高中数学直线与圆的方程知识点总结

高中数学之直线与圆的方程

一、概念理解：

1、倾斜角：①找α：直线向上方向、x轴正方向； ②平行：α=0°；

③范围：0°≤α＜180° 。 2、斜率：①找k ：k=tanα （α≠90°）； ②垂直：斜率k不存在； ③范围： 斜率 k ∈ R 。 3、斜率与坐标：ktany1y2y2y1 x1x2x2x1 ①构造直角三角形（数形结合）； ②斜率k值于两点先后顺序无关； ③注意下标的位置对应。

4、直线与直线的位置关系：l1:yk1xb1,l2:yk2xb2 ①相交：斜率k1k2（前提是斜率都存在）

特例----垂直时：<1> l1x轴，即k1不存在，则k20； <2> 斜率都存在时：k1k21 。 ②平行：<1> 斜率都存在时：k1k2,b1b2； <2> 斜率都不存在时：两直线都与x轴垂直。 ③重合： 斜率都存在时：k1k2,b1b2； 二、方程与公式： 1、直线的五个方程：

①点斜式：yy0k(xx0) 将已知点(x0,y0)与斜率k直接带入即可； ②斜截式：ykxb 将已知截距(0,b)与斜率k直接带入即可；

③两点式：带入即可；

yy1xx1，(其中x1x2,y1y2) 将已知两点(x1,y1),(x2,y2)直接

y2y1x2x1xy1 将已知截距坐标(a,0),(0,b)直接带入即可； ab ④截距式：

⑤一般式：AxByC0 ，其中A、B不同时为0 用得比较多的是点斜式、斜截式与一般式。

2、求两条直线的交点坐标：直接将两直线方程联立，解方程组即可

3、距离公式：

(x1x2)(y1y2) ①两点间距离：P1P2 ②点到直线距离：d22Ax0By0CAB22

③平行直线间距离：dC1C2AB22

4、中点坐标公式：已知两点A(x1,y1),B(x2,y2) ①AB中点(x0,y0)：(x1x2y1y2,) 22中点坐标公式，在求对称点、第四章圆与方程中，经常用到。

5.直线的对称性问题

已知点关于已知直线的对称:设这个点为P（x0，y0）,对称后的点坐标为P’（x，y），则pp’的斜率与已知直线的斜率垂直，且pp’的中点坐标在已知直线上。 三、解题指导与易错辨析： 1、解析法（坐标法）：

①建立适当直角坐标系，依据几何性质关系，设出点的坐标； ②依据代数关系（点在直线或曲线上），进行有关代数运算，并得出相关结果； ③将代数运算结果，翻译成几何中“所求或所要证明”。

y 2、动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”： ①PAPB的最小值：找对称点再连直线，如右图所示： ②PAPB的最大值：三角形思想“两边之差小于第三边”；

22o x ③PAPB的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。

3、直线必过点：① 含有一个参数----y=(a-1)x+2a+1 => y=(a-1)(x+2)+3

令：x+2=0 => 必过点(-2,3)

②含有两个参数----(3m-n)x+(m+2n)y-n=0 => m(3x+y)+n(2y-x-1)=0 令：3x+y=0、2y-x-1=0 联立方程组求解 => 必过点(-1/7,3/7) 4、易错辨析：

① 讨论斜率的存在性：

解题过程中用到斜率，一定要分类讨论：<1>斜率不存在时，是否满足题意； <2>斜率存在时，斜率会有怎样关系。 ② 注意“截距”可正可负，不能“错认为”截距就是距离，会丢解； （求解直线与坐标轴围成面积时，较为常见。） ③ 直线到两定点距离相等，有两种情况： <1> 直线与两定点所在直线平行； <2> 直线过两定点的中点。

圆的方程

1. 定义：一个动点到一个定点以定长绕一周所形成的图形叫做圆，其中定点称为圆的圆心，定长为圆的半径. 2. 圆的方程表示方法：

DE第一种：圆的一般方程——xyDxEyF0 其中圆心C,，

2222D2E24F半径r.

2当D2E24F0时，方程表示一个圆，

当D2E24F0时，方程表示一个点DE,. 22当D2E24F0时，方程无图形.(同一元二次方程有无解的情况

第二种：圆的标准方程——(xa)2(yb)2r2.其中点C(a,b)为圆心，r为半径的圆

第三种：圆的参数方程——圆的参数方程：xarcos（为参数）

ybrsin注：圆的直径方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0 3. 点和圆的位置关系：给定点M(x0,y0)及圆C:(xa)2(yb)2r2.

①M在圆C内(x0a)2(y0b)2r2 ②M在圆C上（x0a)2(y0b)2r2 ③M在圆C外(x0a)2(y0b)2r2 4. 直线和圆的位置关系：

设圆圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)； 直线l：AxByC0(A2B20)； 圆心C(a,b)到直线l的距离d①dr时，l与C相切；

②dr时，l与C相交；， ③dr时，l与C相离.

5、圆的切线方程：

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①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上，则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R. 特别地，过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.(注:该点在圆上，则切线方程只有一条)

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)，②若点(x0 ,y0)不在圆上，圆心为(a,b)则联立求出k切线方程.（注：RR21AaBbCAB22.

过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解，那么另外一条切线必定是垂直于X轴的直线。） 6.圆系方程：

过两圆的交点的圆方程：假设两圆方程为：C1:x+y+D1x+E1y+F1=0 C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0则过两圆的交点圆方程可设为：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ

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（x2+y2+D2x+E2y+F2）=0

过两圆的交点的直线方程：x+y+D1x+E1y+F1- x+y+D2x+E2y+F2=0（两圆的方程相减得到的方

程就是直线方程）

7.与圆有关的计算：

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弦长的计算：AB=2*√R-d 其中R是圆的半径，d等于圆心到直线的距离

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AB=（√1+k）*∣X1-X2∣ 其中k是直线的斜率，X1与X2是直线与圆的方程联 立之后得到的两个根

过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线 圆内的最长弦是直径 8.圆的一些最值问题

①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径 ②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径

③假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则（x-a）/（y-b）的最值可以转化为圆上的点与

该点（a，b）的斜率问题，即先求过该定点的切线，得到的斜率便是该分式的最值。

④假设P（x，y）是在某个圆上的动点，则求x+y或x-y的最值可以转化为：设T=x+y或T=x-y，

在圆上找到点(X,Y)使得以y=x+T或y=x-T在Y轴上的截距最值化。

9.圆的对称问题

①已知圆关于已知的直线对称，则对称后的圆半径与已知圆半径是相等的，只需求出已知圆 的圆心关于该直线对称后得到的圆心坐标即可。 ②若某条直线无论其如何移动都能平分一个圆，则这个直线必过某定点，且该定点是圆的圆 心坐标

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