传染病问题中的SIR模型

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传染病问题中的SIR模型

摘要：

2003年春来历不明的SARS病毒突袭人间，给人们的生命财产带来极大的危害。长期以来，建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，探索制止传染病蔓延的手段等，一直是我国及全世界有关专家和官员关注的课题。

不同类型的传染病的传播过程有其各自不同的特点，我们不是从医学的角度一一分析各种传染病的传播，而是从一般的传播机理分析建立各种模型，如简单模型，SI模型，SIS模型，SIR模型等。在这里我采用SIR（Susceptibles，Infectives，Recovered）模型来研究如天花，流感，肝炎，麻疹等治愈后均有很强的免疫力的传染病，它主要沿用由Kermack与McKendrick在1927年采用动力学方法建立的模型。应用传染病动力学模型来描述疾病发展变化的过程和传播规律，预测疾病发生的状态，评估各种控制措施的效果，为预防控制疾病提供最优决策依据, 维护人类健康与社会经济发展。 关键字：传染病；动力学；SIR模型。 一﹑模型假设

1. 在疾病传播期内所考察的地区范围不考虑人口的出生、死亡、流动等种群动力因素。总人口数N(t)不变，人口始终保持一个常数N。人群分为以下三类：易感染者(Susceptibles)，其数量比例记为s(t)，表示t时刻未染病但有可能被该类疾病传染的人数占总人数的比例；感染病者(Infectives)，其数量比例记为i(t)，表示t时刻已被感染成为病人而且具有传染力的人数占总人数的比例；恢复者(Recovered)，其数量比例记为r(t)，表示t时刻已从染病者中移出的人数（这部分人既非已感染者，也非感染病者，不具有传染性，也不会再次被感染，他们已退出该传染系统。）占总人数的比例。 2. 病人的日接触率（每个病人每天有效接触的平均人数）为常数λ，日治愈率（每天被治愈的病人占总病人数的比例）为常数μ，显然平均传染期为1／μ，传染期接触数为σ=λ／μ。该模型的缺陷是结果常与实际有一定程度差距，这是因为模型中假设有效接触率传染力是不变的。 二﹑模型构成

在以上三个基本假设条件下，易感染者从患病到移出的过程框图表示如下：

s λsi i μi r 在假设1中显然有：

s(t) + i(t) + r(t) = 1 （1）

对于病愈免疫的移出者的数量应为

Ndr??Ni （2） dt 1

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不妨设初始时刻的易感染者，染病者，恢复者的比例分别为s0（s0＞0），i0（i0＞0），

r0=0.

SIR基础模型用微分方程组表示如下：

?di?dt??si??i??ds????si （3） ?dt?dr?dt??i?s(t) ， i(t)的求解极度困难，在此我们先做数值计算来预估计s(t) ， i(t)的一般变化规律。

三﹑数值计算

在方程（3）中设λ=1，μ=0.3，i（0）= 0.02，s（0）=0.98，用MATLAB软件编程： function y=ill(t,x) a=1;b=0.3;

y=[a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2)]; ts=0:50;

x0=[0.02,0.98];

[t,x]=ode45('ill',ts,x0); plot(t,x(:,1),t,x(:,2)) pause

plot(x(:,2),x(:,1))

输出的简明计算结果列入表1。i(t) , s(t)的图形以下两个图形，i~s图形称为相轨线,初值i(0)=0.02,s(0)=0.98相当于图2中的P0点,随着t的增,(s,i)沿轨线自右向左运动.由表1、图1、图2可以看出,i(t)由初值增长至约t=7时达到最大值,然后减少,t→∞,i→0,s(t)则单调减少,t→∞,s→0.0398. 并分析i(t),s(t)的一般变化规律.

t i(t) s(t) t i(t) s(t)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0.0200 0.0390 0.0732 0.1285 0.2033 0.2795 0.3312 0.3444 0.3247 0.9800 0.9525 0.9019 0.8169 0.6927 0.5438 0.3995 0.2839 0.2027 9 10 15 20 25 30 35 40 45 0 0.2863 0.2418 0.0787 0.0223 0.0061 0.0017 0.0005 0.0001 0.1493 0.1145 0.0543 0.0434 0.0408 0.0401 0.0399 0.0399 0.0398 2

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表1 i(t),s(t)的数值计算结果

四﹑相轨线分析

我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨线讨论解i（t）,s（t）的性质。 i ~ s平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域（s，i）∈D为

D = ｛（s，i）| s≥0，i≥0 ， s + i ≤1｝ （4） 在方程（3）中消去dt并注意到σ的定义，可得

di?1????1?， i|s?s0?i0 （5） ds?sσ?

?1??1?ds ? 所以： di???sσ??1?d??1?ds （6） ?i0i?s0?sσ??is利用积分特性容易求出方程(5)的解为： i?(s0?i0)?s?1?lns （7） s0在定义域D内,(6)式表示的曲线即为相轨线,如图3所示.其中箭头表示了随着时间t的增加s(t)和i(t)的变化趋向.

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iD

P2imP1i?os?1/?s

下面根据(3),(17)式和图9分析s(t),i(t)和r(t)的变化情况(t→∞时它们的极限值分别记作

s?, i?和r?)。

1.不论初始条件s0,i0如何,病人消失将消失,即： i0?0 （8） 其证明如下：

首先,由(3)

dsdr?0 而 s(t)?0 故s? 存在; 由(2) ?0而 r(t)?1 故r? 存 dtdt在;再由(1)知i?存在。

dr??? , 这将导致r???，与r?存在相dt2其次,若i????0则由(1),对于充分大的t 有

矛盾.从图形上看,不论相轨线从P1或从P2点出发,它终将与s轴相交(t充分大).

2.最终未被感染的健康者的比例是s?,在(7)式中令i=0得到, s?是方程

1s??0 （9） s0 s0?i0?s???ln在(0,1/σ)内的根.在图形上s?是相轨线与s轴在(0,1/σ)内交点的横坐标.

di?1d?1?????1??o，i(t)先增加, 令i???1?=0，可得当s=1/ds?sσ?ds?sσ? 3.若s0>1/σ,则开始有

2

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σ时,i(t)达到最大值：

1 im?s0?i0?（1?ln?s0) （10）

?然后s<1/σ时，有

di?1????1??o ，所以i(t)减小且趋于零,s(t)则单调减小至s?,如图3中ds?sσ?由P1(s0，i0)出发的轨线.

di?1????1??0，i(t)单调减小至零,s(t)单调减小至s?,如图3中ds?sσ?4.若s0 ?1/σ,则恒有由P2(s0,i0)出发的轨线.

可以看出,如果仅当病人比例i(t)有一段增长的时期才认为传染病在蔓延,那么1/σ是一个阈值,当s0>1/σ(即σ>1/s0)时传染病就会蔓延.而减小传染期接触数σ,即提高阈值1/σ使得s0≤1/σ(即σ ≤1/s0),传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值s0是一定的,通常可认为

s0接近1)。

并且,即使s0>1/σ,从(19),(20)式可以看出, σ减小时, s?增加(通过作图分析), im降低,也控制了蔓延的程度.我们注意到在σ=λμ中,人们的卫生水平越高,日接触率λ越小;医疗水平越高,日治愈率μ越大,于是σ越小,所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.

从另一方面看, ?s??s?1/?是传染期内一个病人传染的健康者的平均数,称为交换数,其含义是一病人被?s个健康者交换.所以当 s0?1/? 即?s0?1时必有 .既然交换数不超过1,病人比例i(t)绝不会增加,传染病不会蔓延。

五﹑群体免疫和预防

根据对SIR模型的分析,当s0?1/? 时传染病不会蔓延.所以为制止蔓延,除了提高卫生和医疗水平,使阈值1/σ变大以外,另一个途径是降低s0 ,这可以通过比如预防接种使群体免疫的办法做到.

忽略病人比例的初始值i0有s0?1?r0,于是传染病不会蔓延的条件s0?1/? 可以表为

3

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r0?1?1? (11)

这就是说，只要通过群体免疫使初始时刻的移出者比例（即免疫比例）满足（11）式，就可以制止传染病的蔓延。

这种办法生效的前提条件是免疫者要均匀分布在全体人口中，实际上这是很难做到的。据估计当时印度等国天花传染病的接触数 σ=5，由（11）式至少要有80%的人接受免疫才行。据世界卫生组织报告，即使花费大量资金提高r0，也因很难做到免疫者的均匀分布，使得天花直到1977年才在全世界根除。而有些传染病的σ更高，根除就更加困难。 六﹑模型验证

上世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了。死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人数，即有了据对SIR模型作了验证。

首先，由方程（2），（3）可以得到

dsd???si????si???sr dtdtdr的实际数据，Kermack等人用这组数dt 上式两边同时乘以dt可?s1ds???dr ，两边积分得 srs1s?e??r ?ds????dr?lns|s0???r?s0sr0?0s0所以： s(t)?s0e??r(t) (12)

dr??i??(1?r?s)??(1?r?s0e??r) (13) dt再?当 r?1/? 时，取（13）式右端e??rTaylor展开式的前3项得：

s0?2r2dr??(1?r?s0??s0r?) dt2在初始值r0=0 下解高阶常微分方程得:

1???t?(s??1)??th(??) (14) 0?s0?2?2??4

r(t)?

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其中?2?(s0??1)2?2s0i0?2，th??s0??1? 从而容易由（14）式得出：

dr?2?? （15） dt2s?2ch2(??t??)02 然后取定参数 s0, σ等，画出（15）式的图形，如图4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示，可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错。

七﹑被传染比例的估计

在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值s0与s?之差，记作x,即 x?s0?s? (16)

当i0很小，s0接近于1时，由（9）式可得 x?1ln(1?x)?0 (17) s0?取对数函数Taylor展开的前两项有 x(1?1s0??x2s02?)?0 (18)

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记 s0?1??? , ? 可视为该地区人口比例超过阈值

11的部分。当 ??

??时（18）式给出

1??x?2s0??s0???2? （19）

???这个结果表明，被传染人数比例约为?的2倍。对一种传染病，当该地区的卫生和医

1疗水平不变，即?不变时，这个比例就不会改变。而当阈值提高时，?减小，于是这个

?比例就会降低。 八﹑评注

该模型采用了数值计算,图形观察与理论分析相结合的方法,先有感性认识(表1,图1,图2),再用相轨线作理论分析,最后进行数值验证和估算,可以看作计算机技术与建模方法的巧妙配合。可取之处在于它们比较全面地达到了建模的目的,即描述传播过程、分析感染人数的变化规律,预测传染病高潮到来时刻,度量传染病蔓延的程度并探索制止蔓延的手段和措施。

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