1．下列各数中，比﹣2小的数是（ ）A．﹣3
B．﹣1
C．0
D．2
2．如图所示几何体的俯视图是（ ）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
A．B．C．D．
3．我市今年一季度国内生产总值为77643000000元，这个数用科学记数法表示为（ ）A．0.77643×1011B．7.7643×10114．下列计算正确的是（ ）
C．7.7643×1010
D．77643×106
A．x2+x2=x4B．2x3﹣x3=x3C．x2•x3=x6D．（x2）3=x5
5．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）A．点数都是偶数B．点数的和为奇数C．点数的和小于13D．点数的和小于2
6．化简的结果是（ ）
A．﹣1B．1C．D．
7．如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）
第1页（共22页）
A．B．C．D．
8．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）=45B． x（x+1）=45C．x（x﹣1）=45D．x（x+1）=45
9．小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（ ）A．1次B．2次C．3次D．4次
10．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（ ）
A．6B．2+1C．9D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．因式分解：x2﹣6x+9= ．12．如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′= ．
13．如图，△ABC的外接圆O的半径为2，∠C=40°，则的长是 ．14．不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率是 ．15．如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90°，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”（阴影部分），若菱形的一个内角为60°，边长为2，则该“星形”的面积是 ．
第2页（共22页）
17．计算：
﹣|﹣|+2﹣1．
18．解方程：
﹣
=2．
16．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= ．
三、解答题
19．如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；
（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．
20．保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC，已知
BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
21．请用学过的方法研究一类新函数y=（k为常数，k≠0）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y=的图象；
（2）对于函数y=，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
第3页（共22页）
22．为了保护视力，学校开展了全校性的视力保健活动，活动前，随机抽取部分学生，检查他们的视力，结果如图所示（数据包括左端点不包括右端点，精确到0.1）；活动后，再次检查这部分学生的视力，结果如表所示．分组频数24.0≤x＜4.2
34.2≤x＜4.4
54.4≤x＜4.6
84.6≤x＜4.8
174.8≤x＜5.0
55.0≤x＜5.2
（1）求所抽取的学生人数；
（2）若视力达到4.8及以上为达标，估计活动前该校学生的视力达标率；
（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度分析活动前后相关数据，并评价视力保健活动的效果．
第4页（共22页）
23．定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．
（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；
（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．
（3）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．
24．【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“
”键求算术平方根，运
算结果越来越接近1或都等于1．
【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．
也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确定点（x1，y1），再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点（x2，y1），然后再x轴上确定对应的数x2，…，以此类推．
【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．
（1）若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；（2）若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；
（3）①若k=﹣，b=2，已在x轴上表示出x1（如图2所示），请在x轴上表示x2，x3，x4，并写出研究结论；
②若输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）
第5页（共22页）
2016年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
1．下列各数中，比﹣2小的数是（ ）A．﹣3
B．﹣1
C．0
D．2
【考点】有理数大小比较．
【分析】先根据正数都大于0，负数都小于0，可排除C、D，再根据两个负数，绝对值大的反而小，可得比﹣2小的数是﹣3．
【解答】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣3＜﹣2．故选：A．
2．如图所示几何体的俯视图是（ ）
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上往下看，得一个长方形，由3个小正方形组成．故选D．
3．我市今年一季度国内生产总值为77643000000元，这个数用科学记数法表示为（ ）A．0.77643×1011B．7.7643×1011C．7.7643×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．
D．77643×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将77643000000用科学记数法表示为：7.7643×1010．故选：C．
4．下列计算正确的是（ ）
A．x2+x2=x4B．2x3﹣x3=x3C．x2•x3=x6D．（x2）3=x5
【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法．
【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则和幂的乘方运算法则分别化简求出答案．
第6页（共22页）
【解答】解：A、x2+x2=2x2，故此选项错误；B、2x3﹣x3=x3，正确；
C、x2•x3=x5，故此选项错误；D、（x2）3=x6，故此选项错误；故选：B．
5．质地均匀的骰子六个面分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，得到向上一面的两个点数，则下列事件中，发生可能性最大的是（ ）A．点数都是偶数B．点数的和为奇数C．点数的和小于13D．点数的和小于2【考点】列表法与树状图法；可能性的大小．
【分析】先画树状图展示36种等可能的结果数，然后找出各事件发生的结果数，然后分别计算它们的概率，然后比较概率的大小即可．【解答】解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其中点数都是偶数的结果数为9，点数的和为奇数的结果数为18，点数和小于13的结果数为36，点数和小于2的结果数为0，所以点数都是偶数的概率==，点数的和为奇数的概率==1，点数和小于2的概率=0，
所以发生可能性最大的是点数的和小于13．故选C．
=，点数和小于13的概率
6．化简的结果是（ ）
A．﹣1B．1C．D．
【考点】约分．
【分析】根据完全平方公式把分子进行因式分解，再约分即可．
【解答】解：故选D．
==；
第7页（共22页）
7．如图，数轴上点A，B分别对应1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M对应的数是（ ）
A．B．C．D．【考点】勾股定理；实数与数轴．
【分析】直接利用勾股定理得出OC的长，进而得出答案．【解答】解：如图所示：连接OC，由题意可得：OB=2，BC=1，则AC=
=
，
．
故点M对应的数是：故选：B．
8．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）=45B． x（x+1）=45
C．x（x﹣1）=45
D．x（x+1）=45
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）=45．
【解答】解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1），∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）=45，第8页（共22页）
故选A．
9．小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了（ ）A．1次B．2次C．3次D．4次【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由折叠得出四个角相等的四边形是矩形，再由一组邻边相等，即可得出四边形是正方形．
【解答】解：小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了3次；理由如下：
小红把原丝巾对折两次（共四层），如果原丝巾的四个角完全重合，即表明它是矩形；沿对角线对折1次，若两个三角形重合，表明一组邻边相等，因此是正方形；故选：C．
10．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（ ）
A．6B．2+1C．9【考点】切线的性质．
D．
【分析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，
P2Q2最大值=5+3=8，由此不难解决问题．
【解答】解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，∵AB=10，AC=8，BC=6，∴AB2=AC2+BC2，∴∠C=90°，∵∠OP1B=90°，∴OP1∥AC∵AO=OB，∴P1C=P1B，∴OP1=AC=4，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1=1，
第9页（共22页）
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值=5+3=8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9．故选C．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分11．因式分解：x2﹣6x+9= （x﹣3）2 ．
【考点】因式分解-运用公式法．
【分析】直接运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：x2﹣6x+9=（x﹣3）2．
12．如图，把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，则顶点C平移的距离CC′= 5 ．
【考点】平移的性质．
【分析】直接利用平移的性质得出顶点C平移的距离．
【解答】解：∵把三角板的斜边紧靠直尺平移，一个顶点从刻度“5”平移到刻度“10”，∴三角板向右平移了5个单位，∴顶点C平移的距离CC′=5．故答案为：5．
13．如图，△ABC的外接圆O的半径为2，∠C=40°，则
的长是 π ．【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算．第10页（共22页）
∴
的长是
=
．
故答案为：π．
14．不透明袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率是 ．【考点】列表法与树状图法．
【分析】先画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的球都是黄球的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：
【分析】由圆周角定理求出∠AOB的度数，再根据弧长公式：l=度数为n，圆的半径为R）即可求解．【解答】解：∵∠C=40°，∴∠AOB=80°．
（弧长为l，圆心角
共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为4，所以两次摸出的球都是黄球的概率=．
故答案为．
15．如图，把一个菱形绕着它的对角线的交点旋转90°，旋转前后的两个菱形构成一个“星形”（阴影部分），若菱形的一个内角为60°，边长为2，则该“星形”的面积是 6
﹣6 ．
【考点】旋转的性质；菱形的性质．
【分析】根据菱形的性质以及AB=2，∠BAD=60°，可得出线段AO和BO的长度，同理找出A′O、D′O的长度，结合线段间的关系可得出AD′的长度，通过角的计算得出
∠AED′=30°=∠EAD′，即找出D′E=AD′，再通过解直角三角形得出线段EF的长度，利用分割图形法结合三角形的面积公式以及菱形的面积公式即可求出阴影部分的面积．
第11页（共22页）
【解答】解：在图中标上字母，令AB与A′D′的交点为点E，过E作EF⊥AC于点F，如图所示．
∵四边形ABCD为菱形，AB=2，∠BAD=60°，∴∠BAO=30°，∠AOB=90°，∴AO=AB•cos∠BAO=同理可知：A′O=∴AD′=AO﹣D′O=
，BO=AB•sin∠BAO=1．
，D′O=1，﹣1．
∵∠A′D′O=90°﹣30°=60°，∠BAO=30°，∴∠AED′=30°=∠EAD′，∴D′E=AD′=
﹣1．
﹣1，∠ED′F=60°，
在Rt△ED′F中，ED′=
∴EF=ED′•sin∠ED′F=．
﹣6．
∴S阴影=S菱形ABCD+4S△AD′E=×2AO×2BO+4×AD′•EF=6故答案为：6
﹣6．
16．竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t= 1.6 ．【考点】二次函数的应用．
【分析】设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y=a（t﹣1.1）2+h，根据题意列出方程即可解决问题．
【解答】解：设各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度为h，这个最大高度为h，则小球的高度y=a（t﹣1.1）2+h，
第12页（共22页）
由题意a（t﹣1.1）2+h=a（t﹣1﹣1.1）2+h，
解得t=1.6．
故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同．故答案为1.6．
三、解答题
﹣|﹣|+2﹣1．
17．计算：
【考点】实数的运算；负整数指数幂．
【分析】原式利用算术平方根定义，绝对值的代数意义，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2﹣+=2．
18．解方程：﹣=2．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x+1=2x﹣14，
解得：x=15，
经检验x=15是分式方程的解．
19．如图，点P在矩形ABCD的对角线AC上，且不与点A，C重合，过点P分别作边AB，AD的平行线，交两组对边于点E，F和G，H．（1）求证：△PHC≌△CFP；
（2）证明四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，并直接写出它们面积之间的关系．
第13页（共22页）
【考点】矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由矩形的性质得出对边平行，再根据平行线的性质得出相等的角，结合全等三角形的判定定理AAS即可得出△PHC≌△CFP；
（2）由矩形的性质找出∠D=∠B=90°，再结合对边互相平行即可证出四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形，通过角的正切值，在直角三角形中表示出直角边的关系，利用矩形的面积公式即可得出两矩形面积相等．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
，
∴△PHC≌△CFP（ASA）．
∴AB∥CD，AD∥BC．∵PF∥AB，∴PF∥CD，
∴∠CPF=∠PCH．∵PH∥AD，∴PH∥BC，
∴∠PCF=∠CPH．
在△PHC和△CFP中，
（2）∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=∠B=90°．
又∵EF∥AB∥CD，GH∥AD∥BC，
∴四边形PEDH和四边形PFBG都是矩形．∵EF∥AB，
∴∠CPF=∠CAB．
在Rt△AGP中，∠AGP=90°，PG=AG•tan∠CAB．
在Rt△CFP中，∠CFP=90°，CF=PF•tan∠CPF．
S矩形DEPH=DE•EP=CF•EP=PF•EP•tan∠CPF；
S矩形PGBF=PG•PF=AG•PF•tan∠CAB=EP•PF•tan∠CAB．∵tan∠CPF=tan∠CAB，
∴S矩形DEPH=S矩形PGBF．
20．保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC，已知
BC=30cm，AC=22cm，∠ACB=53°，他的这种坐姿符合保护视力的要求吗？请说明理由．（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
第14页（共22页）
【考点】解直角三角形的应用．
【分析】根据锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而结合勾股定理得出答案．【解答】解：他的这种坐姿不符合保护视力的要求，
理由：如图2所示：过点B作BD⊥AC于点D，∵BC=30cm，∠ACB=53°，∴sin53°==≈0.8，解得：BD=24，cos53°=≈0.6，解得：DC=18，
∴AD=22﹣18=4（cm），∴AB=
=
=
＜
，
∴他的这种坐姿不符合保护视力的要求．
21．请用学过的方法研究一类新函数y=（k为常数，k≠0）的图象和性质．
（1）在给出的平面直角坐标系中画出函数y=的图象；
（2）对于函数y=，当自变量x的值增大时，函数值y怎样变化？
第15页（共22页）
【考点】函数的图象；作图—应用与设计作图．【分析】（1）利用描点法可以画出图象．
（2）分k＜0和k＞0两种情形讨论增减性即可．
【解答】解：（1）函数y=的图象，如图所示，
（2）①k＞0时，当x＜0，y随x增大而增大，x＞0时，y随x增大而减小．②k＜0时，当x＜0，y随x增大而减小，x＞0时，y随x增大而增大．
22．为了保护视力，学校开展了全校性的视力保健活动，活动前，随机抽取部分学生，检查他们的视力，结果如图所示（数据包括左端点不包括右端点，精确到0.1）；活动后，再次检查这部分学生的视力，结果如表所示．分组频数24.0≤x＜4.2
34.2≤x＜4.4
54.4≤x＜4.6
84.6≤x＜4.8
174.8≤x＜5.0
55.0≤x＜5.2
（1）求所抽取的学生人数；
（2）若视力达到4.8及以上为达标，估计活动前该校学生的视力达标率；
（3）请选择适当的统计量，从两个不同的角度分析活动前后相关数据，并评价视力保健活动的效果．
第16页（共22页）
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；统计量的选择．【分析】（1）求出频数之和即可．
（2）根据合格率=×100%即可解决问题．
（3）从两个不同的角度分析即可，答案不唯一．【解答】解：（1）∵频数之和=40，∴所抽取的学生人数40人．
（2）活动前该校学生的视力达标率==37.5%．
（3）①视力4.2≤x＜4.4之间活动前有6人，活动后只有3人，人数明显减少．②活动前合格率37.5%，活动后合格率55%，视力保健活动的效果比较好．
23．定义：有三个内角相等的四边形叫三等角四边形．
（1）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，求∠A的取值范围；
（2）如图，折叠平行四边形纸片DEBF，使顶点E，F分别落在边BE，BF上的点A，C处，折痕分别为DG，DH．求证：四边形ABCD是三等角四边形．
（3）三等角四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，若CB=CD=4，则当AD的长为何值时，AB的长最大，其最大值是多少？并求此时对角线AC的长．
第17页（共22页）
【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据四边形的内角和是360°，确定出∠A的范围；
（2）由四边形DEBF为平行四边形，得到∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°，再根据等角的补角相等，判断出∠DAB=∠DCB=∠ABC，即可；
（3）分三种情况分别讨论计算AB的长，从而得出当AD=2时，AB最长，最后计算出对角线AC的长．
【解答】解：（1）∵∠A=∠B=∠C，
∴3∠A+∠ADC=360°，∴∠ADC=360°﹣3∠A．∵0＜∠ADC＜180°，
∴0°＜360°﹣3∠A＜180°，
∴60°＜∠A＜120°；
（2）证明：∵四边形DEBF为平行四边形，∴∠E=∠F，且∠E+∠EBF=180°．∵DE=DA，DF=DC，∴∠E=∠DAE=∠F=∠DCF，
∵∠DAE+∠DAB=180°，∠DCF+∠DCB=180°，∠E+∠EBF=180°，∴∠DAB=∠DCB=∠ABC，
∴四边形ABCD是三等角四边形
（3）①当60°＜∠A＜90°时，如图1，
过点D作DF∥AB，DE∥BC，
∴四边形BEDF是平行四边形，∠DFC=∠B=∠DEA，∴EB=DF，DE=FB，
∵∠A=∠B=∠C，∠DFC=∠B=∠DEA，∴△DAE∽△DCF，AD=DE，DC=DF=4，设AD=x，AB=y，∴AE=y﹣4，CF=4﹣x，∵△DAE∽△DCF，∴
，
∴，
∴y=x2+x+4=﹣（x﹣2）2+5，
∴当x=2时，y的最大值是5，
即：当AD=2时，AB的最大值为5，
②当∠A=90°时，三等角四边形是正方形，∴AD=AB=CD=4，
③当90°＜∠A＜120°时，∠D为锐角，如图2，
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∵AE=4﹣AB＞0，
∴AB＜4，
综上所述，当AD=2时，AB的长最大，最大值是5；此时，AE=1，如图3，
过点C作CM⊥AB于M，DN⊥AB，∵DA=DE，DN⊥AB，
∴AN=AE=，
∵∠DAN=∠CBM，∠DNA=∠CMB=90°，∴△DAN∽△CBM，∴，∴BM=1，∴AM=4，CM=∴AC=
24．【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“
”键求算术平方根，运
=
==
，．
算结果越来越接近1或都等于1．
【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k，再加上常数b”的运算，有什么规律？【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）．
也可用图象描述：如图1，在x轴上表示出x1，先在直线y=kx+b上确定点（x1，y1），再在直线y=x上确定纵坐标为y1的点（x2，y1），然后再x轴上确定对应的数x2，…，以此类推．
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【解决问题】研究输入实数x1时，随着运算次数n的不断增加，运算结果x，怎样变化．
（1）若k=2，b=﹣4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究；（2）若k＞1，又得到什么结论？请说明理由；
（3）①若k=﹣，b=2，已在x轴上表示出x1（如图2所示），请在x轴上表示x2，x3，x4，并写出研究结论；
②若输入实数x1时，运算结果xn互不相等，且越来越接近常数m，直接写出k的取值范围及m的值（用含k，b的代数式表示）
【考点】一次函数综合题；一次函数的性质．
【分析】（1）分x1＜4，x1=4，x1＞4三种情形解答即可．
（2）分x1＞，x1＜，x1=三种情形解答即可．
（3）①如图2中，画出图形，根据图象即可解决问题，xn的值越来越接近两直线交点的横坐标．
②根据前面的探究即可解决问题．【解答】解：（1）若k=2，b=﹣4，y=2x﹣4，取x1=3，则x2=2，x3=0，x4=﹣4，…
取x1=4，则x2x3=x4=4，…
取x1=5，则x2=6，x3=8，x4=12，…由此发现：
当x1＜4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越小．
当x1=4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn的值保持不变，都等于4．当x1＞4时，随着运算次数n的增加，运算结果xn越来越大．（2）当x1＞当x1＜当x1=
时，随着运算次数n的增加，xn越来越大．
时，随着运算次数n的增加，xn越来越小．时，随着运算次数n的增加，xn保持不变．
理由：如图1中，直线y=kx+b与直线y=x的交点坐标为（，），第20页（共22页）
∴当x1＞
时，随着运算次数n的增加，xn越来越大．
同理，当x1＜
时，随着运算次数n的增加，xn越来越小．
当x1=时，随着运算次数n的增加，xn保持不变．（3）①在数轴上表示的x1，x2，x3如图2所示．随着运算次数的增加，运算结果越来越接近．②由（2）可知：﹣1＜k＜1且k≠0，
当x1＞时，对于同一个x的值，kx+b＞x，∴y1＞x1∵y1=x2，
∴x1＜x2，同理x2＜x3＜…＜xn，
由消去y得到x=
∴由①探究可知：m=．
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2016年6月25日
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