动物的繁殖问题

【实验目的】

1．加深对矩阵线性变换、方幂、特征根、对角化等概念的理解。 2．掌握用矩阵变换在实际问题中的应用。

3．学习使用MATLAB软件中与矩阵有关的命令。

【实验内容】

某农场饲养的某种动物所能达到的最大年龄为15岁，将其分为三个年龄组：第一组0～5岁；第二组6～10岁；第三组11～15岁。动物从第二个年龄组开始繁殖后代，第二个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代，第三个年龄组的动物在其年龄段平均繁殖3个后代。第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为0.5和0.25。假设农场现有三个年龄段的动物各有1000头，计算5年后、10年后、15年后各年龄段动物数量。20年后农场三个年龄段的动物的情况会怎样？

根据有关生物学研究结果，对于足够大的时间值k，有X如果每五年平均向市场供应动物数c＝s提下，c应取多少为好？

(k1)≈1X(k)（1是莱斯利

矩阵L的惟一正特征值）。请检验这一结果是否正确，如果正确给出适当的k的值。

Tss，在20年后农场动物不至灭绝的前

【实验准备】

1．矩阵知识回顾

当矩阵的列数与某一个列向量元素个数一致时，用矩阵乘以向量将得到另一个向量，这就是向量的线性变换。当矩阵是方阵时，线性变换可以持续进行。即用矩阵乘以一个向量得到一个新的向量，用同一矩阵再乘以新的向量又获得另一个的向量„„，这种运算的本质就是用矩阵的方幂乘以最初的向量。在线性代数应用中称为矩阵的方幂问题，它和矩阵的特征根问题有密切关系，对它的研究导致了矩阵对角化方法，这类方法在生物学研究等领域有着广泛应用。

设A＝(aij)是数域F上的一个n阶矩阵，行列式

xa11a21 fA(x)＝xIA＝

...an1叫作矩阵A的特征多项式，若有 fA()＝0

a12xa22...an2.........a1na2n （1） ......xann那么就是矩阵A的特征多项式的特征根，那么方程

AX＝X （2） 的一个非零解叫做矩阵A的属于特征根的特征向量。

定理1 令A是数域F上的一个n阶矩阵，如果A的特征多项式fA(x)在F内有n个 根，那么存在一个n阶可逆矩阵T，使得

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10021 TAT＝......00 5．求矩阵特征根的MATLAB命令

...0...0 （3） .........n d = eig( A ) 求矩阵A的特征根； [ V , D ] = eig( A ) 求矩阵A的特征根和特征向量，其中V表示特征向量，D表示特征根； 有关该命令的详细信息可查阅帮助。 【实验方法与步骤】

1．引例问题的分析

由题设，在初始时刻0～5岁、6～10岁、11～15岁的三个年龄段动物数量分别为：

(0)(0)(0) x1＝1000， x2＝1000， x3＝1000

以五年为一个年龄段，则某一时刻三个年龄段的动物数量可以用一个向量 X＝[x1表示。以五年为一个时间段，记 X(k)x2x3]T

(k)x2(k)Tx3]

(k)(k)＝[x1为第k个时段动物数分布向量。当k＝0，1，2，3时，X分别表示现在、五年后、十年 后、十五年后的动物数分布向量。根据第二年龄组和第三年龄组动物的繁殖能力，在第k个时间段，第二年龄组动物在其年龄段平均繁殖4个，第三年龄组动物在其年龄段平均繁殖3个后代。由此得第一年龄组在第k＋1个时间段的数量如下 x1(k1)(k)＝4x2＋3x3

(k)同理，根据第一年龄组和第二年龄组的存活率，可得等式 x2建立数学模型如下 x1(k1)(k1)(k1)(k1)＝0.5x1， x3＝0.25x2

(k)(k)(k)＝4x2＋3x3

(k) x2改写成矩阵形式

＝0.5x1 （k＝0，1，2，3）

(k)(k)(k1) x3＝0.25x2

x1(k1)043x1(k)(k1)x(k) （k＝0，1，2，3）

00 x20.52(k1)(k)x3x300.250由此得向量X(k)和X(k1)的递推关系式

(k1) X其中矩阵

＝LX(k)

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430

00 L＝0.500.250称为莱斯利矩阵，进一步有 X(k1)＝Lk1X(k)

2．MATLAB计算机求解

为了计算五年后、十年后、十五年后农场中动物的数量，输入初始数据和莱斯利矩阵，在MATLAB命令窗口中键入下面命令：

>> x0=[1000;1000;1000]; >> L=[0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0]; >> x1=L*x0 x1 =

7000 500 250

>> x2=L*x1

x2 =

2750 3500 125 >> x3=L*x2

x3 =

14375 1375 875 >> x4=L*x3 x4 =

1.0e+003 *

8.1250 7.1875 0.3438

为了计算莱斯利矩阵的特征值，键入下面的命令：>> eig(L) ans =

1.5000 -1.3090 -0.1910

这说明矩阵L的惟一正特征值为

＝1.5

为了验证

X(k1)≈1X(k)

编辑M脚本文件animal.m，运行下面的程序： d=1.5;

x=[1000;1000;1000]; L=[0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0]; y=L*x; y1=d*x; k=1;

while max(abs(y-y1))>0.00001 x=y; y=L*x;

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y1=d*x; k=k+1; end k

可知，当k＝285时，有结论X(k1)≈1X(k)成立。

【结果分析】

将计算结果制成表，得到五年后、十年后、十五年后和二十年后农场中动物的数量

k x1 现在 1000 1000 1000 k＝1（5年后） k＝1（10年后） k＝1（15年后） k＝1（20年后） 7000 500 250 2750 3500 125 14375 1375 875 8125 7187.5 343.8 x2 x3 从表中数据的变化（如果没有其它的原因），可估计农场的动物总量会逐步增加。 在验证生物学研究的结论Xx =

1.0e+053 *

4.3616 1.4539 0.2423

这说明多年以后，动物数量是大得非常惊人的。 如果每个五年平均向市场供应动物c＝s X X X X所以有

(1)(2)(3)(4)(k1)≈1X(k)时，当k＝285时可以得到如下结论

T分析动物数分布向量变化规律可知 ss，

＝LX＝LX＝LX＝LX4(0)(1)(2)(3)－c －c －c －c

－（L＋L＋L＋I）c

32 X＝LX考虑20年后动物不灭绝，应有 X即有

(4)(4)(0)＞0

24(0) （L＋L＋L＋I）c＜LX由于c是常数向量，简单求解不等式组，可取 c＝152152152

T3

这说明每五年农场平均向市场供应三个年龄段的动物各152头，在20年后农场各年龄段的动物不会绝种。

【练习与思考】

1．某实验性生产线每年一月份进行熟练工人的人数统计，然后将其1/6的熟练工人支援其它生产部门，缺额由招收非熟练工人补齐。新、老非熟练工人经过培训及实践至年终考核有 2/5成为熟练工人。设第n年一月份统计的熟练工人和非熟练工人所占的百分比分别为xn和

yn，记为向量[xnyn]T。

yn]T和[xn1yn1]T的关系，并写成矩阵形式；

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（1）试推导向量[xn

（2）当[x1y1]T＝[0.50.5]T时，求第10年一月份统计的熟练工人和非熟练工人所占的百分比。

2．假设某一个城市的气候不是下雨就是干旱。根据以前所保留下来的记录可知，干旱天之后为下雨天的可能性为1/3，而下雨天之后仍为下雨天的可能性为1/2。试建立数学模型分析气候变化情况。

3．在一城市的某商业区内，有两家有名的快餐店“肯德基”分店和“麦当劳”分店。据统计每年“肯德基”保有其上一年老顾客的1/3，而另外的2/3的顾客转移到“麦当劳”；每年 “麦当劳”保有其上一年老顾客的1/2，而另外的1/2顾客转移到“肯德基”。用二维Xk＝

yk]T表示两个快餐店市场分配的情况，初始的市场分配为X0＝[1/32/3]T。如果有矩阵L存在，使得Xk1＝LXk，则称L为状态转移矩阵。 （1）写出Xk和Xk1的递推关系式，以及状态转移矩阵L； [xk （2）根据递推关系计算近几年的市场分配情况；

1（3）求可逆矩阵P和对角矩阵A使得L＝PAP。对于足够大的时间k，有Xk1≈

。请检验这一结果是否正确，并给出适当的1Xk（1是状态转移矩阵L的惟一正特征值）

k的值。

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