2021年深圳高三数学二模

本试卷共6页，22小题,满分150分.考试用时120分钟.

、单项选择题:本题共8道小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知A{xN∣x7},B{5,6,7,8},则集合AB中的元素个数为( ) A.7 B.8 C.9 D.10

2.已知复数z12i(i为虚数单位),设z是z的共轭复数,则zz( ) A.2 B.3 C.2 D.3

3.五一国际劳动节放假三天，甲、乙两名同学计划去敬老院做志愿者，若甲同学在三天中随机选一天,乙同学在前两天中随机选一天,且两名同学的选择互不影响,则他们在同一天去的概率为( ) A.

1112 B. C. D. 6233234.函数yxsin(x)log2|x|的图象大致为( )

15.已知cosx,则sin2x( )

23A.

7788 B. C. D. 99996.设,为两个不同的平面,直线l,则“l∥”是“// ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

y27.F1 ，F2分别为双曲线C:x右焦点,过F1的直线l与C的左、右两支曲线分别1的左、

22交于A,B两点,若lF2B,则F2AF2B( )

A.423 B.43 C.625 D.625 8.在一个正三角形的三边上,分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形(如图1所示,图中共有2个正三角形).然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次,可得到如图2所示的优美图形(图中共有11个正三角形),这个过程称之为迭代.在边长为243的正三角形三边上,分别取一个三等分点,连接成一个较小的正三角形,然后迭代得到如图3所示的图形(图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形面积为( )

A.3333 B.1 C. D.

244二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分.

9.设直线l:ykx1(kR)与圆C:x2y25,则下列结论正确的为( ) A.l与C可能相离 B.l不可能将C的周长平分

C.当k1时，l被C截得的弘长为D.l被C椎得的最短弘长为4

32 210.为方便顾客购物,某网上购鞋平台统计了鞋号y (单位:码)与脚长x (单位:意米)的样本数据ˆ0.2x10 ,则下列结xi,yi ,发现y与x具有线性相关关系,用最小二乘法求得回片方程为y论中正确的为( )

A.回归直线过样本点的中心(x,y) B.y与x可能具有负的线性相关关系

C.若某顾客的鞋号是40码,则该顾客的脚长约为250毫米

D.若某顾客的脚长为262毫米,在“不挤脚”的前提下,应选择42码的鞋

11.摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如深圳前海的“湾区之光”摩天轮,如图所示,某摩天轮最高点离地面高度128米,转盘直径为120米,设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钻，当t15时，游客随舱旋转至距离地面最远处.以下关于摩天轮的说法中，正确的为( )

A.摩天轮离地面趣近的距离为4米

B.若旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米,则h60cost68

15C.若在t1,t2时刻，游客距离地面的高度相等,则t1t2的最小值为30 D.t1,t2[0,20],使得游客在该时刻距离地面的高度均为90米

112.设函数f(x)exex和g(x)lnxkx2(12k)x(kR) ,其中e是自然对数的底数

2(e2.71828),则下列结论正确的为

A.f(x)的图象与x轴相切

B.存在实数k0,使得g(x)的图象与x轴相切

1,则方程f(x)g(x)有唯一实数解 21D.若g(x)有两个零点,则k的取值范围为0,

2C.若k三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分. 13.已知椭圆C的焦点在x轴上,且离心率为

1,则C的方程可以为 . 214.设恒等式(12x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5,则a0a3 .

15.若在母线长为5,高为4的圆锥中挖去一个小球,则到余部分体积的最小值为 . 16.著名的费马问题是法国数学家皮埃尔.德费马(16011665)于1643年提出的平面几何极值问题:“已知一个三角形,求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形,都存在唯一的费马点，当ABC的三个内角均小于120时,则使得APBBPCCPA120的点P即为费马点.已知点P为

ABC的费马点,且ACBC,若|PA||PB||PC|,则实数的最小值为 .

四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①2b2a1a2,②b2a8,③T3a5这三个条件中选择一个,补充在下面问题中,并作出解答.问题:已知数列an的前n项和Sn21nn2,等比数列bn的前n项和为Tn,b1a3,且判断是否存在唯一的kkN* ,使得bk1 ,且bk11.若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

18.三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设sin2Asin2Bsin2C2sinAsinB. (1)求C

37(2)若cosB,D是边BC上一点,且CD4BD,ACD的面积为,求AC.

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19.如图,在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AB//CD,DC2,AA13,ABBCDA1 ,点E和

F分别在侧棱AA1,CC1上，且A1ECF1.

(1)求证:BC//平面D1EF

(2)求直线AD与平面D1EF所成角的正弦值

20.已知某高校共有10000名学生，其图书馆阅览室共有994个座位,假设学生是否去自习是相互独立的，且每个学生在每天的晚自习时间去阅览室自习的概率均为0.1. (1)将每天的晚自习时间去阅览室自习的学生人数记为X,求X的期望和方差;

(2)18世纪30年代，数学家棣莫弗发现，如果随机变量X服从二项分布B(n,p),那么当n比较大时,可视为X服从正态分布N,2.任意正态分布都可变换为标准正态分布(0且,如果随机变量Y~N,2 ,那么令Z1的正态分布)

Z~N(0,1)时，对于任意实数a,记(a)P(Za).

Y ,则可以证明Z~N(0,1).当

已知下表为标准正态分布表(节选),该表用于查询标准正态分布对应的概率值.例如当由于0.160.10.06,则先在表的最左列找到数字0.1 (位于第三行),然后在表的a0.16时，

最上行找到数字0.06 (位于第八列) ,则表中位于第三行第八列的数字0.5636便是(0.16)的值.

(i)求在晚自习时间阅览室座位不够用的概率:

(ii)若要使在晚自习时伯阅览室座位够用的概率高于0.7,则至少需要添加多少个座位

21.在平面直角坐标系xO中,O是坐标原点,P是旦线x2上的动点,过P作两条相异直线l1和l2,其中l1与拋物线C:y24x交于A,B两点,l2与C交于M,N两点,记l1 ,l2和直线OP的斜率分别为k1 ,k2和

k3.(1)当P在x轴上,且A为PB中点时，求k1

(2)当AM为PBN的中位线时，请问是否存在常数 ,使得值:若不存在,请说明理由.

11k3?若存在,求出的k1k222.已知定义在R上的函数f(x)x2acosx(a2)ex,aR.（其中常数e是自然对数的底数e2.71828）

(1)当a2时，求f(x)的极值

(2)(i)若f(x)在[0,]上单调递增,求实数a的取值范围; (ii)当nN时,证明:*k1n1(nk)tan1nkn1. 4n2