2020-2021学年福建省宁德市高一下学期期末模拟考试数学试卷及答案-精品试题

数学试题（A卷）

(考试时间：120分钟 试卷总分：150分)

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页． 2．答题前，考生务必将自己的校名、姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置上． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本卷上无效．

第I卷 （选择题 60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡的相应位置填涂． ．．．

1．圆x2y240与圆x2y24x50的位置关系是 A．相切 B．相交 C．相离 2．已知半径为2，弧长为A．D．内含

8的扇形的圆心角为，则sin等于 33311 B． C． D． 222 23．已知直线l1:x2ay10,l2:(a1)xay0，若l1//l2，则实数a的值为 33A． B．0 C． 或 0 D．2 22y'A'4．用斜二侧法画水平放置的ABC的直观图，得到如图 所示等腰直角ABC.已知点O'是斜边BC的中点， 且AO1，则ABC的BC边上的高为

A．1 B．2 C．2 D．22 5．直线ykx1与圆x2y21相交于A,B两点，且AB3，则实数k的值等于 A．3 B．1 C．3或3 D．1或1 6．在下列向量组中，可以把向量a4,1表示出来的是

A．e1(0,0),e2(3,2) B．e1(1,2),e2(3,2) C．e1(6,4),e2(3,2) D．e1(2,5),e2(2,5) 7．为了得到函数ysin(2x)的图象，只需将函数ysinx的图象上所有的点

3B'O'C'x'

A．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动B．横坐标缩短到原来的C．横坐标缩短到原来的D．横坐标缩短到原来的

个单位长度 31倍，再向左平行移动个单位长度 231倍，再向左平行移动个单位长度 261倍，再向右平行移动个单位长度 268．设l,m,n是三条不同的直线，,,是三个不同的平面，则下列判断正确的是

A．若lm,mn，则l//n C．若m,,则m//

B．若,，则// D．若m,m//，则

9．设a,b,c是平面内的非零向量，则下列结论正确的是

A．若a与b都是单位向量，则a2b2(ab)2 B．若ab=bc，则ac C．若ab0,则a与b的夹角是钝角 D．若a//b,b//c，则a//c 10．已知锐角,满足cosA．253,sin()，则sin的值为 55255255 B． C． D． 55252511．在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBCAC2，PA2，E,F分别是PB,BC的中点，

则EF与平面PAB所成的角等于

A．30 B．45 C．60 D．90

12．在空间直角坐标系Oxyz中，四面体SABC各顶点坐标分别是S(1,1,2),A(3,3,2),

B(3,3,0),C(1,3,2)，则该四面体外接球的表面积是

A．16 B．12 C. 43 D. 6

第Ⅱ卷（非选择题 90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卷的相应位置． 13．已知向量a(0,1),b(1,m),c(1,2)，且(ab)//c，则m= .

14．已知直线(a2)xya0(aR)在两坐标轴上的截距互为相反数，则实数a的值等于 . 15．某正方体切割后得到一个多面体的三视图如

图所示（其中网格上小正方形的边长为1）, 则该多面体的体积为 .

16．已知函数f(x)Asin(x)（其中A0，

正视图 侧视图 0,0）的图象关于点M(5,0) 12成中心对称,且与点M相邻的一个最低点 为(2,3)，则对于下列判断： 3①直线x是函数f(x)图象的一条对称轴； 2②函数yf(x)为偶函数；

3③函数y1与yf(x)(x)的图象的所有交点的横坐标之和为. 1212其中正确的判断是 ．（写出所有正确判断的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或演算步骤. 17．（本题满分10分）

已知点A(m,3)和B(5,m)，直线AB的斜率为3． （Ⅰ）求直线AB的方程；

（Ⅱ）若点P在直线xy0上，且APB为直角，求点P的坐标.

18．（本题满分12分）

如图，矩形ABCD中，点P为BC中点，点Q在边CD上．

uuuruuuruuurQ（Ⅰ）若点是CD上靠近C的三等分点，且PQABAD，求的值． uuuruuuruuurAB6AQBQPQⅡ（）当，AD4，且取最大值时，求向量的模．

19. （本题满分12分）

DQCPAB如图，在平面直角坐标系xOy中，以O为顶点，x轴的非负半轴为始边作两个锐角,，它们的终边

y分别与单位圆交于A,B两点．已知A,B的横坐标分别为ABβ23，． 105sin2sincos（Ⅰ）求的值；

sincos6cos2Oαx（Ⅱ）求的大小．

20．（本题满分12分）

如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD， AB//CD， BAD90，AD3， DC2AB2，E为BC中点．

（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PDE；

（Ⅱ）线段PC上是否存在一点F，使PA∥平面BDF?

若存在，求

APPF的值；若不存在，说明理由． PCDEBC

21（本题满分12分）

已知向量a(23sinx,cosxsinx),b(cosx,cosxsinx)，函数f(x)ab， g(x)f(x12)cos2x.

π（Ⅰ）若函数f(x)在区间(,m)上单调递减，求实数m的取值范围;

6（Ⅱ）当函数g(x)取得最大值时，求sin2x的值.

22．（本题满分12分）

已知圆P过点M(0,2),N(3,1)，且圆心P在直线l:xy0上，过点Q(1,1)的直线交圆P于A,B两点，过点A,B分别做圆P的切线，记为l1,l2. （Ⅰ）求圆P的方程；

（Ⅱ）求证：直线l1,l2的交点都在同一条直线上，并求出这条直线的方程.

数学试题（A）参考答案及评分标准

（1）本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评分标准的精神进行评分．

（2）对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的一半；如果有较严重的错误，就不给分． （3）解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数. （4）评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分． 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.

1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 6．B 7．C 8．D 9．D 10．A 11.B 12．B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3 14． 0或1 15．

128 16．②③ 3三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．(本题满分10分)

解法一：（Ⅰ）∵直线AB的斜率kAB3(m)3, ………………………………1分

m5∴m3，∴A(3,3), ……………………………………………………3分 ∴直线AB的方程为y33(x3)

即3xy120.（或y3x12）…………………………………5分 （Ⅱ）设P(a,a),由（Ⅰ）得A(3,3)，B(5,3)

uuuruuurPA(3a,3a)PB(5a,3a)………………………………6分 ∴，

又QAPB为直角

uuuruuur∴PAPB(3a)(5a)(3a)(3a)0 …………………………8分

∴a1或a3,……………………………………………………………9分 ∴P(1,1)或P(3,3). ………………………………………………10分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）设P(a,a),由（Ⅰ）得A(3,3)，B(5,3)

①当a3且a5时，直线PA,PB的斜率存在，由已知得， kPAkPBa3a31， ………………………7分 a3a5a1，P(1,1) …………………………………………………8分

②当a3时，直线PA的斜率不存在，点P(3,3)，此时APB为直角

③当a5时直线PB的斜率不存在，点P(5,5)，此时APB不是直角 ……………………………………………………………………9分 综上所述，P(1,1)或P(3,3). ………………………………………10分

解法三：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）QAPB为直角

点P在以AB为直径的圆M上， …………………………………6分

又QM(4,0)，|AB|210 圆M的方程为(x4)2y210， …………………………………8分

xy0x1,x3,由得或 22y1,y3.(x4)y10P(1,1)或P(3,3)………………………………………………10分

18．(本题满分12分)

解法一：（Ⅰ）如图，以A为原点，AB,AD所在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系.设

AB3a,AD2b，则A(0,0),B(3a,0),D(0,2b),P(3a,b),Q(2a,2b)，…2分

uuuruuuruuur∴AB(3a,0),AD(0,2b),PQ(a,b), ………4分

uuuruuuruuur又QPQABAD

yDQCP∴(a,b)(3a,2b)

∴31,21 …………5分 111∴.……………………6分

326AOBx（Ⅱ）由已知得A(0,0),B(6,0) ………………………………………………7分

uuuruuur设Q(m,4)(0m6),则AQ(m,4)，BQ(m6,4) ……………………8分 uuuruuurAQBQm(m6)44m26m16(m3)27 …………………9分 uuuruuur又Q0m6当m0或6时，AQBQ取到最大值. ……………10分

uuur当m0时，Q(0,4)，P(6,2)，所以|PQ|(60)2(24)2210. ……11分

uuur当m6时，Q(6,4)，P(6,2)，所以|PQ|2. ……12分

解法二：（Ⅰ）由题意得：

uuuruuuruuurPQPCCQ ………………………………………………………………2分

r1uuur1uuuBCCD………………………………………………………………3分 23rr1uuu1uuuAD(AB) …………………………………………………………4分 23uuuruuuruuur又QPQABAD

11∴, ……………………………………………………………5分

3211 ……………………………………………………6分 26uuuruuur（Ⅱ）设DQkDC(0k1)，

13uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur则AQADDQADkDCADkAB ………………………………7分 uuuruuuruuuruuuruuurBQBCCQAD(k1)AB………………………………………………8分 uuuruuuruuuruuuruuuruuur又Q矩形ABCD中，ABDC,ADBC,ABAD0 uuuruuuruuuruuuruuuruuurAQBQ(ADkAB)[AD(k1)AB]

uuur2uuur2uuuruuurADk(k1)AB(2k1)ABAD uuuruuur|AD|2k(k1)|AB|2

36k236k16 ………………………………9分

uuuruuur又Q0k1当k0或1时AQBQ取到最大值…………………………10分 uuuruuur当k0时，DQ0,所以PQ210. ……………………………………11分 uuuruuuruuur当k1时，DQDC,所以PQ2. ……………………………………12分

19．(本题满分12分) 解法一：（Ⅰ）由题意得，A(272,) ………………………………………………1分 1010tan7 …………………………………………………………………3分

sin2sincostan2tan …………………………………………5分 sincos6cos2tan672756 …………………………………………6分 76344（Ⅱ）由题意得，B(,)，tan ……………………………………………7分

553tan()tantan ……………………………………………8分

1tantan43 ……………………………………………………9分 417371 ………………………………………………………………10分

又Q,是锐角 0, ……………………………………………11分 3 ……………………………………………………………………12分 4解法二：（Ⅰ）由题意得，A(sincos272,) ………………………………………………1分 101072, ………………………………………………………………2分 102， ………………………………………………………………… 3分 10(722722)sinsincos101056 ……………………………6分 10 2sincos6cos72226()210101023443（Ⅱ）由题意得，B(,)，sin,cos………………………………………7分

5555cos()coscossinsin …………………………………………8分

237242 …………………………………………10分 1051052又Q,是锐角 0 ……………………………………………11分 3 ……………………………………………………………………12分 420．(本题满分12分) 解法一：（Ⅰ）连接DB，

在RtDAB中，DB(3)12， …………1分

22PFDC又QE为BC中点，DC2

DEBC …………………………………………2分

QPD平面ABCD，BC平面ABCD,

PDBC， ………………………………………3分

QPDIDED， BC平面PDE， …………4分

又QBC平面PBC，平面PBC⊥平面PDE……5分 （Ⅱ）线段PC上存在一点F，且证明如下：

连接AC交BD于点O，在平面PAC中过点O作OF//PA，则交PC于F……7分 又QOF平面BDF，PA平面BDF ………………………………………8分 ∴PA∥平面BDF ……………………………………………………………9分 Q四边形ABCD， AB//CD，DC2AB2,

PF1时，PA∥平面BDF.…………… 6分 PC3∴

AOAB1 ………………………………………………………………10分 OCDC2PFAO1 ……………………………………………………11分 FCOC2∵OF//PA，∴∴当

PF1时，PA∥平面BDF …………………………………………………12分 PC3解法二：（Ⅰ）（同解法一）

（Ⅱ）线段PC上存在一点F，且证明如下：

连接AC，设ACIDBO，在线段PC上取点F，使Q AB//CD，DC2AB2,



PF1时，PA∥平面BDF………………6分 PC3PF1,连接OF. ……7分 PC3AOAB1 ………………………………………………………………8分 OCDC21PCPF31 又QFC2PC23AOPF,OCFC …………………………………………………………………10分

PA//OF

又QOF平面BDF，PA平面BDF ……………………………………11分

PA∥平面BDF

当

PF1时，PA∥平面BDF …………………………………………12分 PC3（说明：其它解法相应给分） 21．(本题满分12分)

解：（Ⅰ）f(x)ab=23sinxcosx(cosxsinx)(cosxsinx) ……………1分

3sin2xcos2xsin2x

3sin2xcos2x ………………………………………………3分

2(31sin2xcos2x) 222sin(2x) …………………………………………………4分

6由2k得k22x62k3,kZ， 26xk2,kZ， 3π3π∴函数f(x)的单调递减区间为[kπ,kπ+](kZ)……………5分

63

(说明：上述区间写成开区间，不扣分)

π2π2由已知得m，即m的取值范围为(,]………………………6分

6363

（Ⅱ）g(x)f(x12)cos2x2sin2xcos2x …………………………………7分

215(sin2xcos2x) 555sin(2x) ……………………………………………………………8分

15（其中cos25,sin） ……………………………………………9分

当sin(2x)1，即2x此时2x22k,kZ时，yg(x)取到最大值……10分

22k,kZ， ………………………………………………11分

sin2xsin(22k)cos2525…………………………………12分 522．(本题满分12分)

解法一：（Ⅰ）设圆P的方程为(xa)2(yb)2r2(r0)，则

ab0222(0a)(2b)r ………………………………………………2分 222(3a)(1b)r（说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）

解得ab0,r24, ………………………………………………3分 ∴圆P的方程为x2y24 ………………………………………………4分 （Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线l1,l2的交点F(x0,y0)

若E(x,y)为直线l1上任意一点，则 uuuruuurAEOA0,得x1(xx1)y1(yy1)0，

∵x12y124,

∴x1xy1y4，即A处的圆P的切线方程l1:x1xy1y4，……………5分 同理可得，在点B处的圆P的切线方程为l2:x2xy2y4 ………………6分 由直线l1,l2过点F(x0,y0)

∴x1x0y1y04,x2x0y2y04, ……………………………………8分 ∴点A,B满足方程x0xy0y4

即直线AB的方程为x0xy0y4 ， ……………………………………10分 又Q直线AB过点Q(1,1)

∴x0y04，即x0y040 ……………………………………………11分 ∴直线l1,l2的交点都在直线同一条直线上，且直线方程为xy40. …12分

解法二：（Ⅰ）设圆P的方程为x2y2DxEyF0，则

222EF022(3)13DEF0………………………………………………2分 DE022（说明：列对1~2个可得1分，全对得2分）

解得DE0,F4 ………………………………………………3分

圆P的方程为x2y24 ………………………………………………4分

（Ⅱ）设A(x1,y1),B(x2,y2)，E(x,y)为直线l1上任意一点， uuuruuur由AEOA0,得x1(xx1)y1(yy1)0，

∵x12y124,∴x1xy1y4，即A处的圆P的切线方程l1:x1xy1y4， 同理B处的圆P的切线方程分别为l2:x2xy2y4， ……………………6分

①当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为x1 x1 由2得A(1,3),B(1,3) 2xy4∴在点A,B处的切线方程分别为，l1:x3y40，l2:x3y40 x3y40x4由得

y0x3y40此时切线l1,l2的交点为G(4,0), ……………………………………………7分 当直线AB的斜率为0时，直线AB的方程为y1 y1由2得A(3,1),B(3,1) 2xy4∴在点A,B处的圆P的切线方程l1:3xy40，l2:3xy40 此时切线l1,l2的交点为H(0,4). ……………………………………………8分 ∴直线GH的方程为xy40. …………………………………………9分 ②当直线AB的斜率存在时,直线AB的方程为y1k(x1)，即ykxk1，

4y24y1x,xxyy4,xyxy111221由且x1y2x2y10,得 ……………………10分

xxyy4,4x4x2221y,xyxy2112∴xy44y24y14x24x14

x1y2x2y1x2y1x1y2(4y24y1)(4x24x1)4(x1y2x2y1)

x1y2x2y1(y2y1)(x2x1)(x1y2x2y1)

x1y2x2y1k(x2x1)(x2x1)[x1(kx2k1)x2(kx1k1)]

x1y2x2y1(k1)(x2x1)(k1)(x1x2)

x1y2x2y14440

∴当直线AB的斜率存在时, 直线l1,l2的交点坐标满足方程xy40. 综上所述，直线l1,l2的交点都在直线同一条直线上，且该直线方程为 xy40. ………………………………………………………12分

解法三：（Ⅰ）设圆E的方程为(xa)2(yb)2r2

Q弦MN的中点C(33,) 22又QkMN21033…………………………………………………………1分 3333(x) 22∴MN的垂直平分线的方程：y 即3xy0………………………………………………2分 Q圆心P是MN的垂直平分线与直线l的交点

a0ab0∴由，得，即圆心P(0,0)……………………………3分

b03ab0又半径r|PM|2

∴圆P的方程为x2y24 ………………………………………………4分

（Ⅱ）同解法一