卷
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔爱心曲线 B．蝴蝶曲线
C．费马螺线曲线 D．科赫曲线
2．方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 C．没有实数根
B．有两个相等的实数根 D．无法确定
3．若反比例函数y＝在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（ ） A．k＜0
B．k＞0
C．k≥0
D．k≠0
4．关于频率与概率有下列几种说法，其中正确的说法是（ ） A．“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上 C．“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大 D．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
5．把y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的解析式为（ ） A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣2 C．y＝（x+3）2+2
D．y＝（x+3）2﹣2
6．如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，使BD＝OB，连接AD，若∠DAC＝78°，则∠ADO＝（ ）
A．70° B．64° C．62° D．51°
7．如图，若正方形ABCD绕图中某点逆时针旋转90°得到正方形EFGH，则旋转中心应是（ ）
A．H点 B．N点 C．C点 D．M点
8．如图，圆O的直径AB＝20，CD是圆O的弦，点E是CD的中点，且BE：AE＝1：4，则CD的长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．共享单车计划2021年10、11、12月连续三个月对德州投放新型单车，计划10月份投放1000台，12月投放4000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程（ ）
A．1000（1﹣x）2＝4000
B．1000（1+x）+1000（1+x）2＝4000 C．1000（1+x）2＝4000
D．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝4000
11．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y＝
的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1或3 C．4 D．1或﹣3
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论： ①该抛物线的对称轴在y轴左侧； ②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根； ③a﹣b+c≥0； ④
的最小值为3．
其中，正确结论的个数为（ ） A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是 ．
14．若点P（m﹣1，3）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是 ． 15．若一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 ． 16．已知二次函数y＝（x+1）（x﹣a）的对称轴为直线x＝2，则a的值是 ． 17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝68°，则∠CAD的度数
是 ．
18．如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为 ．
三、解答题（本大题7个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．解下列方程： （1）2x2+x﹣2＝0； （2）x（x﹣4）＝8﹣2x．
20．为了解某校中学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表：根据以上提供的信息，解答下列问题：
节目 最强大脑 朗读者 中国诗词大会 出彩中国人
人数（名） 百分比
5 15 a 10
10% b% 40% 20%
（1）x＝ ，a＝ ，b＝ ； （2）补全上面的条形统计图；
（3）在喜爱《最强大脑》的学生中，有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加潍坊市组织的竞赛活动，请用树状图或列表法求出所抽取的2名同
学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx+b的图象过点D和M，反比例函数y＝的图象经过点D，与BC的交点为N．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．
22．如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE．
（1）若AD＝8，AB＝5，把图1中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤360°），则BD长度的取值范围为 ；
（2）把图1中的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形，延长DB交EC于点F，则∠DFE与∠DAE的数量关系是什么？并说明理由．
23．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E． （1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．
24．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+80（20˂x˂40），设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？
25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）顶点为P． （1）求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）； （2）该抛物线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标； （3）若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）． ①求a的值；
②点Q（m，n）在该二次函数的图象上，若点Q到y轴的距离小于2，请直接写出n的取值范围；
（4）已知A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与线段AB有唯一公共点，直接写出a的取值范围．
参考答案
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．笛卡尔爱心曲线 B．蝴蝶曲线C．费马螺线曲线 D．科赫曲线
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 解：A．是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意； B．是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题； C．不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意意． 故选：D．
2．方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根
D．无法确定
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出△的值即可作出判断．
解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0中，Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A．
3．若反比例函数y＝在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（A．k＜0
B．k＞0
C．k≥0
D．k≠0
【分析】利用反比例函数的性质判断即可．
） 解：∵反比例函数y＝在每一个象限内，y随x的增大而减小， ∴k＞0， 故选：B．
4．关于频率与概率有下列几种说法，其中正确的说法是（ ） A．“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖
B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上 C．“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大 D．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数 【分析】根据概率的意义，概率的公式逐一判断即可．
解：A．“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票可能中奖，故A不符合题意；B．”抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛一次正面朝上的可能性是，故B不符合题意；
C．明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大，故C符合题意； D．随意翻到一本书的某页，这一页的页码可能是偶数，故D不符合题意； 故选：C．
5．把y＝x2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的解析式为（ ） A．y＝（x﹣3）2+2 B．y＝（x﹣3）2﹣2 C．y＝（x+3）2+2
D．y＝（x+3）2﹣2
【分析】先确定抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），根据点平移的规律，点（0，0）向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到对应点的坐标为（3，2），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向右平移3个单位，再向上平移2 个单位得到对应点的坐标为（3，2），所以平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣3）2+2．故选：A．
6．如图，AB、AC为⊙O的切线，B和C是切点，延长OB到点D，使BD＝OB，连接AD，若∠DAC＝78°，则∠ADO＝（ ）
A．70° B．64° C．62° D．51°
【分析】先根据切线长定理，由AB、AC为⊙O的切线得到∠BAO＝∠CAO，根据切线的性质得OB⊥AB，加上BD＝OB，则可判断△AOD为等腰三角形，于是根据等腰三角形的性质得∠BAO＝∠BAD，即∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，然后利用∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°可计算出∠BAD＝26°，再利用∠ADO＝90°﹣∠BAD求解． 解：∵AB、AC为⊙O的切线， ∴∠BAO＝∠CAO，OB⊥AB， ∵BD＝OB，
∴△AOD为等腰三角形， ∴∠BAO＝∠BAD， ∴∠CAO＝∠BAO＝∠BAD，
∵∠DAC＝∠BAD+∠BAO+∠CAO＝78°， ∴3∠BAD＝78°，解得∠BAD＝26°， ∴∠ADO＝90°﹣∠BAD＝90°﹣26°＝64°． 故选：B．
7．如图，若正方形ABCD绕图中某点逆时针旋转90°得到正方形EFGH，则旋转中心应是（ ）
A．H点 B．N点 C．C点 D．M点
【分析】连接对应点，作所连线段的中垂线，中垂线的交点即为旋转中心． 解：∵正方形ABCD绕图中某点逆时针旋转90°得到正方形EFGH，
∴连接对应点A和点E，点G和点C，
分别作线段GC和线段AE的中垂线，交点M即为旋转中心．
故选：D．
8．如图，圆O的直径AB＝20，CD是圆O的弦，点E是CD的中点，且BE：AE＝1：4，则CD的长为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【分析】连接OC，根据勾股定理求出CE，根据垂径定理求出CD． 解：连接OC，
∵直径AB＝20，BE：AE＝1：4， ∴OC＝10，BE＝4， 则OE＝OB﹣BE＝6， ∵CD⊥AB，
∴CD＝2CE，∠OEC＝90°， ∴CE＝∴CD＝16， 故选：C．
＝
＝8，
9．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣kx+1与二次函数y＝x2+k的大致图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】二次函数图象与y轴交点的位置可确定k的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数y＝﹣kx+1经过的象限，对比后即可得出结论． 解：由y＝x2+k可知抛物线的开口向上，故B不合题意； ∵二次函数y＝x2+k与y轴交于负半轴，则k＜0， ∴﹣k＞0，
∴一次函数y＝﹣kx+1的图象经过经过第一、二、三象限，A选项符合题意，C、D不符合题意； 故选：A．
10．共享单车计划2021年10、11、12月连续三个月对德州投放新型单车，计划10月份投放1000台，12月投放4000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为x，则可列方程（ ）
A．1000（1﹣x）2＝4000
B．1000（1+x）+1000（1+x）2＝4000 C．1000（1+x）2＝4000
D．1000+1000（1+x）+1000（1+x）2＝4000
【分析】设增长率为x，11月投放1000（1+x）台，12月投放1000（1+x）2台，由此即可列出方程．
解：设增长率为x，由题意得 1000（1+x）2＝4000． 故选：C．
11．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在
反比例函数y＝ 的图象上．若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为（ ）
A．1 B．﹣1或3 C．4 D．1或﹣3
【分析】根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出S四边形CEOF＝S四边形HAGO，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出k2+4k+1＝4，再解出k的值即可． 解：如图：
∵四边形ABCD、HBEO、OECF、GOFD为矩形，
又∵BO为四边形HBEO的对角线，OD为四边形OGDF的对角线， ∴S△BEO＝S△BHO，S△OFD＝S△OGD，S△CBD＝S△ADB， ∴S△CBD﹣S△BEO﹣S△OFD＝S△ADB﹣S△BHO﹣S△OGD， ∴S四边形HAGO＝S四边形CEOF＝2×2＝4， ∴xy＝k2+2k+1＝4， 解得k＝1或k＝﹣3． 故选：D．
12．已知抛物线y＝ax2+bx+c（b＞a＞0）与x轴最多有一个交点，现有以下四个结论： ①该抛物线的对称轴在y轴左侧； ②关于x的方程ax2+bx+c+2＝0无实数根； ③a﹣b+c≥0； ④
的最小值为3．
其中，正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】从抛物线与x轴最多一个交点及b＞a＞0，可以推断抛物线最小值最小为0，对称轴在y轴左侧，并得到b2﹣4ac≤0，从而得到①②为正确；由x＝﹣1及x＝﹣2时y都大于或等于零可以得到③④正确． 解：∵b＞a＞0 ∴﹣
＜0，
所以①正确；
∵抛物线与x轴最多有一个交点， ∴b2﹣4ac≤0，
∴关于x的方程ax2+bx+c+2＝0中，△＝b2﹣4a（c+2）＝b2﹣4ac﹣8a＜0， 所以②正确；
∵a＞0及抛物线与x轴最多有一个交点， ∴x取任何值时，y≥0 ∴当x＝﹣1时，a﹣b+c≥0； 所以③正确；
当x＝﹣2时，4a﹣2b+c≥0 a+b+c≥3b﹣3a a+b+c≥3（b﹣a） 所以④正确． 故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）
13．小强同学从﹣1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式x+1＜2的概率是
．
【分析】找到满足不等式x+1＜2的结果数，再根据概率公式计算可得．
解：在﹣1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式x+1＜2的有﹣1、0这两个， 所以满足不等式x+1＜2的概率是＝， 故答案为：．
≥3
14．若点P（m﹣1，3）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称，则m+n的值是 3 ． 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 解：∵点P（m﹣1，3）与点Q（3，2﹣n）关于原点成中心对称， ∴m﹣1＝﹣3，2﹣n＝﹣3， 解得：m＝﹣2，n＝5， 则m+n＝﹣2+5＝3． 故答案为：3．
15．若一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2﹣x1x2的值是 4 ． 【分析】由根与系数的关系可分别求得x1+x2和x1•x2的值，代入求值即可． 解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣2＝0的两个实数根为x1，x2， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣2，
∴x1+x2﹣x1x2＝（x1+x2）﹣x1x2＝2﹣（﹣2）＝4， 故答案为：4．
16．已知二次函数y＝（x+1）（x﹣a）的对称轴为直线x＝2，则a的值是 5 ． 【分析】先将题目中的函数解析式化为一般形式，然后根据对称轴x＝相应的a的值．
解：∵二次函数y＝（x+1）（x﹣a）＝x2+（﹣a+1）x﹣a，它的对称轴为直线x＝2， ∴﹣
＝2，
，即可求得
解得，a＝5， 故答案为：5．
17．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠ABD＝68°，则∠CAD的度数是 22° ．
【分析】通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得∠ABD＝∠ACD＝72°，由直角三角形的性质可求解．
解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴点A，点B，点C，点D四点共圆， ∴∠ABD＝∠ACD＝68°， ∴∠CAD＝90°﹣∠ACD＝22°， 故答案为：22°．
18．如图，在半径为2的⊙O中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为 6﹣2
．
【分析】如图，连接OB，OF，根据题意得：△BFO是等边三角形，△CDE是等腰直角三角形，求得△ABC的高和底即可求出阴影部分的面积． 解：如图，连接OB，OF，
根据题意得：△BFO是等边三角形，△CDE是等腰直角三角形， ∴BF＝OB＝2， ∴△BFO的高为；∴BC＝（2﹣4+2
，CD＝2（2﹣）＝
﹣1，
）•
＝6﹣2
．
）＝4﹣2
，
∴阴影部分的面积＝4S△ABC＝4×（故答案为：6﹣2
．
三、解答题（本大题7个小题，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19．解下列方程： （1）2x2+x﹣2＝0；
（2）x（x﹣4）＝8﹣2x．
【分析】（1）利用公式法求解即可；
（2）先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于x的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
解：（1）∵a＝2，b＝1，c＝﹣2，
∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣2）＝17＞0， 则x＝
＝
，
∴x1＝，x2＝；
（2）∵x（x﹣4）＝8﹣2x， ∴x（x﹣4）+2（x﹣4）＝0， 则（x﹣4）（x+2）＝0， ∴x﹣4＝0或x+2＝0， 解得x1＝4，x2＝﹣2．
20．为了解某校中学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了x名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目），并将调查结果绘制成如图统计图表：根据以上提供的信息，解答下列问题：
节目 最强大脑 朗读者 中国诗词大会 出彩中国人
人数（名） 百分比
5 15 a 10
10% b% 40% 20%
（1）x＝ 50 ，a＝ 20 ，b＝ 30 ； （2）补全上面的条形统计图；
（3）在喜爱《最强大脑》的学生中，有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加潍坊市组织的竞赛活动，请用树状图或列表法求出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【分析】（1）根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出x的值，进而求出a与b的值即可；
（2）根据a的值，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能结果，然后利用概率的计算公式即可求解． 解：（1）根据题意得：x＝5÷10%＝50，a＝50×40%＝20，b＝故答案为：50；20；30；
（2）中国诗词大会的人数为20人，补全条形统计图，如图所示：
×100＝30；
（3）∵5﹣2＝3（名），
∴喜爱最强大脑的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，
男1 男2 男3
男1 ﹣﹣﹣ 男1，男2 男1，男3
男2 男2，男1 ﹣﹣﹣ 男2，男3
男3 男3，男1 男3，男2 ﹣﹣﹣
女1 女1，男1 女1，男2 女1，男3
女2 女2，男1 女2，男2 女2，男3
女1 女2
男1，女1 男1，女2
男2，女1 男2，女2
男3，女1 男3，女2
﹣﹣﹣ 女1，女2
女2，女1 ﹣﹣﹣
所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种， 则P（一男一女）＝
＝．
21．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的负半轴上，点D、M分别在边AB、OA上，且AD＝2DB，AM＝2MO，一次函数y＝kx+b的图象过点D和M，反比例函数y＝的图象经过点D，与BC的交点为N．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P在直线DM上，且使△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．
【分析】（1）由正方形OABC的顶点C坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据AD＝2DB，求出AD的长，确定出D坐标，代入反比例解析式求出m的值，再由AM＝2MO，确定出MO的长，即M坐标，将M与D坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
y）（2）把y＝3代入反比例解析式求出x的值，确定出N坐标，得到NC的长，设P（x，，根据△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等，求出y的值，进而得到x的值，确定出P坐标即可．
解：（1）∵正方形OABC的顶点C（0，3），
∴OA＝AB＝BC＝OC＝3，∠OAB＝∠B＝∠BCO＝90°， ∵AD＝2DB， ∴AD＝AB＝2，
∴D（﹣3，2），
把D坐标代入y＝得：m＝﹣6， ∴反比例解析式为y＝﹣， ∵AM＝2MO，
∴MO＝OA＝1，即M（﹣1，0）， 把M与D坐标代入y＝kx+b中得：解得：k＝b＝﹣1，
则直线DM解析式为y＝﹣x﹣1； （2）把y＝3代入y＝﹣得：x＝﹣2， ∴N（﹣2，3），即NC＝2， 设P（x，y），
∵△OPM的面积与四边形OMNC的面积相等， ∴（OM+NC）•OC＝OM|y|，即|y|＝9， 解得：y＝±9，
当y＝9时，x＝﹣10，当y＝﹣9时，x＝8， 则P的坐标为（﹣10，9）或（8，﹣9）．
22．如图1，在△ABC与△ADE中，AB＝AC，AD＝AE．
（1）若AD＝8，AB＝5，把图1中的△ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α≤360°），则BD长度的取值范围为 3≤BD≤13 ；
（2）把图1中的△ABC绕点A旋转一定的角度，得到如图2所示的图形，延长DB交EC于点F，则∠DFE与∠DAE的数量关系是什么？并说明理由．
，
【分析】（1）判断出点B在线段AD上时，BD最小，点B在DA的延长线上时，BD最
大，即可得出结论；
（2）由“SAS”可证△DAB≌△EAC，得出∠ADB＝∠AEC，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论．
解：（1）当点B在线段AD上时，BD最小＝AD﹣AB＝3， 当点B在DA的延长线上时，BD最大＝AD+AB＝13， ∴3≤BD≤13． 故答案为：3≤BD≤13；
（2）∠DFE＝∠DAE．理由如下： 由旋转的性质，得∠DAE＝∠BAC， ∴∠DAE+∠BAE＝∠BAC+∠BAE， 即∠DAB＝∠EAC， 在△DAB和△EAC中，
，
∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴∠ADB＝∠AEC． ∵∠AOD＝∠EOF，
∴180°﹣∠ADB﹣∠AOD＝180°﹣∠AEC﹣∠EOF， ∴∠DFE＝∠DAE．
23．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D．连接BC并延长，交AD的延长线于点E． （1）求证：AE＝AB；
（2）若AB＝20，BC＝16，求CD的长．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质求出OC⊥CD，求出AE∥OC，求出C为BE的中点，根据三角形的中位线求出OC＝AE即可；
（2）连接AC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，根据等腰三角形的性质求出EC＝BC＝16，根据勾股定理求出AC，再根据三角形的面积公式求出答案即可． 【解答】（1）证明：连接OC，
∵DC切⊙O于C， ∴OC⊥CD， ∵AE⊥CD， ∴AE∥OC， ∵AO＝BO， ∴EC＝BC， ∴OC＝AE，
∵OC＝OA＝OB＝AB， ∴AE＝AB；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝90°，AC⊥BE， ∵由（1）知：AB＝AE， ∴EC＝BC， ∵BC＝16， ∴EC＝16，
在RtACB中，由勾股定理得：AC＝在Rt△ACE中，S△ACE＝∵AE＝AB＝20， ∴
＝
CD，
＝
＝
，
＝12，
解得：CD＝9.6．
24．某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：y＝﹣2x+80（20˂x˂40），设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ （3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？
【分析】（1）根据总利润＝每个利润×销售量可得函数解析式； （2）将所得函数解析式配方成顶点式，根据函数的性质求最值； （3）令w＝150，解一元二次方程，然后根据题意确定x的取值．
解：（1）根据题意可得：w＝（x﹣20）y ＝（x﹣20）（﹣2x+80） ＝﹣2x2+120x﹣1600，
∴w与x的函数关系式为：w＝﹣2x2+120x﹣1600；
（2）根据题意可得：w＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200， ∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值．w最大值为200．
答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元； （3）当w＝150时，则﹣2x2+120x﹣1600＝150， 解得：x1＝25，x2＝35，
∵健身球的销售单价不高于28元， ∴x＝25，
答：销售单价定为25元，商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润． 25．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）顶点为P． （1）求抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a顶点P的坐标（用含a的代数式表示）； （2）该抛物线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标； （3）若抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）． ①求a的值；
②点Q（m，n）在该二次函数的图象上，若点Q到y轴的距离小于2，请直接写出n的取值范围；
（4）已知A（﹣1，﹣2），B（5，﹣2），抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与线段AB有唯一公共点，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）求得对称轴为直线x＝1，代入解析式即可求得顶点P为（1，﹣4a）； （2）把解析式变形为y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3），令x2﹣2x﹣3＝0，即可解得x1＝﹣1，x2＝3，从而判定抛物线过定点（﹣1，0），（3，0）； （3）①由题意可知﹣4a＝3，解得a＝﹣；
②由点P到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可； （3）分两种情况讨论，借助图象即可确定a的取值范围． 解：（1）当
时，y＝﹣4a，
∴顶点P为（1，﹣4a）； （2）是，理由如下：
∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x2﹣2x﹣3）， 令x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴该抛物线过定点（﹣1，0），（3，0）； （3）①∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a经过（1，3）． ∴﹣4a＝3， 解得：
；
②点Q到y轴的距离小于2， ∴|m|＜2， ∴﹣2＜m＜2，
∵x＝﹣2时，y＝ax2﹣2ax﹣3a＝﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣∴﹣
＜n≤3．
（4）y＝ax2﹣2ax﹣3a， ①当抛物线开口向上时，
∵抛物线与线段AB只有一个公共点， ∴抛物线顶点在直线y＝﹣2上， ∴﹣4a＝﹣2， 解得a＝；
②当抛物线开口向下时，
把（5，﹣2）代入得﹣2＝25a﹣10a﹣3a， 解得a＝﹣，
综上，抛物线与线段AB只有一个公共点时，a的取值范围
或a≤﹣．
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