安新县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案

一、选择题

1． 在△ABC中，AB边上的中线CO=2，若动点P满足•

的最小值是（ ）

=（sin2θ）

+（cos2θ）

（θ∈R），则（

+

）

A．1 B．﹣1 C．﹣2 D．0

2． 已知圆M过定点(0,1)且圆心M在抛物线x22y上运动，若x轴截圆M所得的弦为|PQ|，则弦长

|PQ|等于（ ）

A．2 B．3 C．4 D．与点位置有关的值

【命题意图】本题考查了抛物线的标准方程、圆的几何性质，对数形结合能力与逻辑推理运算能力要求较高，难度较大.

3． e1,e2是平面内不共线的两向量，已知ABe1ke2，CD3e1e2，若A,B,D三点共线，则的值是（ ）

A．1 B．2 C．-1 D．-2 4． 设F1，F2为椭圆（ ） A．

B．

C．

D．

=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则

的值为

2x5． 函数y(a4a4)a是指数函数，则的值是（ ） A．4 B．1或3 C．3 D．1

6． 已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于l的直线（ ） A．只有一条，不在平面α内 B．只有一条，在平面α内 C．有两条，不一定都在平面α内 D．有无数条，不一定都在平面α内

2

2

2

2

7． 与圆C1：x+y﹣6x+4y+12=0，C2：x+y﹣14x﹣2y+14=0都相切的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

8． 函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m），若存在φ∈（数m的取值范围是（ ） A．（

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，），使f（sinφ）=f（cosφ），则实

） B．（，] C．（） D．（]

9． 设x∈R，则x＞2的一个必要不充分条件是（ ） A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3

10．若数列{an}的通项公式an=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*），{an}的最大项为第p项，最小项为第q项，则q﹣p等于（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

11．如图在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个 圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）

A

D

O B

C

A．

1 B．

11111 C． D． 2242

【命题意图】本题考查几何概型概率的求法，借助圆这个载体，突出了几何概型的基本运算能力，因用到圆的几何性质及面积的割补思想，属于中等难度．

12．用一平面去截球所得截面的面积为2π，已知球心到该截面的距离为1，则该球的体积是（ ） A．

π B．2

π

C．4

π

D．

π

二、填空题

1813．(x)的展开式中，常数项为___________．（用数字作答）

x【命题意图】本题考查用二项式定理求指定项，基础题.

14．设O为坐标原点，抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，过F斜率为相交于A，B两点，直线AO与l相交于D，若|AF|＞|BF|，则

= ．

的直线与抛物线C

15．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．

16．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h__________.

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17．已知直线5x+12y+m=0与圆x﹣2x+y=0相切，则m= ．

2

2

18．已知双曲线的标准方程为为 ．

，则该双曲线的焦点坐标为， 渐近线方程

三、解答题

19．（本小题满分10分）求经过点P1,2的直线，且使A2,3,B0,5到它的距离相等的直线 方程.

20．求下列曲线的标准方程： （1）与椭圆

+

=1有相同的焦点，直线y=x为一条渐近线．求双曲线C的方程．

（2）焦点在直线3x﹣4y﹣12=0 的抛物线的标准方程．

21．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．

（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围； （2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．

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22．已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a4=7，S4=16． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=

23．对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=

．若集合A满足下

，求数列{bn}的前n项和Tn．

列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω． 如当n=2时，E2={1，2}，P2=所以P2具有性质Ω．

（Ⅰ）写出集合P3，P5中的元素个数，并判断P3是否具有性质Ω． （Ⅱ）证明：不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B． （Ⅲ）若存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B，求n的最大值．

．∀x1，x2∈P2，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，

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24．（本小题满分12分）设f（x）＝－x2＋ax＋a2ln x（a≠0）． （1）讨论f（x）的单调性；

（2）是否存在a＞0，使f（x）∈[e－1，e2]对于x∈[1，e]时恒成立，若存在求出a的值，若不存在说明理由．

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安新县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】 C 【解析】解：∵∴即可得

=（sin2θ）+（cos2θ）﹣

），

+（cos2θ）=

（θ∈R），

﹣

），

22

且sinθ+cosθ=1，

=（1﹣cos2θ）﹣

=cos2θ•（

，

=cos2θ•

+cos2θ•（

2

又∵cosθ∈[0，1]，∴P在线段OC上，

由于AB边上的中线CO=2， 因此（可得（故选C．

【点评】本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．

2． 【答案】A

【解析】过M作MN垂直于x轴于N，设M(x0,y0)，则N(x0,0)，在RtMNQ中，|MN|y0，MQ为圆的半径，NQ为PQ的一半，因此

222|PQ|24|NQ|24(|MQ|2|MN|2)4[x0(y01)2y0]4(x02y01)

222又点M在抛物线上，∴x02y0，∴|PQ|4(x02y01)4，∴|PQ|2.

++

）•）•

=2 +

•）•

，设||=t，t∈[0，2]，

=﹣2t（2﹣t）=2t2﹣4t=2（t﹣1）2﹣2，

的最小值等于﹣2．

∴当t=1时，（

3． 【答案】B 【解析】

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考点：向量共线定理． 4． 【答案】C

【解析】解：F1，F2为椭圆

=1的两个焦点，可得F1（﹣

，0），F2（

）．a=2，b=1．

点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，PF1⊥F1F2， |PF2|=

=，由勾股定理可得：|PF1|=

=．

==．

故选：C．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．

5． 【答案】C 【解析】

考点：指数函数的概念． 6． 【答案】B ∴m∥l且n∥l

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【解析】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n 由平行公理4得m∥n

这与两条直线m与n相交与点P相矛盾 又因为点P在平面内 所以假设错误． 故选B．

所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内

【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．

7． 【答案】C

【解析】

【分析】先求出两圆的圆心和半径，判断两个圆的位置关系，从而确定与它们都相切的直线条数．

2222

【解答】解：∵圆C1：x+y﹣6x+4y+12=0，C2：x+y﹣14x﹣2y+14=0的方程可化为，

；； ∴圆C1，C2的圆心分别为（3，﹣2），（7，1）；半径为r1=1，r2=6．

∴两圆的圆心距=r2﹣r1； ∴两个圆外切，

∴它们只有1条内公切线，2条外公切线． 故选C．

8． 【答案】A

【解析】解：∵函数g（x）是偶函数，函数f（x）=g（x﹣m）， ∴函数f（x）关于x=m对称， 若φ∈（

，

），

则sinφ＞cosφ，

则由f（sinφ）=f（cosφ）， 则即m=当φ∈（则＜

，

=m，

=

（sinφ×

∈（，

+，

cosαφ）=），

sin（φ+

）

），则φ+

）＜

sin（φ+

，

则＜m＜故选：A

【点评】本题主要考查函数奇偶性和对称性之间的应用以及三角函数的图象和性质，利用辅助角公式是解决本题的关键．

9． 【答案】A

【解析】解：当x＞2时，x＞1成立，即x＞1是x＞2的必要不充分条件是， x＜1是x＞2的既不充分也不必要条件， x＞3是x＞2的充分条件，

x＜3是x＞2的既不充分也不必要条件，

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故选：A

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．

10．【答案】A 【解析】解：设

2

∴an=5t﹣4t=

=t∈（0，1]，an=5（）2n﹣2﹣4（）n﹣1（n∈N*）， ﹣，

，

∴an∈

∴q﹣p=2﹣1=1， 故选：A． 属于中档题．

11．【答案】C

当且仅当n=1时，t=1，此时an取得最大值；同理n=2时，an取得最小值．

【点评】本题考查了二次函数的单调性、指数函数的单调性、数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，

【解析】设圆O的半径为2，根据图形的对称性，可以选择在扇形OAC中研究问题，过两个半圆的交点分别向OA，OC作垂线，则此时构成一个以1为边长的正方形，则这个正方形内的阴影部分面积为

1，扇形2OAC的面积为，所求概率为P212．【答案】C

111． 2 cm；

【解析】解：用一平面去截球所得截面的面积为2π，所以小圆的半径为：已知球心到该截面的距离为1，所以球的半径为：所以球的体积为：故选：C．

=4

π

，

二、填空题

13．【答案】70

8r8rrrr82r【解析】(x)的展开式通项为Tr1C8x()(1)C8x，所以当r4时，常数项为

1x1x(1)4C8470.

14．【答案】

．

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2

【解析】解：∵O为坐标原点，抛物线C：y=2px（p＞0）的准线为l，焦点为F，

过F斜率为的直线与抛物线C相交于A，B两点，

直线AO与l相交于D， ∴直线AB的方程为y=联立

（x﹣），l的方程为x=﹣， ，解得A（﹣

，

，

P），B（，﹣

）

∴直线OA的方程为：y=

联立，解得D（﹣，﹣）

∴|BD|==，

∵|OF|=，∴ ==．

故答案为：．

【点评】本题考查两条件线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握抛物线的简单性质．

15．【答案】

．

【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥， 8个三棱锥的体积为：

剩下的凸多面体的体积是1﹣=．

=．

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故答案为：．

【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．

16．【答案】 【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA底面ABC，且ABC为直角三角形，且

11AB5,VAh,AC6，所以三棱锥的体积为V56h5h20，解得h4.

32

考点：几何体的三视图与体积. 17．【答案】8或﹣18

【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．

22

【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）++y=1 故圆的圆心为（1，0），半径为1 直线与圆相切

∴圆心到直线的距离为半径 即

=1，求得m=8或﹣18

故答案为：8或﹣18 18．【答案】 （±

【解析】解：双曲线c=

=2

，

，0） y=±2x ．

的a=2，b=4，

，0），

可得焦点的坐标为（±

渐近线方程为y=±x，即为y=±2x． 故答案为：（±

，0），y=±2x．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．

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三、解答题

19．【答案】4xy20或x1． 【解析】

20．【答案】

+

=1，得a2=8，b2=4，

，

为一条渐近线的双

【解析】解：（1）由椭圆

222

∴c=a﹣b=4，则焦点坐标为F（2，0），

∵直线y=x为双曲线的一条渐近线，

（λ＞0），

∴设双曲线方程为即

，则λ+3λ=4，λ=1．

；

∴双曲线方程为：（2）由3x﹣4y﹣12=0，得

∴直线在两坐标轴上的截距分别为（4，0），（0，﹣3）， ∴分别以（4，0），（0，﹣3）为焦点的抛物线方程为： y2=16x或x2=﹣12y．

【点评】本题考查椭圆方程和抛物线方程的求法，对于（1）的求解，设出以直线曲线方程是关键，是中档题．

21．【答案】 当m≠0时，若f（x）＜0恒成立， 则

【解析】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，

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解得﹣4＜m＜0

综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ （2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立， 即令﹣﹣﹣﹣

当 m＞0时，g（x）是增函数， 所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0， 解得

．所以

恒成立．

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

当m=0时，﹣6＜0恒成立． 当m＜0时，g（x）是减函数． 所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0， 解得m＜6． 所以m＜0． 综上所述，

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 题的关键．

22．【答案】

【点评】本题考查的知识点是函数恒成立问题，函数的最值，其中将恒成立问题转化为最值问题是解答此类问

【解析】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，依题意得解得：a1=1，d=2an=2n﹣1… （2）由①得∴∴

…（12分）

…（7分）

…（2分）

…（11分）

【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法及数列的求和，突出考查裂项法求和的应用，属于中档题．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵对于任意的n∈N*，记集合En={1，2，3，…，n}，Pn=

．

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∴集合P3，P5中的元素个数分别为9，23，

∵集合A满足下列条件：①A⊆Pn；②∀x1，x2∈A，且x1≠x2，不存在k∈N*，使x1+x2=k2，则称A具有性质Ω，

∴P3不具有性质Ω．…..

证明：（Ⅱ）假设存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．其中E15={1，2，3，…，15}． 因为1∈E15，所以1∈A∪B，

不妨设1∈A．因为1+3=22，所以3∉A，3∈B．

同理6∈A，10∈B，15∈A．因为1+15=42，这与A具有性质Ω矛盾． 所以假设不成立，即不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使E15=A∪B．…..

解：（Ⅲ）因为当n≥15时，E15⊆Pn，由（Ⅱ）知，不存在A，B具有性质Ω，且A∩B=∅，使Pn=A∪B． 若n=14，当b=1时，

，

取A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}， 则A1，B1具有性质Ω，且A1∩B1=∅，使E14=A1∪B1． 当b=4时，集合

中除整数外，其余的数组成集合为，

令

，

，

．

则A2，B2具有性质Ω，且A2∩B2=∅，使当b=9时，集

中除整数外，其余的数组成集合

，

令

则A3，B3具有性质Ω，且A3∩B3=∅，使

．

集合

它与P14中的任何其他数之和都不是整数，

因此，令A=A1∪A2∪A3∪C，B=B1∪B2∪B3，则A∩B=∅，且P14=A∪B． 综上，所求n的最大值为14．…..

中的数均为无理数，

，

．

【点评】本题考查集合性质的应用，考查实数值最大值的求法，综合性强，难度大，对数学思维要求高，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．

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24．【答案】

a2

【解析】解：（1）f（x）＝－x＋ax＋aln x的定义域为{x|x＞0}，f′（x）＝－2x＋a＋

x

a

－2（x＋）（x－a）

2

＝. x

a

①当a＜0时，由f′（x）＜0得x＞－，

2

a

由f′（x）＞0得0＜x＜－. 2a

此时f（x）在（0，－）上单调递增，

2

a

在（－，＋∞）上单调递减；

2

2

2

②当a＞0时，由f′（x）＜0得x＞a， 由f′（x）＞0得0＜x＜a，

此时f（x）在（0，a）上单调递增，在（a，＋∞）上单调递减． （2）假设存在满足条件的实数a， ∵x∈[1，e]时，f（x）∈[e－1，e2]， ∴f（1）＝－1＋a≥e－1，即a≥e，① 由（1）知f（x）在（0，a）上单调递增， ∴f（x）在[1，e]上单调递增，

∴f（e）＝－e2＋ae＋e2≤e2，即a≤e，② 由①②可得a＝e， 故存在a＝e，满足条件．

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