《计量经济学》课程中有关的证明过程

有关的证明过程

1． 线性特性

xiyixi(YiY)ˆ222xxii

xixiYi2YxiKYii2xi

ˆ1Yˆ2XYXKiYi 11YiKiXYiKiXYinn

2． 无偏性

ˆ2KiYiKi(12Xiui)

Ki1Ki2XiKiui 1Ki2KiXiKiui

xi（XiX)0Ki222xixixi其中：

xi(XiXX)KiXi2Xi2xixi

xixixi(XiX)xiX2xi

xi2Xxi

xi211xi

xi2ˆ故有：22Kiui

ˆ2E(2Kiui)2KiEui2E 1ˆ1KiXYin

1KiX12Xiuin

1n2Xinuin

1KiX2KiXXiKiXui

12Xu1XKi2XKiXiXKiui

11(XKi)ui n1ˆE11(KiX)Eui1 n3． 有效性

首先讨论参数估计量的方差。

ˆ2)E(ˆ2E(ˆ2))2 Var(ˆ22)2E((2E(2Kiui(K1u1K2u2Knun)(K1u1K2u2Knun)Kiui)2)E(2Kiui)2(Kiui)2KiKjuiujij

E(K2iui)2E(Kiui)EKiKjuiujij

K2i2Eui22x2i2xixi2 Var(ˆ)2即：

2xi2

同理有：

Var(ˆ)2X1i2nxi2

Var(ˆ1)E(ˆ1E(ˆ1))2E(1nKiXui)2

212nKiXui1nKiX2ui



ˆ1)2Var(211KXKXijuiujnnij

1KXin

2KiX(22Ki2X2)n n1

Ki222Xnn22Ki2X2

n22(Xi)2n2xi2

n(2n2xi2)(Xi2xi2Xi)2

2n(nX)n21n(Xi)2xi2

2nxi2

Xi2显然各自的标准误差为：

ˆ)se(2ˆ1)se(xi2，

nxi2

Xi2标准差的作用：衡量估计值的精度。

由于σ为总体方差，也需要用样本进行估计。

ˆ2ei2n2

证明过程如下：

回顾:Yi12Xiui 因此有： Y12Xu

那么：(YiY)yi(12Xiui)(12Xu) 2xi(uiu)

ˆeyi2xi， 根据定义：i（实际观测值与样本回归线的差值） 则有：

ˆ2xi(uiu)(ˆ22)xiei(2xi(uiu))

两边平方，再求和：

ei2(uiu)2ˆ22)xi2(uiu)(ˆ22)xi)2((

ˆ)2(22xi2ˆ)(uiu)22(22(uiu)xi

对上式两边取期望有：

E(ei2)ˆ)2xi2E(22

E(ˆ(uiu)2)2E22(uiu)xi

ABC

A其中：

BExi22xi22

21ui2nEu2n2nE2(nui)2

1nE(n2ui2uiuj)ij

1n(n2)(n1)2n C2Exiuiuxuxi2iixi

2Exiui2ˆ)2x22E(22i2xi

xi222xi2

22

故有：Eei2(n1)2

2Eei2即有：

n2， i2令

ˆ2en2，则问题得证。

关于ei2的计算：

ei2yi2ˆ22xi2yi2ˆ2xiyi

关于R2R2的证明：

R211R2n1nk1a1R2，其中：当 k1a1

R211R2n111R2R2n1 当k1a1，当0R21时，有：

R2R2R211R2a

R21aaR2

a1R2a1 a11R20

a1。

R2R2 Q.E.D.

关于R2可能小于0的证明。 设：Yt2Xtut 则有：

22ˆJminetminYt2Xtˆ2ˆ2

J0ˆ2那么 

ˆ2XtXtXtet02Yt J0ˆ1但：et0，因为没有存在。

同时，还有：

ˆ Y2Xe ˆ YtY2XtYet

ˆ2Xtˆ2Xeet ˆ2XtXete

TSS222YYYnYtt 2ˆ2XtXete

  2ˆ2XtXete22ˆ2XtXete

其中：

XtXeteXteteXete

XteteXt0

1etnneteetneet0，

和 Xtet0

XtXetenXe

则：

222ˆ2ˆ2nXe TSSXXee2tt222222ˆˆˆXnXene2 2t2t2nXe 222222ˆˆˆXene2nXent 2t22X

222ˆ2ˆ2ˆ2Xee2 X2Xt2et2n考虑到：

222ˆˆ2ˆ2Xee2 nYn2XenX222Yt2222ˆˆˆXeX2Xee2tt2ttt 2t222ˆXet 2t若定义

TSS2ˆ2Yt2nY2Xt222ˆ2ˆ2Xee2et2nX2

2ˆ2RSSTSSXt2

et2

222ˆ2ˆ2Xee2ˆ2RSSTSSnX2Xt2

21ˆn2n 2ˆXeeˆ2Xt2222Xt2

2ˆ2nXt2n2ˆ2Xee2ˆ22Xt2

Xt2tsˆ2n2ˆXee2ˆ2XtXsn222Xt2

2ˆ2n12ˆ2Xt2ntsˆ2Xee2XtXsn2

可能小于0。