2021-2022学年山东省德州市德城区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A.
笛卡尔爱心曲线
B.
蝴蝶曲线
C.
费马螺线曲线
D.
科赫曲线
2. 关于𝑥的一元二次方程𝑥2−3𝑥−1=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根
𝑘𝑥
B. 有两个相等的实数根 D. 无法确定
3. 若反比例函数𝑦=在每一个象限内，𝑦随𝑥的增大而减小，则𝑘的取值范围是( )
A. 𝑘<0 B. 𝑘>0 C. 𝑘≥0 D. 𝑘≠0
4. 关于频率与概率有下列几种说法，其中正确的说法是( )
A. “某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖 B. “抛一枚硬币正面朝上的概率为2”表示每抛两次就有一次正面朝上 C. “明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大 D. 随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
5. 把𝑦=𝑥2先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，则平移后的解析式为( )
1
A. 𝑦=(𝑥−3)2+2 B. 𝑦=(𝑥−3)2−2 C. 𝑦=(𝑥+3)2+2 D. 𝑦=(𝑥+3)2−2
𝐴𝐵、𝐴𝐶为⊙𝑂的切线，𝐵和𝐶是切点，6. 如图，延长𝑂𝐵到点𝐷，使𝐵𝐷=𝑂𝐵，连接𝐴𝐷，若∠𝐷𝐴𝐶=78°，则∠𝐴𝐷𝑂=( )
A. 70° B. 64°
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C. 62° D. 51°
7. 如图，若正方形𝐴𝐵𝐶𝐷绕图中某点逆时针旋转90°得到正方形𝐸𝐹𝐺𝐻，则旋转中心应是( )
A. 𝐻点 B. 𝑁点 C. 𝐶点 D. 𝑀点
8. 如图，圆𝑂的直径𝐴𝐵=20，𝐶𝐷是圆𝑂的弦，点𝐸是𝐶𝐷的中点，且𝐵𝐸：𝐴𝐸=1：4，则𝐶𝐷的长为( )
A. 10 B. 12 C. 16 D. 18
9. 在同一直角坐标系中，一次函数𝑦=−𝑘𝑥+1与二次函数𝑦=𝑥2+𝑘的大致图象可以是( )
A.
B.
C.
D.
11、12月连续三个月对德州投放新型单车，10. 共享单车计划2021年10、计划10月份投放1000台，12月投放4000台，每月按相同的增长率投放，设增长率为𝑥，则可列方程( )
A. 1000(1−𝑥)2=4000
B. 1000(1+𝑥)+1000(1+𝑥)2=4000 C. 1000(1+𝑥)2=4000
D. 1000+1000(1+𝑥)+1000(1+𝑥)2=4000
11. 如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐵𝐷经过坐标原点，矩形的边分别平
2
行于坐标轴，点𝐶在反比例函数𝑦=𝑘+2𝑘+1的图象上．若点𝐴的坐
𝑥
标为(−2,−2)，则𝑘的值为( )
A. 1 B. −1或3
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C. 4 D. 1或−3
12. 已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑏>𝑎>0)与𝑥轴最多有一个交点，现有以下四个结论： ①该抛物线的对称轴在𝑦轴左侧；
②关于𝑥的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐+2=0无实数根； ③𝑎−𝑏+𝑐≥0； ④𝑏−𝑎的最小值为3． 其中，正确结论的个数为( )
𝑎+𝑏+𝑐
A. 1个
B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
13. 小强同学从−1，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式𝑥+1<2的概率是______．
14. 若点𝑃(𝑚−1,3)与点𝑄(3,2−𝑛)关于原点成中心对称，则𝑚+𝑛的值是______．
15. 若一元二次方程𝑥2−2𝑥−2=0有两个实数根𝑥1，𝑥2，则𝑥1+𝑥2−𝑥1𝑥2的值是______． 16. 已知二次函数𝑦=(𝑥+1)(𝑥−𝑎)的对称轴为直线𝑥=2，则𝑎的值是______． 17. 如图，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=90°，∠𝐴𝐵𝐷=68°，则∠𝐶𝐴𝐷的度数是______．
18. 如图，在半径为2的⊙𝑂中，两个顶点重合的内接正四边形与正六边形，则阴影部分的面积为______ ．
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三、解答题（本大题共7小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分) 解下列方程： (1)2𝑥2+𝑥−2=0； (2)𝑥(𝑥−4)=8−2𝑥． 20. (本小题10.0分)
为了解某校中学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视节目的喜爱情况，随机抽取了𝑥名学生进行调查统计(要求每名学生选出并且只能选出一个自己最喜爱的节目)，并将调查结果绘制成如图统计图表：根据以上提供的信息，解答下列问题： 节目 最强大脑 朗读者 中国诗词大会 出彩中国人 人数(名) 5 15 𝑎 10 百分比 10% 𝑏% 40% 20% (1)𝑥=______，𝑎=______，𝑏=______； (2)补全上面的条形统计图；
(3)在喜爱《最强大脑》的学生中，有2名女同学，其余为男同学，现要从中随机抽取2名同学代表学校参加潍坊市组织的竞赛活动，请用树状图或列表法求出所抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
21. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点𝑂与坐标原点重合，点𝐶的坐标为(0,3)，点𝐴
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𝑀分别在边𝐴𝐵、𝑂𝐴上，𝐴𝑀=2𝑀𝑂，在𝑥轴的负半轴上，点𝐷、且𝐴𝐷=2𝐷𝐵，一次函数𝑦=𝑘𝑥+𝑏的图象过点𝐷和𝑀，反比例函数𝑦=𝑥的图象经过点𝐷，与𝐵𝐶的交点为𝑁．
𝑚
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)若点𝑃在直线𝐷𝑀上，且使△𝑂𝑃𝑀的面积与四边形𝑂𝑀𝑁𝐶的面积相等，求点𝑃的坐标．
22. (本小题12.0分)
如图1，在△𝐴𝐵𝐶与△𝐴𝐷𝐸中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷=𝐴𝐸．
(1)若𝐴𝐷=8，𝐴𝐵=5，把图1中的△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴顺时针旋转𝛼(0°<𝛼≤360°)，则𝐵𝐷长度的取值范围为______；
(2)把图1中的△𝐴𝐵𝐶绕点𝐴旋转一定的角度，得到如图2所示的图形，延长𝐷𝐵交𝐸𝐶于点𝐹，则∠𝐷𝐹𝐸与∠𝐷𝐴𝐸的数量关系是什么？并说明理由．
23. (本小题12.0分)
如图，𝐴𝐵为⊙𝑂的直径，点𝐶在⊙𝑂上，𝐴𝐷与点⊙𝑂在点𝐶处的切线互相垂直，垂足为𝐷.连接𝐵𝐶并延长，交𝐴𝐷的延长线于点𝐸． (1)求证：𝐴𝐸=𝐴𝐵；
(2)若𝐴𝐵=20，𝐵𝐶=16，求𝐶𝐷的长．
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24. (本小题12.0分)
某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球𝑦=−2𝑥+80(20˂𝑥˂40)，每天的销售量𝑦(个)与销售单价𝑥(元)有如下关系：设这种健身球每天的销售利润为𝑤元． (1)求𝑤与𝑥之间的函数关系式；
(2)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？
25. (本小题14.0分)
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎(𝑎≠0)顶点为𝑃． (1)求抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎顶点𝑃的坐标(用含𝑎的代数式表示)； (2)该抛物线是否过定点？若过定点，请求出定点坐标； (3)若抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎经过(1,3)． ①求𝑎的值；
②点𝑄(𝑚,𝑛)在该二次函数的图象上，若点𝑄到𝑦轴的距离小于2，请直接写出𝑛的取值范围； (4)已知𝐴(−1,−2)，𝐵(5,−2)，抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎与线段𝐴𝐵有唯一公共点，直接写出𝑎的取值范围．
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答案和解析
1.【答案】𝐷
【解析】解：𝐴.是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称的图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，是中心对称的图形，故本选项不符合题意； D.既是轴对称图形，又是中心对称的图形，故本选项符合题意． 故选：𝐷．
如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形；
把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键．
2.【答案】𝐴
【解析】解：∵一元二次方程𝑥2−3𝑥−1=0中，𝑎=1，𝑏=−3，𝑐=−1， ∴△=𝑏2−4𝑎𝑐=(−3)2−4×1×(−1)=9+4=13>0， ∴该方程有两个不相等的实数根． 故选：𝐴．
根据一元二次方程根的判别式求出△的值即可作出判断．
本题考查的是一元二次方程根的判别式，即一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与△=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：
①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△=0时，方程有两个相等的实数根； ③当△<0时，方程无实数根．
3.【答案】𝐵
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【解析】解：∵反比例函数𝑦=在每一个象限内，𝑦随𝑥的增大而减小， ∴反比例函数𝑦=的图像存在于一、三象限，
𝑥∴𝑘>0， 故选：𝐵．
利用反比例函数的性质以及反比例函数的图像分布判断即可．
此题考查了反比例函数的性质与反比例函数的图像分布，熟练掌握反比例函数的性质与图像分布是解本题的关键．
𝑘
𝑘𝑥
4.【答案】𝐶
【解析】解：𝐴.“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票可能中奖，故A不符合题意； B.”抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛一次正面朝上的可能性是，故B不符合题意； C.明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大，故C符合题意； D.随意翻到一本书的某页，这一页的页码可能是偶数，故D不符合题意； 故选：𝐶．
根据概率的意义，概率的公式逐一判断即可．
本题考查了概率的意义，概率的公式，熟练掌握概率的意义是解题的关键．
1212
5.【答案】𝐴
【解析】解：由题可得抛物线𝑦=𝑥2的顶点坐标为(0,0)，点(0,0)向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到对应点的坐标为(3,2)，所以平移后的抛物线的解析式为𝑦=(𝑥−3)2+2． 故选：𝐴．
先确定抛物线𝑦=𝑥2的顶点坐标为(0,0)，根据点平移的规律，点(0,0)向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到对应点的坐标为(3,2)，然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式． 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故𝑎不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6.【答案】𝐵
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【解析】解：连接𝑂𝐴，
∵𝐴𝐵、𝐴𝐶为⊙𝑂的切线，
∴∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐶𝐴𝑂，𝑂𝐵⊥𝐴𝐵， ∵𝐵𝐷=𝑂𝐵， ∴𝐴𝐵垂直平分𝑂𝐷，
∴𝐴𝑂=𝐴𝐷，△𝐴𝑂𝐷为等腰三角形， ∴∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐵𝐴𝐷， ∴∠𝐶𝐴𝑂=∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐵𝐴𝐷，
∵∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵𝐴𝑂+∠𝐶𝐴𝑂=78°， ∴3∠𝐵𝐴𝐷=78°， ∴∠𝐵𝐴𝐷=26°，
∴∠𝐴𝐷𝑂=90°−∠𝐵𝐴𝐷=90°−26°=64°． 故选：𝐵．
先根据切线长定理，由𝐴𝐵、𝐴𝐶为⊙𝑂的切线得到∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐶𝐴𝑂，根据切线的性质得𝑂𝐵⊥𝐴𝐵，加上𝐵𝐷=𝑂𝐵，则可判断△𝐴𝑂𝐷为等腰三角形，于是根据等腰三角形的性质得∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐵𝐴𝐷，即∠𝐶𝐴𝑂=∠𝐵𝐴𝑂=∠𝐵𝐴𝐷，然后利用∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵𝐴𝑂+∠𝐶𝐴𝑂=78°可计算出∠𝐵𝐴𝐷=26°，再利用∠𝐴𝐷𝑂=90°−∠𝐵𝐴𝐷求解．
本题考查了切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了切线长定理．
7.【答案】𝐷
【解析】解：∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷绕图中某点逆时针旋转90°得到正方形𝐸𝐹𝐺𝐻， ∴连接对应点𝐴和点𝐸，点𝐺和点𝐶，
分别作线段𝐺𝐶和线段𝐴𝐸的中垂线，交点𝑀即为旋转中心．
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故选：𝐷．
连接对应点，作所连线段的中垂线，中垂线的交点即为旋转中心．
本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，和线段中垂线上的点到线段两端的距离相等．本题的关键是找准对应点．
8.【答案】𝐶
【解析】解：连接𝑂𝐶，
∵直径𝐴𝐵=20，𝐵𝐸：𝐴𝐸=1：4， ∴𝑂𝐵=𝑂𝐶=10，𝐵𝐸=4， ∴𝑂𝐸=𝑂𝐵−𝐵𝐸=6， ∵点𝐸是𝐶𝐷的中点， ∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐵， ∴∠𝑂𝐸𝐶=90°，
∴𝐶𝐸=√𝑂𝐶2−𝑂𝐸2=√102−62=8， ∵点𝐸是𝐶𝐷的中点， ∴𝐶𝐷=2𝐶𝐸=16， 故选：𝐶．
连接𝑂𝐶，根据勾股定理求出𝐶𝐸，从而求出𝐶𝐷．
本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
9.【答案】𝐴
【解析】解：由𝑦=𝑥2+𝑘可知抛物线的开口向上，故B不合题意； 若二次函数𝑦=𝑥2+𝑘与𝑦轴交于负半轴，则𝑘<0，
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∴−𝑘>0，
∴一次函数𝑦=−𝑘𝑥+1的图象经过第一、二、三象限，𝐴选项符合题意，𝐶、𝐷不符合题意； 故选：𝐴．
根据二次函数图象与𝑦轴交点的位置可确定𝑘的正负，再利用一次函数图象与系数的关系可找出一次函数𝑦=−𝑘𝑥+1经过的象限，对比后即可得出结论．
本题考查了二次函数的图象、一次函数图象以及一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图象找出每个选项中𝑘的正负是解题的关键．
10.【答案】𝐶
11月投放数为1000(1+𝑥)，12月投放数为1000(1+𝑥)2.所【解析】解：设增长率为𝑥，由题意得：以由题可得：1000(1+𝑥)2=4000． 故选：𝐶．
设增长率为𝑥，11月投放1000(1+𝑥)台，12月投放1000(1+𝑥)2台，由此即可列出方程． 此题考查从实际问题抽象出一元二次方程，解决变化类问题，可利用公式𝑎(1+𝑥)2=𝑏，其中𝑎是变化前的原始量，𝑏是两次变化后的量，𝑥表示平均每次的增长率是解题的关键．
11.【答案】𝐷
【解析】解：如图：
∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷、𝐻𝐵𝐸𝑂、𝑂𝐸𝐶𝐹、𝐺𝑂𝐹𝐷为矩形，
又∵𝐵𝑂为四边形𝐻𝐵𝐸𝑂的对角线，𝑂𝐷为四边形𝑂𝐺𝐷𝐹的对角线， ∴𝑆△𝐵𝐸𝑂=𝑆△𝐵𝐻𝑂，𝑆△𝑂𝐹𝐷=𝑆△𝑂𝐺𝐷，𝑆△𝐶𝐵𝐷=𝑆△𝐴𝐷𝐵， ∴𝑆△𝐶𝐵𝐷−𝑆△𝐵𝐸𝑂−𝑆△𝑂𝐹𝐷=𝑆△𝐴𝐷𝐵−𝑆△𝐵𝐻𝑂−𝑆△𝑂𝐺𝐷， ∴𝑆四边形𝐻𝐴𝐺𝑂=𝑆四边形𝐶𝐸𝑂𝐹=2×2=4， ∴𝑥𝑦=𝑘2+2𝑘+1=4， 解得𝑘=1或𝑘=−3． 故选：𝐷．
根据矩形的对角线将矩形分成面积相等的两个直角三角形，找到图中的所有矩形及相等的三角形，即可推出𝑆四边形𝐶𝐸𝑂𝐹=𝑆四边形𝐻𝐴𝐺𝑂，根据反比例函数比例系数的几何意义即可求出𝑘2+2𝑘+1=4，再解出𝑘的值即可．
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本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解答此题的关键．
12.【答案】𝐷
【解析】 【分析】
本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确𝑎的符号决定了抛物线开口方向；𝑎、𝑏的符号决定对称轴的位置；抛物线与𝑥轴的交点个数，决定了𝑏2−4𝑎𝑐的符号． 从抛物线与𝑥轴最多有一个交点及𝑏>𝑎>0，可以推断抛物线的对称轴在𝑦轴左侧，并得到𝑏2−4𝑎𝑐≤0，从而得到①②为正确；由𝑥=−1及𝑥=−2时𝑦都大于或等于零可以得到③④正确． 【解答】 解：∵𝑏>𝑎>0 ∴−
𝑏
2𝑎<0，
所以①正确；
∵抛物线与𝑥轴最多有一个交点， ∴𝑏2−4𝑎𝑐≤0，
∴关于𝑥的方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐+2=0中，△=𝑏2−4𝑎(𝑐+2)=𝑏2−4𝑎𝑐−8𝑎<0， 所以②正确；
∵𝑎>0及抛物线与𝑥轴最多有一个交点， ∴𝑥取任何值时，𝑦≥0 ∴当𝑥=−1时，𝑎−𝑏+𝑐≥0； 所以③正确；
当𝑥=−2时，4𝑎−2𝑏+𝑐≥0， 即𝑎+𝑏+𝑐≥3𝑏−3𝑎， 𝑎+𝑏+𝑐≥3(𝑏−𝑎)， ∵𝑏>𝑎>0， ∴𝑏−𝑎>0， ∴
𝑎+𝑏+𝑐𝑏−𝑎≥3
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所以④正确． 故选：𝐷．
13.【答案】3
【解析】解：在−1，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式𝑥+1<2的有−1、0这两个数， 所以满足不等式𝑥+1<2的概率是=。
63故答案为：．
找到满足不等式𝑥+1<2的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
1
3
2
1
1
14.【答案】3
【解析】解：∵点𝑃(𝑚−1,3)与点𝑄(3,2−𝑛)关于原点成中心对称， ∴𝑚−1=−3，2−𝑛=−3， 解得：𝑚=−2，𝑛=5， 则𝑚+𝑛=−2+5=3． 故答案为：3．
根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 本题考查了关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．
15.【答案】4
【解析】解：∵一元二次方程𝑥2−2𝑥−2=0的两个实数根为𝑥1，𝑥2， ∴由根与系数的关系可得𝑥1+𝑥2=2，𝑥1⋅𝑥2=−2， ∴𝑥1+𝑥2−𝑥1𝑥2=(𝑥1+𝑥2)−𝑥1𝑥2=2−(−2)=4． 故答案为4．
本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系．
16.【答案】5
【解析】解：∵二次函数𝑦=(𝑥+1)(𝑥−𝑎)=𝑥2+(−𝑎+1)𝑥−𝑎，它的对称轴为直线𝑥=2， ∴−2×1=2，
−𝑎+1
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解得，𝑎=5， 故答案为：5．
先将题目中的函数解析式化为一般形式，然后根据对称轴表达式与系数的关系可得𝑥=−，即
2𝑎可求得相应的𝑎的值．
本题考查二次函数的对称轴表达式与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的对称轴与系数的关系解答．
𝑏
17.【答案】22°
【解析】解：∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=90°， ∴点𝐴，点𝐵，点𝐶，点𝐷四点共圆， ∴∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=68°， ∴∠𝐶𝐴𝐷=90°−∠𝐴𝐶𝐷=22°， 故答案为：22°．
通过证明点𝐴，点𝐵，点𝐶，点𝐷四点共圆，可得∠𝐴𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐷=68°，由角度的加减可求解． 本题考查了四点共圆，圆的内接多边形的性质，证明点𝐴，点𝐵，点𝐶，点𝐷四点共圆是本题的关键．
18.【答案】6−2√3
【解析】解：如图，连接𝑂𝐵，𝑂𝐹，
根据题意得：△𝐵𝐹𝑂是等边三角形，△𝐶𝐷𝐸是等腰直角三角形， ∴𝐵𝐹=𝑂𝐵=2，
∴△𝐵𝐹𝑂的高为；√3，𝐶𝐷=2(2−√3)=4−2√3， ∴𝐵𝐶=2(2−4+2√3)=√3−1，
∴阴影部分的面积=4𝑆△𝐴𝐵𝐶=4×(√3−1)⋅√3=6−2√3． 故答案为：6−2√3．
𝑂𝐹，△𝐵𝐹𝑂是等边三角形，△𝐶𝐷𝐸是等腰直角三角形，如图，连接𝑂𝐵，根据题意得：求得△𝐴𝐵𝐶的高和底即可求出阴影部分的面积．
本题考查了圆的内接正多边形的性质，三角形的面积，解题的关键是知道阴影部分的面积等于4个
1
2
1
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三角形的面积．
19.【答案】解：(1)由题得一元二次方程的系数分别为𝑎=2，𝑏=1，𝑐=−2，
∴𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=12−4×2×(−2)=17>0， ∴方程有两个不相等的实数根．
√2
则𝑥=−𝑏±𝑏−4𝑎𝑐=−1±√17，
2𝑎4
∴𝑥1=
−1+√17
，𝑥24
=
−1−√17
； 4
(2)∵𝑥(𝑥−4)=8−2𝑥， ∴𝑥(𝑥−4)+2(𝑥−4)=0， 则(𝑥−4)(𝑥+2)=0， ∴𝑥−4=0或𝑥+2=0， 解得𝑥1=4，𝑥2=−2．
【解析】(1)利用公式法求解即可；
(2)先移项，再将左边利用提公因式法因式分解，继而可得两个关于𝑥的一元一次方程，分别求解即可得出答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20.【答案】解：(1)50， 20 ，30 ；
(2)中国诗词大会的人数为20人，补全条形统计图，如图所示：
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(3)∵5−2=3(名)，
∴喜爱最强大脑的5名同学中，有3名男同学，2名女同学，
男 1 男 2 男 3 女 1 女 2 男 1 --- 男 1，男 2 男 1，男 3 男 1，女 1 男 1，女 2 男 2 男 2，男 1 --- 男 2，男 3 男 2，女 1 男 2，女 2 男 3 男 3，男 1 男 3，男 2 --- 男 3，女 1 男 3，女 2 女 1 女 1，男 1 女 1，男 2 女 1，男 3 --- 女 1，女 2 女 2 女 2，男 1 女 2，男 2 女 2，男 3 女 2，女 1 --- 所有等可能的情况有20种，其中抽取的2名同学恰好是1名男同学和1名女同学的情况有12种， 则𝑃(一男一女)=20=5． 【解析】
解：(1)根据题意得：𝑥=5÷10%=50，𝑎=50×40%=20，𝑏=故答案为：50；20；30； (2)见答案 (3)见答案 【分析】
(1)根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出𝑥的值，进而求出𝑎与𝑏的值即可； (2)根据𝑎的值，补全条形统计图即可；
(3)列表得出所有等可能结果，然后利用概率的计算公式即可求解．
本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出𝑛，再从中选出符合题目要求的结果数目𝑚，然后根据概率公式𝑃=𝑛求出题目要求事件的概率．也考查了统计图．
𝑚
15
×100%5012
3
=30%；
21.【答案】解：(1)∵正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点𝐶(0,3)，
∴𝑂𝐴=𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝑂𝐶=3，∠𝑂𝐴𝐵=∠𝐵=∠𝐵𝐶𝑂=90°， ∵𝐴𝐷=2𝐷𝐵， ∴𝐴𝐷=3𝐴𝐵=2， ∴𝐷(−3,2)，
2
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把𝐷点坐标代入𝑦=𝑥得：𝑚=−6， ∴反比例函数解析式为𝑦=−， ∵𝐴𝑀=2𝑀𝑂，
∴𝑀𝑂=3𝑂𝐴=1，即𝑀(−1,0)，
−𝑘+𝑏=0
把𝑀与𝐷坐标分别代入𝑦=𝑘𝑥+𝑏中得：{，
−3𝑘+𝑏=2解得：𝑘=𝑏=−1，
则一次函数解析式为𝑦=−𝑥−1； (2)把𝑦=3代入𝑦=−得：𝑥=−2， ∴𝑁(−2,3)，即𝑁𝐶=2， 设𝑃(𝑥,𝑦)，
∵△𝑂𝑃𝑀的面积与四边形𝑂𝑀𝑁𝐶的面积相等， ∴(𝑂𝑀+𝑁𝐶)⋅𝑂𝐶=𝑂𝑀|𝑦|，即|𝑦|=9， 解得：𝑦=±9， ∵点𝑃在直线𝐷𝑀上 ∴当𝑦=9时，𝑥=−10， 当𝑦=−9时，𝑥=8，
则点𝑃的坐标为(−10,9)或(8,−9)．
【解析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数、反比例函数解析式，坐标与图形性质，正方形的性质，以及三角形面积计算，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
(1)由正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的顶点𝐶坐标，确定出边长，及四个角为直角，根据𝐴𝐷=2𝐷𝐵，求出𝐴𝐷的长，确定出𝐷坐标，代入反比例解析式求出𝑚的值，再由𝐴𝑀=2𝑀𝑂，确定出𝑀𝑂的长，即𝑀坐标，将𝑀与𝐷坐标代入一次函数解析式求出𝑘与𝑏的值，即可确定出一次函数解析式；
(2)把𝑦=3代入反比例解析式求出𝑥的值，确定出𝑁坐标，得到𝑁𝐶的长，设𝑃(𝑥,𝑦)，根据△𝑂𝑃𝑀的面积与四边形𝑂𝑀𝑁𝐶的面积相等，求出𝑦的值，进而得到𝑥的值，确定出𝑃坐标即可．
12126𝑥1
6𝑥𝑚
22.【答案】(1)3≤𝐵𝐷≤13；
(2)∠𝐷𝐹𝐸=∠𝐷𝐴𝐸.理由如下：
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由旋转的性质，得∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶， ∴∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐵𝐴𝐸， 即∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐶， 在△𝐷𝐴𝐵和△𝐸𝐴𝐶中， 𝐴𝐵=𝐴𝐶
{∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐸𝐴𝐶， 𝐴𝐷=𝐴𝐸
∴△𝐷𝐴𝐵≌△𝐸𝐴𝐶(𝑆𝐴𝑆)， ∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝐶， ∵∠𝐴𝑂𝐷=∠𝐸𝑂𝐹，
∴180°−∠𝐴𝐷𝐵−∠𝐴𝑂𝐷=180°−∠𝐴𝐸𝐶−∠𝐸𝑂𝐹， ∴∠𝐷𝐹𝐸=∠𝐷𝐴𝐸．
【解析】解：(1)当点𝐵在线段𝐴𝐷上时，𝐵𝐷最小=𝐴𝐷−𝐴𝐵=3， 当点𝐵在𝐷𝐴的延长线上时，𝐵𝐷最大=𝐴𝐷+𝐴𝐵=13， ∴3≤𝐵𝐷≤13．
故答案为：3≤𝐵𝐷≤13； (2)见答案．
(1)判断出点𝐵在线段𝐴𝐷上时，𝐵𝐷最小，点𝐵在𝐷𝐴的延长线上时，𝐵𝐷最大，即可得出结论； (2)由“𝑆𝐴𝑆”可证△𝐷𝐴𝐵≌△𝐸𝐴𝐶，得出∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐸𝐶，最后用三角形的内角和定理，即可得出结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质判定和性质，三角形内角和定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接𝑂𝐶，
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∵𝐷𝐶切⊙𝑂于𝐶， ∴𝑂𝐶⊥𝐶𝐷． ∵𝐴𝐸⊥𝐶𝐷， ∴𝐴𝐸//𝑂𝐶． ∴△𝐵𝑂𝐶∽△𝐵𝐴𝐸． ∵𝐴𝑂=𝐵𝑂，
∴
∴𝑂𝐶=𝐴𝐸，
∵𝑂𝐶=𝑂𝐴=𝑂𝐵=2𝐴𝐵， ∴𝐴𝐸=𝐴𝐵；
(2)解：连接𝐴𝐶，
1
12
𝑂𝐶𝐵𝑂1
== 𝐴𝐸𝐵𝐴2
∵𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，∠𝐴𝐶𝐵为直径所对的圆周角， ∴∠𝐴𝐶𝐵=90°，
∴∠𝐴𝐶𝐸=90°，𝐴𝐶⊥𝐵𝐸， ∵由(1)知：𝐴𝐵=𝐴𝐸， ∴𝐸𝐶=𝐵𝐶， ∵𝐵𝐶=16， ∴𝐸𝐶=16，
在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵中，由勾股定理得：𝐴𝐶=√𝐴𝐵2−𝐵𝐶2=√202−162=12， 在𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐸中，𝑆△𝐴𝐶𝐸=×𝐴𝐶×𝐶𝐸=×𝐴𝐸×𝐶𝐷，
22∵𝐴𝐸=𝐴𝐵=20，
1
1
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∴2×12×16=2×20×𝐶𝐷， 解得：𝐶𝐷=
48
． 511
【解析】(1)连接𝑂𝐶，根据切线的性质求出𝑂𝐶⊥𝐶𝐷，求出𝐴𝐸//𝑂𝐶，求出𝐶为𝐵𝐸的中点，根据三角形的中位线求出𝑂𝐶=𝐴𝐸即可；
2(2)连接𝐴𝐶，根据圆周角定理求出∠𝐴𝐶𝐵=90°，根据等腰三角形的性质求出𝐸𝐶=𝐵𝐶=16，根据勾股定理求出𝐴𝐶，再根据三角形的面积公式求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，切线的性质，平行线的性质和判定，三角形的中位线，三角形的面积，等腰三角形的性质和勾股定理等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．
1
24.【答案】解：(1)根据题意可得：𝑤=(𝑥−20)𝑦
=(𝑥−20)(−2𝑥+80)
=−2𝑥2+120𝑥−1600，
∴𝑤与𝑥的函数关系式为：𝑤=−2𝑥2+120𝑥−1600；
(2)根据题意可得：𝑤=−2𝑥2+120𝑥−1600=−2(𝑥−30)2+200， ∵−2<0，
∴当𝑥=30时，𝑤有最大值．𝑤最大值为200．
答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润为200元； (3)当𝑤=150时，则−2𝑥2+120𝑥−1600=150， 解得：𝑥1=25，𝑥2=35， ∵健身球的销售单价不高于28元， ∴𝑥=25，
答：销售单价定为25元时，商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润． 【解析】(1)根据总利润=每个利润×销售量可得函数解析式； (2)将所得函数解析式配方成顶点式，根据函数的性质求最值； (3)令𝑤=150，解一元二次方程，然后根据题意确定𝑥的取值．
本题主要考查二次函数和一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质
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25.【答案】解：(1)当对称轴𝑥=−
∴顶点𝑃为(1,−4𝑎)； (2)是，理由如下：
−2𝑎2𝑎
=1时，𝑦=−4𝑎，
∵𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎=𝑎(𝑥2−2𝑥−3)， 令𝑥2−2𝑥−3=0， 解得𝑥1=−1，𝑥2=3，
∴该抛物线过定点(−1,0)，(3,0)；
(3)①∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎经过(1,3)， ∴−4𝑎=3， 解得：𝑎=−； ②−4<𝑛⩽3；
(4)𝑎的取值范围为𝑎=或𝑎⩽−．
【解析】(1)求得对称轴为直线𝑥=1，代入解析式即可求得顶点𝑃为(1,−4𝑎)；
(2)把解析式变形为𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎=𝑎(𝑥2−2𝑥−3)，令𝑥2−2𝑥−3=0，即可解得𝑥1=−1，𝑥2=3，从而判定抛物线过定点(−1,0)，(3,0)； (3)①由题意可知−4𝑎=3，解得𝑎=−4；
②由点𝑄到𝑦轴的距离小于2，可得−2<𝑚<2，在此范围内求𝑛即可； 点𝑄到𝑦轴的距离小于2， ∴|𝑚|<2， ∴−2<𝑚<2，
∵𝑥=−2时，𝑦=−(𝑥2−2𝑥−3)=−[(−2)2−2×(−2)−3]=−，
444𝑥=2时，𝑦=−(𝑥2−2𝑥−3)=−(22−2×2−3)=， 444−4<4，且在(−2,2)之间有最大值3， ∴−4<𝑛⩽3．
(4)分两种情况讨论，借助图象即可确定𝑎的取值范围． 𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎， ①当抛物线开口向上时，
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∵抛物线与线段𝐴𝐵只有一个公共点， ∴抛物线顶点在直线𝑦=−2上， ∴−4𝑎=−2， 解得𝑎=；
②当抛物线开口向下时，
∵𝑥=−1时，𝑦=代入𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎，得，0，
∴点𝐴不在抛物线上，
把𝐵(5,−2)代入得−2=25𝑎−10𝑎−3𝑎， 解得𝑎=−， ∴𝑎⩽−6，
综上，抛物线与线段𝐴𝐵只有一个公共点时，𝑎的取值范围为𝑎=或𝑎⩽−．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点坐标与对称轴的求解，二次函数的性质，数形结合是解题的关键．
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