新安县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学

一、选择题

1． 两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为（ ） A．akm

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________ B．

akm

C．2akm

akm

D．

2． 如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，点E，F分别是线段AB，C1D1上的动点，点P是上底面A1B1C1D1内一动点，且满足点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，则当点P运动时，PE的最小值是（ ）

A．5 B．4 C．4 D．2

3． 如图，在正四棱锥S﹣ABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论：①EP∥BD；②EP⊥AC；③EP⊥面SAC；④EP∥面SBD中恒成立的为（ ）

A．②④ A．±1

B．③④

D．1

C．①② D．①③

4． 若复数a2﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a=（ ）

B．﹣1 C．0

5． 已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则A．（﹣5，﹣10）

=（ ）

B．（﹣4，﹣8） C．（﹣3，﹣6） D．（﹣2，﹣4）

，

6． 两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面圆周都在同一个球面上．若圆锥底面面积是球面面积的则这两个圆锥的体积之比为（ ） A．2：1 B．5：2 C．1：4 D．3：1

7． 等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（ ） A．B2=AC

B．A+C=2B

C．B（B﹣A）=A（C﹣A）

D．B（B﹣A）=C（C﹣A）

2xy20,228． 如果点P在平面区域x2y10,上，点Q在曲线x(y2)1上，那么|PQ|的最小值为（ ）

xy20第 1 页，共 17 页

41 C. 221 D．21 519． 已知{an}是等比数列，a22，a5，则公比q（ ）

411A． B．-2 C．2 D．

2210．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离

A．51 B．相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（ ）

D1 C1 A1 B1 P D C A B

A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线

【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力. 11．在△ABC中，C=60°，AB=

，AB边上的高为，则AC+BC等于（ ）

A． B．5 C．3 D．

12．与函数 y=x有相同的图象的函数是（ ） A．

B．

C．

D．

二、填空题

213．已知各项都不相等的等差数列an，满足a2n2an3，且a6a1a21，则数列Sn项中 n12的最大值为_________. 14．设x，y满足的约束条件

，则z=x+2y的最大值为 ．

15．设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 ．

16．若函数f(x)alnxx在区间(1,2)上单调递增，则实数的取值范围是__________. 17．如图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数； ②在区间（1，3）内f（x）是减函数； ③在x=2时，f（x）取得极大值；

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④在x=3时，f（x）取得极小值． 其中正确的是 ．

18．一船以每小时12海里的速度向东航行，在A处看到一个灯塔B在北偏东60°，行驶4小时后，到达C处，看到这个灯塔B在北偏东15°，这时船与灯塔相距为 海里．

三、解答题

19．已知双曲线过点P（﹣3（1）求双曲线的标准方程；

，4），它的渐近线方程为y=±x．

（2）设F1和F2为该双曲线的左、右焦点，点P在此双曲线上，且|PF1||PF2|=41，求∠F1PF2的余弦值．

20．已知椭圆

：

的长轴长为，点

，

为坐标原点．

在椭圆

上，求

的最小值．

（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率； （Ⅱ） 设动直线与y轴相交于点

21．计算下列各式的值： （1）

22

（2）（lg5）+2lg2﹣（lg2）．

关于直线的对称点

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22．（本小题满分10分）

已知曲线C的极坐标方程为2sincos10，将曲线C1:xcos，（为参数），经过伸缩变

ysinx3x换后得到曲线C2．

y2y（1）求曲线C2的参数方程；

（2）若点M的在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值． 23．

（本小题满分10分）如图⊙O经过△ABC的点B，C与AB交于E，与AC交于F，且AE＝AF. （1）求证EF∥BC；

（2）过E作⊙O的切线交AC于D，若∠B＝60°，EB＝EF＝2，求ED的长． 24．

设函数f(x)e，g(x)lnx．

x（Ⅰ）证明：g(x)2e； x第 4 页，共 17 页

（Ⅱ）若对所有的x0，都有f(x)f(x)ax，求实数a的取值范围．

25．（本小题满分10分）直线l的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），其中α∈[0，π），曲线C1的参数方

x＝cos t程为（t为参数），圆C2的普通方程为x2＋y2＋23x＝0.

y＝1＋sin t

（1）求C1，C2的极坐标方程；

（2）若l与C1交于点A，l与C2交于点B，当|AB|＝2时，求△ABC2的面积．

26．某单位为了了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．

14 12 8 6 气温（℃） 用电量（度） 22 26 34 38 ）

（1）求线性回归方程；（

（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10℃时的用电量．

附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：

=， =﹣．

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新安县高中2018-2019学年高二下学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】D

，

akm，

【解析】解：根据题意，

△ABC中，∠ACB=180°﹣20°﹣40°=120°， ∵AC=BC=akm，

∴由余弦定理，得cos120°=解之得AB=故选：D．

akm，

即灯塔A与灯塔B的距离为

【点评】本题给出实际应用问题，求海洋上灯塔A与灯塔B的距离．着重考查了三角形内角和定理和运用余弦定理解三角形等知识，属于基础题．

2． 【答案】 D 建立空间直角坐标系，

设AE=a，D1F=b，0≤a≤4，0≤b≤4，P（x，y，4），0≤x≤4，0≤y≤4， 则F（0，b，4），E（4，a，0），

=（﹣x，b﹣y，0），

∵点P到点F的距离等于点P到平面ABB1A1的距离，

∴当E、F分别是AB、C1D1上的中点，P为正方形A1B1C1D1时， PE取最小值，

此时，P（2，2，4），E（4，2，0）， ∴|PE|min=故选：D．

=2

．

【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，

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【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系、空间向量的运算等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力、空间想象能力，考查数形结合、转化与化归等数学思想方法及创新意识．

3． 【答案】 A 【解析】解：如图所示，连接AC、BD相交于点O，连接EM，EN． 在①中：由异面直线的定义可知：EP与BD是异面直线， 不可能EP∥BD，因此不正确； ∴SO⊥AC．

在②中：由正四棱锥S﹣ABCD，可得SO⊥底面ABCD，AC⊥BD， ∵SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD， ∵E，M，N分别是BC，CD，SC的中点， ∴EM∥BD，MN∥SD，而EM∩MN=M，

∴平面EMN∥平面SBD，∴AC⊥平面EMN，∴AC⊥EP．故正确． 在③中：由①同理可得：EM⊥平面SAC，

若EP⊥平面SAC，则EP∥EM，与EP∩EM=E相矛盾， 因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直．即不正确． 在④中：由②可知平面EMN∥平面SBD， ∴EP∥平面SBD，因此正确． 故选：A．

【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

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4． 【答案】B

2

【解析】解：因为复数a﹣1+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，

2

所以a﹣1=0且a﹣1≠0，解得a=﹣1．

故选B．

【点评】本题考查复数的基本概念的应用，实部为0并且虚部不为0，是解题的关键．

5． 【答案】B

【解析】解：排除法：横坐标为2+（﹣6）=﹣4， 故选B．

6． 【答案】D

2

【解析】解：设球的半径为R，圆锥底面的半径为r，则πr=

×4πR2=

．

，∴r=．

∴球心到圆锥底面的距离为∴两个圆锥的体积比为：故选：D．

7． 【答案】C 故排除A，D； 若公比q≠1， 则A=Sn=B（B﹣A）=

A（C﹣A）=

（

=．∴圆锥的高分别为和

=1：3．

，B=S2n=

，C=S3n=

）=

，

【解析】解：若公比q=1，则B，C成立；

（﹣ ﹣

nnn

（1﹣q）（1﹣q）（1+q）

）=

nnn

（1﹣q）（1﹣q）（1+q）；

故B（B﹣A）=A（C﹣A）； 故选：C．

【点评】本题考查了等比数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论及学生的化简运算能力．

8． 【答案】A 【解析】

试题分析：根据约束条件画出可行域Z|PQ|表示圆上的点到可行域的距离,当在点A处时,求出圆心到可

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行域的距离内的点的最小距离5,当在点A处最小, |PQ|最小值为51,因此，本题正确答案是51.

考点：线性规划求最值. 9． 【答案】D 【解析】

试题分析：∵在等比数列{an}中，a22,a5考点：等比数列的性质. 10．【答案】D.

a1113,q5,q.

a2824第Ⅱ卷（共110分）

11．【答案】D

【解析】解：由题意可知三角形的面积为S=

=

=AC•BCsin60°，

2222

∴AC•BC=．由余弦定理AB=AC+BC﹣2AC•BCcos60°=（AC+BC）﹣3AC•BC，

∴（AC+BC）﹣3AC•BC=3，

2

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2

∴（AC+BC）=11．

∴AC+BC=

故选：D

【点评】本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，整体法是解决问题的关键，属中档题．

12．【答案】D 【解析】解：A：y=B：C：D：故选D

【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题

的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误

与y=x的对应法则不一样，故B错误 =x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误

，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确

二、填空题

13．【答案】 【解析】

考

点：1.等差数列的通项公式；2.等差数列的前项和．

【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式.等差数列的通项公式及前项和公式,共涉及

a1,an,d,n,Sn五个量,知其中三个就能求另外两个,体现了用方程的思想解决问题.数列的通项公式和前项和公

式在解题中起到变量代换作用,而a1,d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法. 14．【答案】 7 ．

【解析】解：作出不等式对应的平面区域， 由z=x+2y，得y=﹣平移直线y=﹣由

，得

，

，由图象可知当直线y=﹣

，

经过点B时，直线y=﹣

的截距最大，此时z最大．

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即B（3，2），

此时z的最大值为z=1+2×3=1+6=7， 故答案为：7．

【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．

15．【答案】 （﹣2，0）∪（2，+∞） ．

【解析】解：设g（x）=g′（x）=

，

，则g（x）的导数为：

∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立， 即当x＞0时，g′（x）＞0，

∴当x＞0时，函数g（x）为增函数， 又∵g（﹣x）=

=

=

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数， ∴x＜0时，函数g（x）是减函数， 又∵g（﹣2）=

=0=g（2），

∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．

16．【答案】a2 【解析】

试题分析：因为f(x)alnxx在区间(1,2)上单调递增，所以x(1,2)时，f'xa10恒成立，即xax恒成立，可得a2，故答案为a2.1

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题. 17．【答案】 ③ ．

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【解析】解：由 y=f'（x）的图象可知， x∈（﹣3，﹣），f'（x）＜0，函数为减函数；

所以，①在区间（﹣2，1）内f（x）是增函数；不正确； ②在区间（1，3）内f（x）是减函数；不正确； x=2时，y=f'（x）=0，且在x=2的两侧导数值先正后负， ③在x=2时，f（x）取得极大值； 而，x=3附近，导函数值为正，

所以，④在x=3时，f（x）取得极小值．不正确． 故答案为③．

【点评】本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．

18．【答案】 24

【解析】解：根据题意，可得出∠B=75°﹣30°=45°， 在△ABC中，根据正弦定理得：BC=则这时船与灯塔的距离为24故答案为：24

．

海里．

=24

海里，

三、解答题

19．【答案】

2

x2=λ（λ≠0），

【解析】解：（1）设双曲线的方程为y﹣代入点P（﹣3

，4），可得λ=﹣16，

∴所求求双曲线的标准方程为

（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1d2=41， 又由双曲线的几何性质知|d1﹣d2|=2a=6， 又|F1F2|=2c=10，

2222

∴d1+d2﹣2d1d2=36即有d1+d2=36+2d1d2=118，

222

∴|F1F2|=100=d1+d2﹣2d1d2cos∠F1PF2

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∴cos∠F1PF2=

【点评】本题给出双曲线的渐近线，在双曲线经过定点P的情况下求它的标准方程，并依此求∠F1PF2的余弦值．着重考查了双曲线的标准方程与简单几何性质、利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．

20．【答案】

【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】（Ⅰ）因为椭圆C：所以故所以椭圆因为所以离心率

，

， ，解得

的方程为

， ．

，

，

， ．

，

（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，设点则线段且直线由点

的中点的斜率

的坐标为

，

，得直线

，

，

，则

，得

．

．

，

，

，

关于直线的对称点为

故直线的斜率为所以直线的方程为：令由化简，得所以

，得

，且过点

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当且仅当，即

．

时等号成立．

所以的最小值为21．【答案】

【解析】解：（1）==

=5…

…

22

（2）（lg5）+2lg2﹣（lg2）

=（lg5+lg2）（lg5﹣lg2）+2lg2… =

．…

x3cos22．【答案】（1）（为参数）；（2）5. y2sin【解析】

试

题解析：

xcos（1）将曲线C1:（为参数），化为

ysin1xxx3x3x2y21，由伸缩变换化为，

1y2yyy22xy1， 11代入圆的方程xy1，得到C2:9432x3cos可得参数方程为；

y2sin22第 14 页，共 17 页

考点：坐标系与参数方程． 23．【答案】

【解析】解：（1）证明：∵AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE.

又B，C，F，E四点共圆， ∴∠ABC＝∠AFE，

∴∠AEF＝∠ACB，又∠AEF＝∠AFE，∴EF∥BC. （2）由（1）与∠B＝60°知△ABC为正三角形， 又EB＝EF＝2， ∴AF＝FC＝2，

设DE＝x，DF＝y，则AD＝2－y， 在△AED中，由余弦定理得 DE2＝AE2＋AD2－2AD·AEcos A.

即x2＝（2－y）2＋22－2（2－y）·2×12，

∴x2－y2＝4－2y，①

由切割线定理得DE2＝DF·DC， 即x2＝y（y＋2）， ∴x2－y2＝2y，②

由①②联解得y＝1，x＝3，∴ED＝3. 24．【答案】

【解析】（Ⅰ）令

F(x)g(x)2elnx2e，1exe

xxF(x)xx2x2由F(x)0xe ∴F(x)在(0,e]递减，在[e,)递增，

∴ F(x)eeminF(e)lne2e0 ∴F(x)0 即g(x)2x成立． …… 5分

（Ⅱ） 记h(x)f(x)f(x)axexexax， ∴ h(x)0在[0,)恒成立，第 15 页，共 17 页

h(x)eexxa， ∵ h(x)exex0x0，

∴ h(x)在[0,)递增， 又h(0)2a， …… 7分 ∴ ① 当 a2时，h(x)0成立， 即h(x)在[0,)递增， 则h(x)h(0)0，即 f(x)f(x)ax成立； …… 9分 ② 当a2时，∵h(x)在[0,)递增，且h(x)min2a0， ∴ 必存在t(0,)使得h(t)0．则x(0,t)时，h(t)0，

即 x(0,t)时，h(t)h(0)0与h(x)0在[0,)恒成立矛盾，故a2舍去． 综上，实数a的取值范围是a2． …… 12分 25．【答案】

x＝cos t

【解析】解：（1）由C1：（t为参数）得

y＝1＋sin t

x2＋（y－1）2＝1， 即x2＋y2－2y＝0，

∴ρ2－2ρsin θ＝0，即ρ＝2sin θ为C1的极坐标方程， 由圆C2：x2＋y2＋23x＝0得

ρ2＋23ρcos θ＝0，即ρ＝－23cos θ为C2的极坐标方程． （2）由题意得A，B的极坐标分别为 A（2sin α，α），B（－23cos α，α）． ∴|AB|＝|2sin α＋23cos α| π

＝4|sin（α＋）|，α∈[0，π），

3π1

由|AB|＝2得|sin（α＋）|＝，

32π5π

∴α＝或α＝. 26

ππ5π当α＝时，B点极坐标（0，）与ρ≠0矛盾，∴α＝，

2265π此时l的方程为y＝x·tan（x＜0），

6

即3x＋3y＝0，由圆C2：x2＋y2＋23x＝0知圆心C2的直角坐标为（－3，0）， |3×（－3）|3

∴C2到l的距离d＝＝，

2

（3）2＋321

∴△ABC2的面积为S＝|AB|·d

2

133＝×2×＝. 222

3即△ABC2的面积为.

226．【答案】

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【解析】解：（1）由表可得：又∴

∴线性回归方程为：

，； ；

；

；

（2）根据回归方程：当x=10时，y=﹣2×10+50=30； ∴估计当气温为10℃时的用电量为30度．

【点评】考查回归直线的概念，以及线性回归方程的求法，直线的斜截式方程．

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