五年高考真题分类汇编 椭圆及其性质

第十章 圆锥曲线

第一节 椭圆及其性质

题型115 椭圆的定义与标准方程

2013年

1．（2013广东文9）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于方程是

1，则C的2x2y2x2y2x2y2x2y21 B．1 D．1 1 C．A．

43344243

2014年

x2y21.（2014大纲文9）已知椭圆C：221(ab0)的左、右焦点为F1，F2，离心率

ab为

3，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF则C的方程为（ ）. 1B的周长为43，3x2y2x2x2y2x2y221 B．y1 C．1 D．1 A．

323128124x2y21，点M与C的焦点不重合，若M关于C2.（2014辽宁文15）已知椭圆C：

94的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则

3.（2014辽宁文20）如图所示，圆x2ANBN .

y24的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个

三角形，当该三角形面积最小时，切点为P. （1）求点P的坐标；

（2）焦点在x轴上的椭圆C过点P，且与直线l:yx+的面积为2，求C的标准方程.

3交于A，B两点，若△PAB

y P O x

x2y24.（2014天津文18）设椭圆221ab0的左、右焦点分别为F1,F2，右顶点为

ab3F1F2. A，上顶点为B.已知AB2（1）求椭圆的离心率；

（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，

MF222.求椭圆的方程.

x2y25. （2014新课标Ⅱ文20） 设F1,F2分别是椭圆C：221ab0的左、右焦

ab点，M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N. （1）若直线MN的斜率为

3，求C的离心率； 4（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且

MN5F1N，求a,b.

2015年

x2y221（m0）的左焦点为F14,0，则m（ ）. 1.（2015广东文8）已知椭圆

25mA．2

B．3

C．4

2

D．9

，得m29.

1.解析 由左焦点为F14,0，可得c4. 由a即2b2c2，5m216又m0，所以m3.故选B.

评注 本题考查椭圆的简单几何性质．

2016年

x2y21.（2016山东文21（1））已知椭圆C:221ab0的长轴长为4，焦距为2ab求椭圆C的方程.

1. 解析 设椭圆的半焦距为c，由题意知2a4,2c22，所以a2,b2， a2c22，

x2y21. 所以椭圆C的方程为42x2y22.（2016四川文20（1））已知椭圆E：221ab0的一个焦点与短轴的两个端

ab点是正三角形的三个顶点，点P2. 解析 由已知得，a2b.

13,在椭圆E上，求椭圆E的方程. 21xy312b1. 又椭圆221ab0过点P3,，故24，解得12ab24bb22x2y21. 所以椭圆E的方程是422xy3.（2016天津文19（1））设椭圆21（a3）的右焦点为F，右顶点为a3知113e，其中O 为原点，e为椭圆的离心率，求椭圆的方程. |OF||OA||FA|A，已

3.解析 （1）由

113c113e222，即，可得ac3c. caa(ac)OFOAFA22x2y21. 又acb3，所以c1，因此a4，所以椭圆的方程为432222017年

x2y21长轴的两个端点，1.（2017全国1文12）设A，B是椭圆C:若C上存在点M3m满足AMB120，则m的取值范围是（ ）. A.

0,19, B.0,39, C.0,14, D.0,34,

1.解析 因为在C上存在点M，满足AMB120，所以

AMBmax…120.当点M位

于短轴端点时，AMB取得最大值.

① 当0m3时，如图1所示，有AMB…120，则AMO厔60以

,MAO30，所

tanMAO2m1„，解得0m„1； 33yMyAAOBxMO

xB 图1 图2 ② 当m3时，如图2示，有AMB…120，则AMO厔60,MAO30，所以

tanMAO2m…3，解得m…9. 3综上可得，的取值范围是

0,19,.故选A.

x2y2评注：先研究“椭圆21ab0，A,B是长轴两端点，M位于短轴端点时，2abAMB最大”这一结论.

yMAOBx

图3

如图3所示，因为AMBMBxMAx，

所以tanAMBkktanMBxtanMAxMBMA.

1tanMBxtanMAx1kMBkMA，因为

设

kMAtt0kMBkMAa22（中点弦的一个结论），所以

ba22bttanAMBt2a12b时M位于短轴端点处）.

a22b2taa22ab（当且仅当t，即t时等号成立，此t2„2b2bcca2x2y22.（2017山东卷文21）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E:221ab0的离心

ab率为

2，椭圆C截直线y1所得线段的长度为22. 2（1）求椭圆C的方程；

（2）动直线l:ykxmm0交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是点M关于O的对称点，圆N的半径为

NO. 设D为AB的中点，DE，DF与圆N分别相切于

点E，F，求EDF的最小值.

yMBADOFENxl

2.解析 （1） 由椭圆的离心率为2222 ，得a=2ab， 2a2a2222又当y1时，x=a2，得a22，所以a=4，b=2.

bb22x2y21. 因此椭圆方程为42

(2) 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立方程y=kx+m ， 22x+2y=422得2k21x24kmx2m240，由0，得m4k2 .

且x1x2m4km2m2kmyy，因此，所以D,12， 222k212k212k12k12224222kmm4m13kk又N0,m，所以ND2， m2222k12k12k1因为

NFm，所以

NDNF224k43k212k212128k232k212.

NDt116t16令t8k3,t…3，故2k1.所以. 1+12214NF1tt2t22令 yt，所以y11t1. t21t3时，y0，从而yt在当 t…+上单调递增. 3，2ND110„1+3=4，因此yt…，等号当且仅当t3时成立，此时k0，所以 2t3NFND1…. NF21… ，所以的最小值为.

6ND2设EDF2，则sin从而EDF的最小值为

NF，此时直线l的斜率为0. 3综上所述，当k0，m2,00,2时，EDF取得最小值为

. 3题型116 椭圆离心率的值及取值范围

2013年

x2y21. （2013四川文9）从椭圆221(ab0)上一点P向x轴做垂线，垂足恰为左

ab焦

点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP（O是

坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ）.

A.

1223 B. C. D.

2422x2y22.（2013江苏12）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为221(a0,b0)，

ab右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的 距离为d2，若d26d1，则椭圆C的离心率为 . x2y22. (2013福建文15）椭圆:221(ab0)的左、右焦点分别为

abF1、F2，焦距为2c. 若直线y3xc 与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1,则该椭圆的离心率等于 . 3.（2014北京文19）已知椭圆C：x2y4. （1）求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在直线y2上，点B在椭圆C上，且OAOB，求线段AB长度的最小值.

22x2y24.（2014江苏17）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2，分别是椭圆221abab0的左、右焦点，顶点B的坐标为B0,b，连接BF2并延长交椭圆于点A，过

点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接FC1．

y B C x A 2014年

41（1）若点C的坐标为,，且BF22，求椭圆的方程；

33（2）若FCAB，求椭圆离心率e的值． 1

F1 O F2 x2y2F2，过F2作x轴1.（2014江西文14）设椭圆C:221ab0的左、右焦点为F1，abB两点，F1B与y轴相交于点D，若ADF1B，则椭圆C的离心的垂线与C相交于A，

率等于 .

x2y2. （2014安徽文21）设F1，F2分别是椭圆E：221(ab0)的左、右焦点，

ab过点F1的直线交椭圆E于A,B两点，AF13F1B. （1）若|AB|4,△ABF2的周长为16，求AF2； （2）若cosAF2B

2015年

23，求椭圆E的离心率. 5x2y21.（2015福建文11）已知椭圆E：221ab0的右焦点为F．短轴的一个端

ab点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A,B两点．若AFBF4，点M到直线l的 距离不小于

4，则椭圆E的离心率的取值范围是（ ）. 5

B．0,

4A．0,3 23

C．3

,1

2

D．,1

341. 解析 设左焦点为F，连接AF1，则四边形BF1AF是平行四边形，故|AF1||BF1|， BF1，所以AFAF142a，所以a2.设M0,b，则所以ac…1，0c„3，0c„故选A.

评注 1. 椭圆的定义和简单几何性质；2. 点到直线距离公式．

2224b4…，故b…1. 5530,3，所以椭圆E的离心率的取值范围为2. bx2y22.（2015浙江文15）椭圆221（ab0）的右焦点Fc,0关于直线yx的

cab对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是 ．

22x0y02. 解析 解法一:设Qx0，y0，则OQOFc，所以xyc，又221，

ab20202

所以x20a2c2b2a2b2a2c2b2c2b4b2 ，所以ycx2，所以y0，

cc20220bac2b2xcy0yx0， 不妨取x0，所以QF中点0，代入，0c2c2222bbc2c0得bccacb，化简得或bc，所以e. 2bc(舍去)222cc2解法二:取左焦点F：yxc，所以原点O到FQ的距离d. 1，则FQ1122bbc又F到yb2bcx的距离d，由题意知，dd，所以bc，所以e. 22c2bcx2y23.（2015重庆文21）如图所示，椭圆221ab0的左、右焦点分别为F1，F2，

ab过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQPF1. （1）若程. （2）若yPPF122，PF222，求椭圆的标准方F1OF2QxPQPF1，且剟344， 3试确定椭圆离心率的取值范围.

a2. 3. 解析 （1）由椭圆的定义，2a|PF1||PF2|(22)(22)4，故

设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，

因此2c|F1F2||PF1||PF2|(22)(22)23，

2222x2y21. 即c3，从而bac1. 故所求椭圆的标准方程为422|QF1||PF1||PQ|1|PF1|. （2）由PF1PQ，|PQ||PF1|，得

由椭圆的定义，|PF1||PF2|2a，|QF1||QF2|2a，

222(112)|PF1|4a， 进而|PF1||PQ||QF1|4a.于是

解得|PF1|4a112，故|PF2|2a|PF1|2a(121)112.

22222由勾股定理得|PF1||PF2||F1F2|(2c)4c，

2a(121)4a从而4c2， 221111两边除以4a，得2224(112)2(121)2(112)2e2.

24(t2)211122若记t11，则上式变为e8.

t2t42由

34≤，并注意到112关于的单调性，得3≤t4， 43即

2511115≤.进而e2≤，即e≤. 4t329232016年

1.（2016全国乙文5）直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的

1，则该椭圆的离心率为（ ）. 412 C.23 D.

A. B.

133 41. B 解析 由等面积法可得

1111c1bca2b，故ca，从而e.故选B.

2224a2yBCOFx2.（2016江苏10）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆

bx2y2y1的右焦点，直线与椭圆交于B,C两点，且ab02a2b2BFC90，则该椭圆的离心率是 .

2.

b3ab6,， 解析 由题意得Fc,0，直线y与椭圆方程联立，可得B22233abC,. 223ab3abBFC90BFc,CFc,， 由，可得BFCF0，，222232123212c262222则cab0，由bac，可得ca，则e. 4442a33

2017年

x2y21.（2017全国3文11）已知椭圆C:221ab0的左、右顶点分别为A1，A2，

ab且以线段A1A2为直径的圆与直线bxay2ab0相切，则C的离心率为（ ）.

A．

6 3 B．

3 3 C．

2 3 D．

1 31.解析 因为直线与圆相切，即d2aba2b22222a，整理得a3b.令b1，则有a3，

6c22c2，e2，e.故选A.

a3322评注 本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的离心率公式和圆的方程，考查的知识点比较多，但总的难度不大，属于跨板块的综合类问题，基础中偏上的学生一般都能搞定.

x2y21的离心率是（ ）. 2.（2017浙江卷2）椭圆

94A.

25135 B. C. D.

39332.解析 由椭圆方程可得，a29,b24，所以c2a2b25，所以a3，c5，

ec5.故选B． a3题型117 椭圆的焦点三角形

2014年

x2y21.（2014重庆文21）如图所示，设椭圆221(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，

ab点D在椭圆上，DF1F1F2，

y|F1F2|22，△DF1F2的面积为2.

|DF1|2F1DOF2x（1）求该椭圆的标准方程；

（2）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明

理由.

第十三章 推理与证明

第一节 合情推理与演绎推理

题型143 归纳推理

2013年

1. (2013陕西文13） 观察下列等式：

112×1

212222×1×

照此规律，第n个等式可为 .

2014年

1.（2014陕西文14）已知fx3

3×5

31323323×1×x，x…0， 1xf1xfx，fn+1xffnxnN+， 则f2014x的表达式为__________.

2. （2014安徽文12）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC22，过点

A作

BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足

为A3；…，以此类推，设BAa1，AA1a2，A1A2a3，…，A5A6a7，则a7 .

AA2A4B

2015年

1.（2015陕西文16）观察下列等式：

A1A3C

111 22

11111 23434111111111

234564561……

据此规律，第n个等式可为__________.

1.解析 观察等式知，第n个等式的左边有2n个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且 分子为1，分母是1到2n的连续正整数，等式的右边是故答案为1111234111. n1n22n11111nN*. 2n12nn1n22n2.（2015江苏23）已知集合X设Sn1,2,3，Yn1,2,3,…,nnN*，

令fn表示集合Sn所含元素的个数． a,ba整除b或b整除a，aX,bYn，

（1）写出

f6的值；

fn的表达式，并用数学归纳法证明．

6时，写出（2）当n…2. 分析 其实解决此除了需要有良好的数学分类思维以外，还需下表辅助我们理解问题的本质．

1共k组713…第k1组6k1带

2814…6k23915…6k341016…6k451117…6k561218…6k6标记

标记的表示为3的倍数或约数（其实1是奇葩，其余的都是3的倍数），带

的表示为2的倍数或约数，而则表示既是3的倍数或约数又是2的倍数或约数（即为6的倍数或约数，此题不作研究）．

这样研究n6kkN时，可直接得:

*fn6k3k12k111k2，

当n6k3kN时，可直接得：

*fn6k33k112k1111k7．

这就是本题的本质，以6为周期进行分类整合并进行数学归纳研究． 解析 （1）当n6时，X1,2,3，Yn1,2,3,4,5,6，

a,b可取1,1，1,2，1,3，1,4，1,5，1,6，2,1，2,2，2,4，

2,6，3,1，3,3，3,6，共13个，故f613．

11k2,11k3,11k5,6时，fn（2）当n…11k7,11k9,11k10,n6kn6k1n6k2n6k4n6k5kN，

n6k3*证明：1当k1时，枚举可得f613，f714，f816，f918，

f1020，f1121，符合通式；

11t2,11t3,11t5,2假设kt时，成立，即fn11t7,11t9,11t10,n6tn6t1n6t2n6t4n6t5tN成立， n6t3*则当kt1时，此时n6t6，此时fn6比fn多出有序数对11个，

即多出1,6t1，1,6t2，1,6t3，1,6t4，1,6t5，1,6t6，2,6t2，

2,6t4，2,6t6，3,6t3，3,6t6，

从而fn6fn1111t12，符合通式；

另外，当n6t7，n6t8，n6t9，n6t10，n6t11，同理可证，

11t12,n6t611t13,n6t711t15,n6t8tN*， 综上，即fn611t17,n6t911t19,n6t1011t110,n6t11即当kt1时也成立．

例如n6k1时，kn1n111n7，则fn11k311， 366611n12,611n7,611n8,6综上所述：fn11n9,611n10,611n5,6

n6kn6k1n6k2n6k3n6k4n6k5kN．

*2016年

1.（2016山东文12）观察下列等式：

π2π4(sin)2(sin)212；

333π2π3π4π4(sin)2(sin)2(sin)2(sin)223；

55553π2π3π6π4(sin)2(sin)2(sin)2(sin)234；

77773π2π3π8π4(sin)2(sin)2(sin)2(sin)245；

99993……

照此规律，

(sin1.

π22π23π22nπ2)(sin)(sin)(sin)_________. 2n12n12n12n144nn1 解析 通过观察这一系列等式可以发现，等式右边最前面的数都是，33接下来是和项数有关的两项的乘积，经归纳推理可知是nn1，所以第n个等式右边是

4nn1. 3题型144 类比推理——暂无

题型145 演绎推理——隐含在好多题目的证明过程中 补充题型 逻辑推理

2014年

1.（2014新课标Ⅰ文14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为 .

2017年

1.（2017全国2卷文9）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：“你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩”．看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩”．根据以上信息，则（ ）. A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 1.解析 由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果.故选D.

第二节 证明

题型146 综合法与分析法证明

2015年

1.（2015全国II文24）选修4-5：不等式选讲 设a，b，c，d均为正数，且abcd.证明： (1)若abcd，则(2)ababcd； cd是abcd的充要条件. 1. 分析（1）由abcd，及abcd ，可证明

ab2cd ，两边开

2方即得abcd；（2）由第（1）问的结论来证明.在证明中要注意分别证明充 分性和必要性. 解析 （1）因为

ab2ab2ab，

2cd2cd2cd，

由题设abcd，abcd，得

ab22cd，因此22abcd.

2（2）(i)若abcd，则abcd，即ab4abcd4cd. 因为abcd，所以abcd，由（1）得abcd. (ii)若abcd，则ab2cd，

2即ab2abcd2cd.因为abcd，所以abcd，

于是abab4abcd4cdcd，因此abcd. 综上，abcd是abcd的充要条件.

命题意图 不等式的证明要紧抓不等式的性质，结合其正负性来证明.充要条件的证明体现了数学推理的严谨性，要分充分性和必要性两个方面来证明.

2016年

1.（2016四川文18（1））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且

2222cosAcosBsinC.证明：sinAsinBsinC. abc1. 解析 根据正弦定理，可设

abck(k0)，则aksinA，sinAsinBsinCbksinB，cksinC.

代入

cosAcosBsinCcosAcosBsinC中，有， abcksinAksinBksinC可变形得sinAsinBsinAcosB+sinBcosAsin(AB).

，有sin在△ABC中，由ABCπABsiAnsBinC ssπi，所以nCsinC2.（2016浙江文16（1））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知

bc2acosB. 证明：A2B.

2.解析 （1）由正弦定理得sinB+sinC2sinAcosB，

故2sinAcosBsinBsin(AB)sinBsinAcosBcosAsinB，

于是sinBsinA(B.又)A,B0,π，故0ABπ，所以Bπ(AB)或

BAB，

因此Aπ（舍去）或A2B，所以A2B.

题型147 反证法证明

2014年

1. （2014山东文4）用反证法证明命题：“设a,b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是（ ）. A. 方程x3axb0没有实根

B. 方程x3axb0至多有一个实根

C. 方程x3axb0至多有两个实根 D. 方程x3axb0恰好有两个实根

2015年

1.（2015湖南理16（3））设a0，b0，且ab（1）ab…2；

（2）aa2与bb2不可能同时成立. 1. 解析 证明： 由ab2211. ab11ab，a0,b0，得 ab1. abab2. （i）由基本不等式及ab1，有ab…2ab2，即ab…222(ii) 假设aa2与bb2同时成立，则由aa2及a0得0a1；同理，

0b1，从而0ab1，与ab1相矛盾. 故a2a2与b2b2不可能同时成

立.

2016年

1.（2016全国甲文16）有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3. 甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是_______.

3，，2，3，，，1. (1,3) 解析 由题意得：丙不拿2，若丙1则乙2，甲13若丙13满足；，3，甲1，2不满足，故甲13，则乙2，.

,2.（2016上海文22）对于无穷数列an与bn，记AxxnaBxxbn,nN*，若同时满足条件：

①an，bn均单调递增；②A列.

（1）若an2n1，bn4n2，判断an与bn是否为无穷互补数列，并说明理由； （2）若an=2且an与bn是无穷互补数列，求数列bn的前16项的和；

nnN*，

B且ABN*，则称an与bn是无穷互补数

（3）若an与bn是无穷互补数列，an为等差数列且a1636，求an与bn的通项公式.

2. 解析 （1）易知A1,3,5,7,9,11,，B2,6,8,12,， 而4A，4B，所以4AB，从而an与bn不是无穷互补数列.

项

的

和

为

（2）由题意A2,4,8,16,32,，因为a416，所以b1616420. 数

列

bn的前

16

12202222324

12020252180. 2（3）设an的公差为d，dN，则a16a115d36.

由a13615d…1，得d1或2.

若d1，则a121，ann20，与“an与bn是无穷互补数列”矛盾， 因为此时bn不是无穷数列；

若d2，则a16，an2n4，bnn„5n,.

综上所述，an2n4，bnn,2n5,

2n5,n„5n5.

n5