∠BFO=∠BEA，
∴OC∥AE，选项①正确；
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∵△AOE 不一定是等边三角形，
∴AE 不一定等于 OC，故②错误， ∵AD 为圆的切线，
∴∠DAB=90°，即∠DAE+∠EAB=90°， ∵∠EAB+∠ABE=90°，
∴∠DAE=∠ABE，选项③正确；
点 E 不一定为
中点，故选项④错误，
则结论成立的是①③，
故选：C．
由 C 为弧 EB 中点，利用垂径定理的逆定理得到 OC 垂直于 BE，再由 AB 为直
径，利用圆周角定理得到 AE 垂直于 BE，进而得到一对直角相等，利用同位角
相等两直线平行得到 OC 与 AE 平行，利用的等角余角相等可以证明③正确，
因为△AOE 不一定是等边三角形，故②错误，因为点 E 不一定是
的中点，
故④错误．
此题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，以及垂径定理，熟练掌 握性质及定理是解本题的关键．
9.【答案】B
【解析】
解：设 B 点坐标为（x，y），
2+y 2根据题意得 x =32，x+y=8，
∴（x+y）=64，
2
∴x +2xy+y =64，即 32+2xy=64， ∴xy=16，
2 2
∴反比例函数的解析式为 y= 故选：B．
．
设 B 点坐标为（x，y），根据正方形 BCGH 和正方形 OCDF 的面积之和为 32，
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矩形 OABC 的周长是 16 得到 x +y =32，x+y=8，再利用完全平方公式可得到 xy=16，然后根据反比例函数的比例系数 k 的几何意义可确定其解析式．
2 2
本题考查了反比例函数的比例系数 k 的几何意义：在反比例函数 y= 图象中
任取一点，过这一个点向 x 轴和 y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积 是定值|k|．
10.【答案】D
【解析】
解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在 y 轴的右侧，
∴-
＞0，
∴b＞0，
∵抛物线交 y 轴的正半轴， ∴c＞0，
∴abc＜0，故①正确；
∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，
∴b2 -4ac＞0，
2
∴＞4ac，故②正确； b
∵抛物线的对称轴为直线 x=1，
而点（-1，0）关于直线 x=1 的对称点的坐标为（3，0），
2
1 2
∴方程 ax +bx+c=0 的两个根是 x =-1，x =3，故③正确； ∵x=-
=1，即 b=-2a，
而 x=-1 时，y=0，即 a-b+c=0，
∴a+2a+c=0，即 3a+c=0，故④错误；
∵抛物线与 x 轴的两点坐标为（-1，0），（3，0），
∴当-1≤x≤3 时，y≥0，故⑤正确；
故选：D．
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利由抛物线的位置可对①进行判断；用抛物线与 x 轴的交点个数可对②进行
判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（3，0），则可
对③进行判断；由对称轴方程得到 b=-2a，然后根据 x=-1 时函数值为 0 可得到
3a+c=0，则可对④进行判断；根据抛物线在 x 轴上方所对应的自变量的范围 可对⑤进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系： 对于二次函数 y=ax2 +bx+c（a≠0），二 次项系数 a 决定抛物线的开口方向和大小：当 a＞0 时，抛物线向上开口；当 a
＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位
置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左；当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），
对称轴在 y 轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点位置：抛物线与 y 轴交于（0，
c）；抛物线与 x 轴交点个数由△决△ 定：=△b△ 2
2
-4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交
2
点 △；=b -4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点 △；=b -4ac＜0 时，抛物线与 x 轴 没有交点．
11.【答案】（3，-4）
【解析】
解：根据中心对称的性质，得点 P（-3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，-4）．
本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点 P（x，y），关于原点的对称点 是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆． 12.【答案】0.95
【解析】
解：观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在 0.95 附近，
则这种油菜籽发芽的概率是 0.95，
故答案为：0.95．
观察表格得到这种油菜籽发芽的频率稳定在 0.95 附近，即可估计出这种油菜 发芽的概率．
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此题考查了利用频率估计概率，从表格中的数据确定出这种油菜籽发芽的频 率是解本题的关键．
13.【答案】＞
【解析】
解：∵抛物线 y=-x -3x+c 的开口向下，对称轴是直线 x=- ∵|-3+ |＜|2+ |
2
=- ，
∴y ＞y ，
1
2
故答案为＞．
根据二次函数的解析式得出图象的开口向上，对称轴是直线 x=- ，根据 A、B 两点离对称轴的远近即可判断．
本题考查了二次函数图象上点坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和增 减性，比较简单．
14.【答案】（π+3）
【解析】
解：图中管道的展直长度=
+ +3
=π+3，
故答案为：π+3．
根据弧长公式，结合图形计算即可．
本题考查的是弧长的计算，掌握弧长公式：l= 圆的半径为 R）是解题的关键．
（弧长为 l ，圆心角度数为 n，
15.【答案】14π-12
【解析】
解：连接 OC，．
∵在扇形 AOB 中∠EOF=90°，正方形 ABCD 的顶点 C 是 ∴∠COF=45°， ∴OC= CD=
的中点，
，
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∴阴影部分的面积=扇形 FOC 的面积-三角形 ODC 的面积
=
×π×（
）2 - ×12
= π- ．
故答案为 π- ．
连结 OC，根据勾股定理可求 OC 的长，根据题意可得出阴影部分的面积=扇 形 FOC 的面积-三角形 ODC 的面积，依此列式计算即可求解．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定，扇形 面积的计算，解题的关键是学会用分割法求阴影部分的面积．
16.【答案】4-22
【解析】
解：如图，在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点 B，M 间的距离大于等于 4-2
小于等于 4，
∴B，M 之间距离的最小值是 4-2
．
故答案为：4-2 ．
如图，在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 的运动轨迹是图中的红线，观察图
象可知点 B，M 间的距离大于等于 4-2
小于等于 4，由此即可判断．
本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点 M 的运动轨迹， 利用图象解决问题，题目有一定的难度．
-1=0， 17.【答案】解：（1）x 2-2x2-2 x=1， x
-2x+1=1+1， x2
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2=2 ， （x-1）
x-1=±2，
x 2，x 2=1-2； 1=1+
（x-2）， （2）（x-2） 2=32-3 （x-2）=0， （x-2） （x-2）（x-2-3）=0， x-2=0，x-2-3=0， x =2，x =5． 1 2 【解析】
（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能够选择适当的方法解方程是解此题的关键． 18.【答案】（-4，1） （-2，4） （-5，3） （-b，a）
【解析】
解：（1）如图所示，△A△ B C 即为所求．
1 1 1
（2）由图知 A （-4，1），B （-2，4），C （-5，3），
1
1
1
故答案为：（-4，1），（-2，4），（-5，3）．
（3）旋转后点 P（a，b）的对应点 P 的坐标是（-b，a），
1
故答案为：（-b，a）．
（1）分别作出点 A，B，C 绕点 O 逆时针旋转 90°所得对应点，再首尾顺次连接 即可得；
（2）根据所作图形可得三点坐标；
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（3）由线段 AB 上特殊点在旋转变换中的变化规律可得答案．
本题主要考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转变换的定义和性质，并据此得出 变换后的对应点是解题的关键．
19.【答案】解：（1）∵正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y=kx 的图象有一个交点的 纵坐标是 2，
∴将 y=2 代入 y=x 得：x=2， ∴交点坐标为（2，2），
将 x=2，y=2 代入反比例函数解析式得：2=k2， 解得：k=4；
（2）函数图象如图所示．
设正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y=kx 的图象交于点 A、B，如果 A（2，2），那么 B（-2，-2）．
由图象可知，当正比例函数值大于反比例函数值时， 自变量 x 的取值范围是-2＜x＜0 或 x＞2． 【解析】
（1）由正比例函数与反比例函数的一个交点纵坐标为 2，将 y=2 代入正比例函
数解析式中求出交点的横坐标，确定出交点坐标，将交点坐标代入反比例函 数解析式中，即可求出 k 的值；
（2）画出草图，设正比例函数 y=x 的图象与反比例函数 y= 的图象交于点 A、
B，如果 A（2，2），那么根据反比例函数的对称性得出 B（-2，-2）．再根据图象
找出正比例函数落在反比例函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围 即可．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用了数形结合的思想，两 函数的交点即为两函数图象的公共点，此点满足两函数解析式．
20.【答案】解：设小道进出口的宽度为 x 米，依题意得
（34-2x）（20-x）=608，
整理，得 x 2-37x+36=0．
解得 x =1，x 2=36，
1
∵36＞20（不合题意，舍去）， ∴x=1．
答：小道进出口的宽度应为 1 米． 【解析】
设小道进出口的宽度为 x 米，然后利用其种植花草的面积为 608m 2列出方程
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求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找到正确的等量关系并列出 方程．
21.【答案】解：（1）他的说法错误，
∵抛一次硬币有 2 种等可能结果，其中正面向上的只有 1 种， ∴抛一次硬币正面向上的概率是 12；
（2）画树状图为：
共有 8 种等可能的结果数，其中恰好出现 2 次正面向上的有 3 种结果， 所以恰好出现 2 次正面向上的概率是 38． 【解析】
（1）由抛一次硬币有 2 种等可能结果，其中正面向上的只有 1 种，根据概率公 式求解可得；
（2）利用树状图可展示所有 8 种等可能的结果数，找出 2 次正面向上的结果数， 然后根据概率公式求解．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可
以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树
状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是 不放回实验．
22.【答案】（1）证明：如图，连接 OC，设 EM 交 AC 于 H．
∵AB 是直径，
∴∠ACB=∠ACE=90°， ∵FE=FC， ∴∠E=∠FCE，
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∴∠E+∠CHE=90°，∠FCE+∠FCH=90°， ∴∠FCH=∠FHC， ∵∠A+∠AHM=90°，∠AHM=∠FHC=∠FCH， ∴∠FCH+∠A=90°， ∵OC=OA， ∴∠A=∠OCA，
∴∠FCH+∠OCA=90°， ∴∠FCO=90°， ∴FC⊥OC，
∴CF 是⊙O 的切线．
（2）解：在 △RtABC 中，∵∠ACB=90°，AB=8，∠B=2∠A ∴∠A=30°，
∴BC=12AB=4，AC=3BC=43， ∵AC=CE， ∴CE=43，
∴BE=BC+CE=4+43，
在 △RtBEM 中，∠BME=90°，∠E=30° ∴BM=12BE=2+23． 【解析】
（1）如图，连接 OC，设 EM 交 AC 于 H．想办法证明∠FCO=90°即可解问题；
（2）利用含 30 度的直角三角形三边的性质得出 BC= AB=4，AC=
BC=4
，则 CE=4
，所以 BE=BC+CE=4+4 ，然后在 Rt△BEM 中计算出 BM=
BE 即可．
本题考查了切线的判定定理： 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆
的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为 半径），再证垂直即可．也考查了含 30 度的直角三角形三边的关系．
23.【答案】解：（1）设件数为 x，依题意，得 300-2（x-15）=250，解得 x=40，
答：商家一次购买这种产品 40 件时，销售单价恰好为 250 元；
（2）当 0≤x≤15 时，y=（300-210）x=90x，
2 当 15＜x≤40 时，y=[300-2（x-15）-210]x，即 y=-2x +120x，
当 x＞40 时，y=（250-210）x=40x
∴y=90x(0≤x≤15，且 x 为整数)−2x2+120x(15＜x≤40，且 x 为整数)40x(x＞40，且 x 为整数)；
（3）由 y=-2x 2+120x 可知抛物线开口向下，当 x=-1202×(−2)=30 时，利润 y 有最大值， 此时，销售单价为 300-2（x-15）=270 元，
答：公司应将最低销售单价调整为 270 元． 【解析】
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（1） 设件数为 x，则销售单价为 300-2（x-15）元，根据销售单价恰好为 250 元， 列方程求解；
（2）由利润 y=（销售单价-成本单价）×件数，及销售单价均不低于 250 元，按 0≤x≤15，15＜x≤40，x＞40 三种情况列出函数关系式；
（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大 值时 x 的值，确定销售单价．
本题考查了二次函数的运用．关键是明确销售单价与销售件数之间的函数关 系式，会表达单件的利润及总利润．
24.【答案】证明：（1）∵四边形 ABCD 是正方形．
∴AC⊥BD，OB=OC，∠ABD=∠ACB=45°， ∴∠BOE+∠COM=90°， ∵∠EOF=90°，
∴∠BOE+∠BON=90°，
∴∠BON=∠COM，OB=OC，∠ABD=∠ACB， ∴△BNO≌△CMO（ASA） ∴OM=ON．
（2）如图 2 中，当 30°≤α≤90°时，OM=ON 仍成立．
理由：当 30°≤α≤90°时，点 M 在线段 BC 上，点 N 在线段 AB 上，作 OG⊥AB 于 G，OH⊥BC 于 H，
∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB=AD=CD=BC， ∵∠BAD=60°，
∴△ABD 是等边三角形， ∴AD=AB=DB， ∴CD=BC=DB，
∴△BCD 是等边三角形， ∴∠ABD=∠CBD=60°，
∵OG⊥AB 于 G，过点 OH⊥BC 于 H， ∴OG=OH，∠OGB=∠OHB=90°， ∴∠BOG=∠BOH=30°， ∴∠MON=∠HOG=60°， ∴∠GON=∠HOM，
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∴△OGN≌△OHM（ASA）， ∴OM=ON．
（3）如图 3 中，当 β2≤α≤90°时，OM=ON 仍成立．
理由：当 β2≤α≤90°时，点 M 在线段 BC 上，点 N 在线段 AB 上，作 OG⊥AB 于 G，OH⊥BC 于 H，
∵四边形 ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠CBD，
∵OG⊥AB 于 G，过点 OH⊥BC 于 H， ∴OG=OH，∠OGB=∠OHB=90°， ∴∠GOH+∠ABC=180°， ∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°， ∵∠BAD=∠MON， ∴∠MON=∠HOG， ∴∠GON=∠HOM，
∴△OGN≌△OHM（ASA）， ∴OM=ON． 【解析】
（1）欲证明 OM=ON，只要证明△BNO≌△CMO（ASA）即可；
（2）如图 2 中，当 30°≤α≥90°时，OM=ON 仍成立．过点 OG⊥AB 于 G，过点 OH⊥BC 于 H，只要证明△OGN≌△OHM（ASA）即可；
（3）如图 3 中，当
≤α≤90°时，OM=ON 仍成立．过点 OG⊥AB 于 G，过点
OH⊥BC 于 H，只要证明△OGN≌△OHM（ASA）即可；
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全
等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添 加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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