广东省深圳市高级中学2021-2022高二数学上学期期末考试试题 文
（含解析）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合A. 9 【答案】D 【解析】 【分析】
写出集合A,由交集运算得到集合C，从而得到元素个数. 【详解】则故选：D
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于简单题. 2.设A. 【答案】B 【解析】 试题分析：因
考点：复数及模的计算．
3.下列全称命题中假命题的个数是( ) ①A. 0 【答案】C 【解析】 试题分析：当x=
时①错；当x=0时②错；所以①②是假命题。
是整数
；②对所有的
B. 1
，
；③对任意一个
C. 2
，
为奇数． D. 3
，故
，所以应选B.
，则=（ ）
B.
C.
D. 2
,
，集合C的元素个数为2，
,
B. 8
，设C. 3
，则集合的元素个数为( )
D. 2
对任意一个x∈Z，∵2x2是偶数，∴③是真命题．即假命题有2个，选C．
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考点：本题主要考查全称命题真假判断。
点评：要判断一个全称命题是真命题，我们要有一个严格的论证过程，但要说明一个全称命题是一个假命题，只需要举出一个反例即可。此类题综合性较强，主要涉及知识面广。 4.已知A. 【答案】A 【解析】 【分析】
由指数函数和对数函数图像的性质即可判断出a，b，c的大小关系． 【详解】指数函数y=在R上单调递增，故a=20.6＞20＝1， 对数函数y=对数函数y=∴c＜b＜a． 故选：A．
【点睛】解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间
；二是利用函数的单调性直接解答；
在在
上单调递增，则0＜b=logπ3＜1， 上单调递增，则
；
B.
，则（ ）
C.
D.
5.某公司2013—2021年的年利润(单位：百万元)与年广告支出(单位：百万元)的统计资料如表所示： 年份 利润 支出
根据统计资料，则 ( )
A. 利润中位数是16，与有正相关关系 B. 利润中位数是17，与有正相关关系 C. 利润中位数是17，与有负相关关系 D. 利润中位数是18，与有负相关关系 【答案】B
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2013 12.2 0.62 202X 14.6 0.74 202X 16 0.81 202X 18 0.89 2021 20.4 1.00 2021 22.3 1.11 重点中学试卷 可修改 欢迎下载
【解析】 【分析】
求出利润中位数，而且随着利润的增加，支出也在增加，故可得结论． 【详解】由题意，利润中位数是
，而且随着利润的增加，支出也在增加，故x与
y有正线性相关关系
故选：C．
【点睛】本题考查中位数的求法，如果样本容量是奇数中间的数就是中位数，如果样本容量为偶数中间两位数的平均数就是中位数. 6.过点A. 3 【答案】B 【解析】 【分析】
把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心到点P的距离d，根据圆的半径r，即可求出切线长． 【详解】∵圆x2+y2﹣2x﹣4y+1＝0的标准方程是（x﹣1）2+（y﹣2）2＝4， 圆心（1，2）到点∴切线长为l＝故选：B．
【点睛】本题主要考查圆的方程与性质，以及切线长公式的应用，过点向圆作切线PM（M为切点），则切线长7.已知非零向量A. 【答案】A 【解析】 【分析】
根据条件容易求出t=4，从而得出θ，这样根据【详解】因∴t=4；
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引圆
B.
的切线，则切线长是 ( )
C. 4
D. 5
的距离d＝
．
；圆的半径r＝2，
.
，若
B.
，则
C.
与的夹角（ ）
D.
，从而得出可设与的夹角为
即可求出cosθ，进而得出θ的值．
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∴设∴
，，
，
与的夹角为θ，则：
故答案为：A．
【点睛】本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、余弦定理的应用，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是个方面:(1)求向量的夹角， 上的投影是
；（3）
向量垂直则
（此时
，二是
，主要应用以下几
往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在
的模（平方后需求
）.
;(4)求向量
8.执行如下图的程序框图，那么输出的值是( )
A. 2 【答案】A 【解析】 【分析】
B. 1 C. D. -1
模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的k和S值，根据题意即可得到结果. 【详解】程序运行如下，k=0, S＝
＝﹣1，
k＝1，S＝＝；
k＝2，S＝；
k＝3，S＝
＝-1…
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变量S的值以3为周期循环变化，当k=2021时，s=2， K=2021时，结束循环，输出s的值为2． 故选：A．
【点睛】本题考查程序框图，是当型结构，即先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件，跳出循环，算法结束，解答的关键是算准周期，是基础题． 9.点
是函数
的图象的一个对称中心，且点到该图
象的对称轴的距离的最小值为. ①②③④
的最小正周期是； 的值域为
；
的初相为； 在
上单调递增.
以上说法正确的个数是（ ） A. 【答案】D 【解析】 【分析】
由条件利用正弦函数的周期性、单调性、最值，以及图象的对称性，即可得出结论． 【详解】∵点P（﹣，1）是函数f（x）＝sin（ωx+φ）+m（ω＞0，|φ|＜）的图象的一个对称中心，∴m＝1，ω•（﹣）+φ＝kπ，k∈Z． ∵点P到该图象的对称轴的距离的最小值为
，∴ω＝2，
B.
C.
D.
∴φ＝kπ+, k∈Z，又|φ|＜∴φ＝，f（x）＝sin（2x+）+1． 故①f（x）的最小正周期是π，正确；②f（x）的值域为[0，2]，正确； ③f（x）的初相φ为，正确； ④在[
，2π]上，2x+∈[
，
]，根据函数的周期性，函数单调性与 [﹣，]时的单
调性相同，故函数f（x）单调递增，故④正确， 故选：D．
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【点睛】本题考查正弦函数的周期性、单调性、最值，以及它的图象的对称性，属于基础题． 10.分别在区间A. C. 【答案】A 【解析】 试题分析：
的概率为
,故选A.
和
内任取一个实数，依次记为和，则
B. D.
的概率为 ( )
考点：几何概型. 11.若两个正实数
满足
，且存在这样的
使不等式
有解，则实数
的取值范围是（ ） A. C. 【答案】C 【解析】 【分析】
此题转化为（x+）min＜m+3m，利用“1”的代换的思想进行构造，运用基本不等式求解最值，最后解关于m的一元二次不等式的解集即可得到答案． 【详解】∵不等式x+∴（x+）min＜m2﹣3m， ∵x＞0，y＞0，且∴x+＝（x+）（当且仅当
）＝
，
＝4，
2
B. D.
m2+3m有解，
，即x＝2，y＝8时取“＝”，
∴（x+）min＝4，
故m2+3m＞4，即（m-1）（m+4）＞0， 解得m＜﹣4或m＞1，
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∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞）． 故选：C．
【点睛】本题考查了基本不等式在最值中的应用和不等式有解问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．对于不等式的有解问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解． 12.已知椭圆和双曲线有共同焦点线的离心率分别为A. 3 【答案】D 【解析】 【分析】
设椭圆长半轴长为a1，双曲线的半实轴长a2，焦距2c．根据椭圆及双曲线的定义可以用a1，
，则
，是它们的一个交点，且
，记椭圆和双曲
的最大值为（ ）
C.
D.
B. 2
a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根据余弦定理可得到
论．
，利用基本不等式可得结
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的半实轴长为a2，则根据椭圆及双曲线的定义：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2， 设|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，则：在△PF1F2中，由余弦定理得， 4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos ∴化简得：a12+3a22＝4c2，该式可变成：
，
∴≥2
∴故选：D．
，
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【点睛】本题考查圆锥曲线的共同特征，考查通过椭圆与双曲线的定义求焦点三角形三边长，考查利用基本不等式求最值问题，属于中档题． 二、填空题：本大共4小题．每小题5分，满分20分． 13.已知双曲线为__________ . 【答案】【解析】 【分析】
由题意可得c，即有a+b，由点P在渐近线上，可得a＝2b，解方程可得a，b，进而得到所求双曲线方程． 【详解】双曲线可得2c＝
，即c＝
的焦距为
，
2
2
的焦距为，点在双曲线的渐近线上，则双曲线的方程
，即有a2+b2＝125，
在双曲线的渐近线上，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，点可得a＝2b，解得a＝10，b＝5， 得到双曲线方程为故答案为：
．
．
【点睛】本题考查双曲线方程的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和基本量的关系，考查运算能力，属于基础题． 14.已知复数满足【答案】【解析】 【分析】
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，则________.
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直接利用复数的商的运算计算得到复数的共轭复数，从而得到复数z. 【详解】则复数z=2-i, 故答案为：2-i
【点睛】本题考查复数的商的运算及共轭复数的概念，属于简单题. 15.已知函数则实数【答案】【解析】 【分析】
对函数f(x)求导，由切线斜率为1，可得到答案. 【详解】函数f（x）＝
，则导数
,
,
___________ .
，若函数
的图象在
处的切线方程为
，
，
由函数f（x）的图象在x＝2处的切线方程为y＝x+b可知解得a＝﹣2， 故答案为：-2
【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，利用曲线在某点处的切线的斜率等于函数在这点处的导数解决问题. 16.已知数列
的前项和为，
，且
，则数列
的通项公
式为_____________. 【答案】【解析】 【分析】 根据题意
，写出
，利用两式作差得到
，然后利用
累乘法可求出数列的通项. 【详解】数列则有
的前项和为，且当n≥2时，
，②
，①
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②-①得：则当n≥3时有解得
检验：当n=2时，当n=1时，则故答案为：
，整理得（n≥2），
，
（n≥3）, 满足上式，
不满足上式，
，
【点睛】本题考查由数列的递推关系式求数列的通项，考查累乘法求通项，考查计算能力. 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.某银行对某市最近5年住房贷款发放情况(按每年6月份与前一年6月份为1年统计)作了统计调查，得到如下数据： 年份 贷款(亿元)
(1)将上表进行如下处理：得到数据：
试求与的线性回归方程
，再写出与的线性回归方程
.
1 0 2 1 3 2 4 3 5 5 ，
202X 50 202X 60 202X 70 2021 80 2021 100 (2)利用(1)中所求的线性回归方程估算2021年房贷发放数额.
参考公式：,
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【答案】（1）【解析】 【分析】
；（2）108亿元.
（1）利用题目中数据求出a和b,即可得z=bt+a,将t＝x﹣2013，z＝（y﹣50）÷10，代入上式整理可得结果．（2）把x＝2021代入回归直线方程即可得到答案. 【详解】（1）计算得＝3，＝2.2，
，
,
所以
所以z＝1.2t﹣1.4．
， a＝2.2﹣1.2×3＝﹣1.4，
注意到t＝x﹣2013，z＝（y﹣50）÷10，代入z＝1.2t﹣1.4，即（y﹣50）÷10=1.2(x-2013)-1.4, 整理可得y＝12x﹣24120．
（2）当x＝2021时，y＝12×2021﹣24120＝108，即2021年房贷发放数额为108亿元． 【点睛】本题考查回归直线方程的求解及其应用，其中认真审题，利用表中数据和公式，准确合理的运算是解决此类问题的关键，考查运算能力，属于基础题. 18.如图，在
中，点在
边上，
，
，
，
．
（1）求（2）求线段
的面积； 的长． ；（2）
．
【答案】（1）【解析】
试题分析：（1）求得得
的值后再利用三角形的面积计算公式即可求解；（2）利用余弦定理求
的值后即可求解．
，且．∵
，∴,
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试题解析：（1）∵∴∴
．又∵， ；（2） ∵
，
．∴
，
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且∴∴∴
,．又∵
，，∴
，
，
，又∵在．
中,,∴,即,
考点：余弦定理解三角形．
19.按规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20—80mg/100ml（不含80）之间，属酒后驾车；在
（含80）以上时，属醉酒驾车．某市交警在某路段的一次拦查行动中，依法检查
了250辆机动车，查出酒后驾车和醉酒驾车的驾驶员20人，右图是对这20人血液中酒精含量进行检查所得结果的频率分布直方图．
（1）根据频率分布直方图，求：此次抽查的250人中，醉酒驾车的人数； （2）从血液酒精浓度在【答案】（1）3人；（2）； 【解析】
试题分析：（1）由频率分布直方图，先求出血液酒精浓度在然后作和即为醉酒驾车的人数；（2）先求出从血液酒精浓度在人的所有个数，以及恰有一人的血液酒精浓度在即可；
试题解析：（1）由频率分布直方图可知：血液酒精浓度在人，
血液酒精浓度在
范围内有：
人，所以醉酒驾车的人数为2+1=3人；
，
范围内有2人，记为
，
范围内有：和在
范围内的人数，
范围内的驾驶员中任取2人，求恰有1人属于醉酒驾车的概率．
范围内驾驶员中任取2
范围内的所有个数，两个数值做比值
（2）因为血液酒精浓度在则从中任取2人的所有情况为
内范围内有3人，记为
共10种，恰
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有一人的血液酒精浓度在范围内的情况有
，共6种设“恰
有1人属于醉酒驾车”为事件，则考点：频率分布直方图； 20.已知等差数列（1）求数列（2）若数列
的前项和为,且
成等比数列.
的通项公式； 的公差不为0，数列
满足
.
,求数列
的前项和.
【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
（1）利用等比数列中项的定义，等差数列的通项和等差数列的前n项和公式列出首项和公差的方程组，即可解得答案.（2）利用错位相减求和即可得到答案. 【详解】（1）由
成等比数列得，化简得
当∴
当d=0时，由（2）若数列所以
，得
，即
时，
，即；
,
， ……① ……②
由①②可得
.
【点睛】本题考查等差数列通项和等比数列中项的定义的应用，考查等差数列前n项和和错位相减求和法的应用，考查计算能力，属于基础题. 21.已知动圆过定点
，且在轴上截得的弦长为4.
或d=0.
，得
， ；
，设等差数列
的公差为d，则
的公差不为知
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(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)点为轨迹上任意一点，直线为轨迹上在点处的切线，直线交直线作
交轨迹于点，求
；（2）16.
的面积的最小值．
于点，过点
【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）设出动圆圆心C的坐标，由圆的半径、弦心距及半弦长的关系列式整理求得动圆圆心轨迹C的方程；（2）由抛物线方程设出P点坐标，利用导数得到切线PR方程，代入y＝﹣1得点R横坐标，求PQ所在直线方程，和抛物线联立，由根与系数关系得Q点横坐标，求出线段
PQ和PR的长度，由三角形面积公式得到面积关于P点横坐标的函数，利用换元法及基本不等
式求最值．
【详解】（1）设动圆圆心C（x，y），由动圆过定点A（0，2），且在x轴上截得的弦长为4得，|CA|﹣y＝4，即x+（y﹣2）﹣y＝4，整理得：x＝4y．∴动圆圆心的轨迹C的方程为x＝4y；
（2）C的方程为x2＝4y，即
，故，即
，设P(t,)（t≠0），
，
2
2
2
2
2
2
2
PR所在的直线方程为
令y=-1得点R横坐标，|PR|=；
PQ所在的直线方程为，即，
由，得，
由得点Q横坐标为，
∴|PQ|=，
，不妨设t＞0，,
记 ，则当t＝2时，f（t）min＝4,
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则三角形面积的最小值为．
【点睛】本题考查轨迹方程的求法，考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常把直线方程和圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系解题，同时考查利用换元法和基本不等式解决最值问题，属于中档题. 22.已知函数(1)求函数
的单调区间；
的极值大于?若存在，求的取值范围；若不存在，说明理
.
(2)是否存在实数，使得函数由.
【答案】（1）当为
存在，范围为【解析】
试题分析：（1）函数① 当② 当（ⅰ）当∴ 函数（ⅱ）当
时，时，令
，即
时，函数；当
的单调递增区间为
的单调递增区间为
，单调递减区间
，无单调递减区间. （2）
时，函数
的定义域为，∵得时，得
. ∴
，
，∴ 函数，即，故
，，
.
单调递增区间为
.
的单调递增区间为，即.
时，方程
的两个实根分别为，
若∴函数当∴函数
，则
的单调递增区间为
时，
，此时，当
，若
，则
时，. ，此时，当
时，
，
的单调递增区间为
时，函数；当
，单调递减区间为
的单调递增区间为时，函数
的单调递增区间为
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.
，单调递减区间
，无单调递减区间.
综上所述，当为
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（2）由(1)得当当∴∵设函数∴∴
时，函数
时，函数在上单调递增，故函数无极值
，
的单调递增区间为，单调递减区间为，其中
.
. ， ，则
，
有极大值，其值为
，即
， ∴，则
在
上为增函数，又
.
即，结合解得，∴实数的取值范围为.
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，突出分类讨论思想与转化思想的渗透与应用，属于难题，第二题把有正的极大值的问题转化为图象开口向下与X轴有两个交点，思路巧妙，学习中值得借鉴．
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