安徽省定远重点中学2019届高三上学期期中考试 数学(理)

数学试题（理科）

姓名：座位号：

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟。请在答题卷上作答。

第I卷 （选择题 共60分）

一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求。) 1.已知集合M＝{x|

≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于( )

A．∅ B． {x|x≥1} C． {x|x>1} D． {x|x≥1或x<0} 2.若α∈R，则“α＝0”是“sinαA．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.设若

A．4.设和A．

B．的三个内角

，向量，则

=（）.

D．

成等比数列,则

的前

项

，

，

C．

，且

是公差不为0的等差数列,（）.

B．

C． D．

5.函数y＝esin x(－π≤x≤π)的大致图象为 ( )

6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a满足f(2|a－

1|

)>f(－)，则a的取值范围是( )

B． D．

∪

A．C．

7.将函数y＝sinx的图像向左平移个单位，得到函数y＝f(x)的图像，则下列说法正确的是( )

A．y＝f(x)是奇函数 B．y＝f(x)的周期为π

C．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称

D．y＝f(x)的图像关于点对称

8.设函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)．若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是( ) A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0 9.已知a＝21.2，b＝

－0.8

，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为( )

A．c10.设函数f(x)＝F(x)＝f(x)＋x，x∈R.F(x)的值域为( )

A． (－∞，1] B． [2，＋∞) C． (－∞，1]∪[2，＋∞) D． (－∞，1)∪(2，＋∞) 11.在（） A．

B．

C．

D．

中角

、、所对边长分别为

，若

，则

的最小值为

12.若函数f(x)＝x3－ax2＋(a－1)x＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)内为增函数，则实数a的取值范围是( )

A．a≤2 B． 5≤a≤7 C． 4≤a≤6 D．a≤5或a≥7

第II卷（非选择题共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.如图，已知△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，且

，则实数m＝________.

14.设m>1，在约束条件________．

下，目标函数z＝x＋5y的最大值为4，则m的值为

15.已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m＋n＝________.

16.设{an}是等比数列，公比设

为数列{

}的最大项，则

，记Sn为{an}的前n项和。= .

三、解答题(共6小题 ,共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。) 17.（本小题满分10分）

在△ABC中，p：cosB>0；q：函数y＝sin(1)如果p为假命题，求函数y＝sin

为减函数．

＋B的值域；

(2)若“p且q”为真命题，求B的取值范围． 18. （本小题满分12分）

已知各项均不相等的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，且a3＋1为 a1＋1和a7＋1的等比中项．

(1)求数列{an}的通项公式与前n项和Sn； (2)设

Tn为数列{

}的前n项和，问是否存在常数m，使

Tn＝m[

＋]，若存在，

求m的值；若不存在，说明理由．

19. （本小题满分12分）

△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边长分别是a，b，c，且满足csinA＋0.

(1)求C的值； (2)若cosA＝，c＝5

20. （本小题满分12分）

已知函数f(x)＝mx＋3，g(x)＝x2＋2x＋m. (1) 求证：函数f(x)－g(x)必有零点；

，求sinB和b的值．

acosC＝

(2) 设函数G(x)＝f(x)－g(x)－1，若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，求实数m的取值范围．

21. （本小题满分12分）

已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x.

(1)当x∈[1,4]时，求函数h(x)＝[f(x)＋1]·g(x)的值域； (2)如果对任意的x∈[1,4]，不等式f(x2)·f(

22. （本小题满分12分） 设f(x)＝－x3＋x2＋2ax. (1)若f(x)在

上存在单调递增区间，求a的取值范围；

，求f(x)在该区间上的最大值． )>k·g(x)恒成立，求实数k的取值范围．

(2)当0＜a＜2时，f(x)在[1,4]上的最小值为－

2018-2019学年度高三上学期期中考试

理科数学试题答案

1. C 2. A 3. C 4. A 5. D 6. C 7. D 8. B 9. A

10. C 11. C 12. B 13. 1 14. 3 15. 11 16. 4

17. 【解析】 (1)由p为假命题，则cosB≤0， ∵0≤B<π，∴π≤B＋的值域为

<π， .

(2)∵“p且q”为真命题，∴p真q真． 由p：cosB>0，解得0<π，

， 为减函数，

.

18. （1）an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．（2）存在常数m＝ 【解析】(1)设数列{an}的公差为d，由已知，可得

S3＝a1＋a2＋a3＝15，得a2＝a1＋d＝5， 由a3＋1为a1＋1和a7＋1的等比中项，

可得(6＋d)2＝(6－d)×(6＋5d)，化简得d2－2d＝0， 解得d＝0(不合题意，舍去)或d＝2，

当d＝2时，a1＝3，其通项公式为an＝3＋(n－1)×2＝2n＋1，前n项和Sn＝n(n＋2)．

(2)由(1)知数列{an}的前n项和为Sn＝n(n＋2)， 则有＝

＝(-)，

Tn＝(1-＋-＋-＋…＋-+-)＝(1＋--)＝[＋]．

故存在常数m＝，使得Tn＝m[＋]成立．

19. C＝. sinB＝，b＝3－4.

【解析】(1)将csinA＋＝0，

即2sinCsinA＋2

acosC＝0利用正弦定理化简得：2RsinCsinA＋2RsinAcosCsinAcosC＝0，

cosC＝0，即tanC＝－

，

∵sinA≠0，∴sinC＋

∵C∈(0，π)，∴C＝.

(2)∵cosA＝，A∈，∴sinA＝＝，则sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)

＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝，

∵sinB＝，c＝5，sinC＝sin＝，

则由正弦定理＝，得：

b＝＝＝3－4.

20. (1) 证明：f(x)－g(x)＝(mx＋3)－(x2＋2x＋m)＝－x2＋(m－2)x＋(3－m)． 由Δ1＝(m－2)2＋4(3－m)＝m2－8m＋16＝(m－4)2≥0，知函数f(x)－g(x)必有零点．

(2) |G(x)|＝|－x2＋(m－2)x＋(2－m)|＝|x2－(m－2)x＋(m－2)|，

Δ2＝(m－2)2－4(m－2)＝(m－2)(m－6)， ① 当Δ2≤0，即2≤m≤6时， |G(x)|＝x2－(m－2)x＋(m－2)， 若|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则② 当Δ2＞0，即m＜2或m＞6时， 若m＜2，则所以m≤0； 若m＞6，则

＞2，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则G(0)≥0，所以m＞6. ＜0，要使|G(x)|在[－1，0]上是减函数，则

≤－1且G(0)≤0，

≥0，即m≥2，所以2≤m≤6时，符合条件．

综上，m≤0或m≥2.

21. (1) [0,2](2)k∈(－∞，－3)

【解析】(1)h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(log2x－1)2＋2， 因为x∈[1,4]，所以log2x∈[0,2]． 故函数h(x)的值域为[0,2]． (2)由f(x2)·f(

)>k·g(x)得

(3－4log2x)(3－log2x)>k·log2x，

令t＝log2x，因为x∈[1,4]，所以t＝log2x∈[0,2]， 所以 (3－4t)(3－t)>k·t对一切t∈[0,2]恒成立， ①当t＝0时，k∈R； ②当t∈(0,2]时，k<

恒成立，即k<4t＋－15恒成立，

因为4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号， 所以4t＋－15的最小值为－3，即k∈(－∞，－3)． 22. (1) a＞－(2)

2

【解析】由f′(x)＝－x2＋x＋2a＝－＋＋2a，

当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a；

令＋2a＞0，得a＞－. 所以，当a＞－时，f(x)在(2)令f′(x)＝0，得两根x1＝

上存在单调递增区间．

，x2＝

.

所以f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增．

当0＜a＜2时，有x1＜1＜x2＜4，所以f(x)在[1,4]上的最大值为f(x2)，又f(4)－f(1)＝－

＋6a＜0，即f(4)＜f(1)．

＝－

.

.

所以f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)＝8a－

得a＝1，x2＝2，从而f(x)在[1,4]上的最大值为f(2)＝