高中数学基础知识手册(草稿)

一、 集合与简易逻辑

基本考点

1. 元素与集合的关系

xAxCUA,xCUAxA. 2.摩根公式

CU(AB)CUACUB;CU(AB)CUACUB.

3.包含关系

ABAABBABCUBCUA ACUBCUABR

4.容斥原理

card(AB)cardAcardBcard(AB)

 card(ABC)cardAcardBcardCcard(AB)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC).

5．子集个数 集合{an1,a2,,an}的子集个数共有2n 个；真子集有2–1个；非空子集有2n非空的真子集有2n–2个. 6.真值表 ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假

7.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有（n1）个 小于 不小于 至多有n个 至少有（n1）个 对所有x， 存在某x， 成立 不成立 p或q p且q 对任何x， 存在某x， 不成立 成立 p且q p或q 8.四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题 若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互 互 为 为 互 否 否 逆 逆 否 否 否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ 1个；

–9.充要条件

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

常用结论

1.集合的元素具有无序性和互异性，确定性.

2.对集合A、B，AB时，你是否注意到“极端”情况：A或B；求集合的子集时是否注意到是任何集合的子集、是任何非空集合的真子集.

3.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依

21，，次为2， 21 22.

4.“交的补等于补的并，即CU(AnnnnB)CUACUB”；“并的补等于补的交，即

CU(AB)CUACUB”.

5.判断命题的真假

关键是“抓住关联字词”；注意：“不‘或’即‘且’，不‘且’即‘或’”.

6.“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“一真一假”.

7.四种命题中“‘逆’者‘交换’也”、“‘否’者‘否定’也”.

原命题等价于逆否命题，但原命题与逆命题、否命题都不等价.反证法分为三步：假设、推矛、得果.

注意：命题的否定是“命题的非命题，也就是‘条件不变，仅否定结论’所得命题”，但否命题是“既否定原命题的条件作为条件，又否定原命题的结论作为结论的所得命题” .

8.充要条件 条件推结论为充分，结论反推条件为必要

二、 函 数

基础考点

1.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式f(x)axbxc(a0); (2)顶点式f(x)a(xh)k(a0); (3)零点式f(x)a(xx1)(xx2)(a0).

2.解连不等式Nf(x)M常有以下转化形式

22Nf(x)M[f(x)M][f(x)N]0

f(x)NMNMN0 ||f(x)Mf(x)2211. f(x)NMN

3.方程f(x)0在(k1,k2)上有且只有一个实根,与f(k1)f(k2)0不等价,前者是后者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程axbxc0(a0)有且只有一个实根在

2(k1,k2)内,等价于f(k1)f(k2)0,或f(k1)0且k1kk2b1,或f(k2)0且2a2k1k2bk2. 22a4.闭区间上的二次函数的最值

二次函数f(x)axbxc(a0)在闭区间p,q上的最值只能在x2b处及区2a间的两端点处取得，具体如下：

(1)当a>0时，若xbb则f(x)minf( p,q，),f(x)maxmaxf(p),f(q)；

2a2abp,q，f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q). 2ab(2)当a<0时，若xp,q，则f(x)minminf(p),f(q)，若

2abxp,q，则f(x)maxmaxf(p),f(q)，f(x)minminf(p),f(q).

2ax5.一元二次方程的实根分布

依据：若f(m)f(n)0，则方程f(x)0在区间(m,n)内至少有一个实根 . 设f(x)x2pxq，则

p24q0（1）方程f(x)0在区间(m,)内有根的充要条件为f(m)0或p；

m2f(m)0f(n)0（2）方程f(x)0在区间(m,n)内有根的充要条件为f(m)f(n)0或p24q0mpn2f(m)0f(n)0或或；

af(n)0af(m)0p24q0（3）方程f(x)0在区间(,n)内有根的充要条件为f(m)0或p .

m26.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(,)的子区间L（形如,，,，,不同）上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)min0(xL).

(2)在给定区间(,)的子区间上含参数的二次不等式f(x,t)0(t为参数)恒成立的充要条件是f(x,t)man0(xL).

7.函数的单调性

(1)设x1x2a,b,x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是增函数；

x1x2f(x1)f(x2)0f(x)在a,b上是减函数. (x1x2)f(x1)f(x2)0x1x2(2)设函数yf(x)在某个区间内可导，如果f(x)0，则f(x)为增函数；如果f(x)0，则f(x)为减函数.

(x1x2)f(x1)f(x2)0

8.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)g(x)也是减函数; 如果函数yf(u)和ug(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数

yf[g(x)]是增函数.

9．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数．

10.若函数yf(x)是偶函数，则f(xa)f(xa)；若函数yf(xa)是偶函数，则f(xa)f(xa).

11.对于函数yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,则函数f(x)的对称轴是函数x

12.若f(x)f(xa),则函数yf(x)的图象关于点(,0)对称

nn113．多项式函数P(x)anxan1xabab;两个函数yf(xa)与yf(bx) 的图象关于直线x对称. 22a2a0的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数P(x)是偶函数P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

14.函数yf(x)的图象的对称性

(1)函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)

f(2ax)f(x).

(2)函数yf(x)的图象关于直线xab对称f(amx)f(bmx) 2f(abmx)f(mx).

15.两个函数图象的对称性

(1)函数yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称. (2)函数yf(mxa)与函数yf(bmx)的图象关于直线x(3)函数yf(x)和yf1ab对称. 2m(x)的图象关于直线y=x对称.

16.若将函数yf(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数yf(xa)b的图象；若将曲线f(x,y)0的图象右移a、上移b个单位，得到曲线f(xa,yb)0的图

象.

 17．互为反函数的两个函数的关系

f(a)bf1(b)a.

 18.若函数yf(kxb)存在反函数,则其反函数为y11[f(x)b],并不是ky[f1(kxb),而函数y[f1(kxb)是y1[f(x)b]的反函数. k19.几个常见的函数方程

(1)正比例函数f(x)cx,f(xy)f(x)f(y),f(1)c.

(2)指数函数f(x)a,f(xy)f(x)f(y),f(1)a0.

(3)对数函数f(x)logax,f(xy)f(x)f(y),f(a)1(a0,a1).

(4)幂函数f(x)x,f(xy)f(x)f(y),f(1).

'x(5)余弦函数f(x)cosx,正弦函数g(x)sinx，f(xy)f(x)f(y)g(x)g(y)，

f(0)1,limx0g(x)1. x19.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)f(xa)，则f(x)的周期T=a； （2）f(x)f(xa)0，

1(f(x)0)， f(x)1或f(xa)(f(x)0),,则f(x)的周期T=2a；

f(x)或f(xa)

20.分数指数幂 (1)a(2)amn1nmnam1mn（a0,m,nN，且n1）. （a0,m,nN，且n1）.

a

21．根式的性质

n（1）(na)a.

（2）当n为奇数时，nana； 当n为偶数时，nan|a|

22．有理指数幂的运算性质 (1) aaarsrrsrrrsrsa,a0.

a,a0(a0,r,sQ).

(2) (a)a(a0,r,sQ). (3)(ab)ab(a0,b0,rQ).

注： 若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用.

23.指数式与对数式的互化式

logaNbabN(a0,a1,N0).

24.对数的换底公式

logmN (a0,且a1,m0,且m1, N0).

logmann推论 logamblogab(a0,且a1,m,n0,且m1,n1, N0).

mlogaN

25．对数的四则运算法则

若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)logaMlogaN;

MlogaMlogaN; Nn(3)logaMnlogaM(nR).

(2) loga

2226.设函数f(x)logm(axbxc)(a0),记b4ac.若f(x)的定义域为

R,则a0，且0;若f(x)的值域为R,则a0，且0.对于a0的情形,需要

单独检验.

27. 对数换底不等式及其推广

1,则函数ylogax(bx) a11 (1)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为增函数.

aa11， (2)当ab时,在(0,)和(,)上ylogax(bx)为减函数.

aa 若a0,b0,x0,x推论:设nm1，p0，a0，且a1，则 （1）logmp(np)logmn. （2）logamloganloga2mn. 2

常用结论

1.指数式、对数式，

mnnmaa，amnlogaNaN ，1manabNlogaNb(a0,a1,N0)，.

a01，loga10，logaa1，lg2lg51，logexlnx，

logcb，.logbnnlogb.

logabaammlogca2.(1)映射是“‘全部射出’加‘一箭一雕’”；映射中第一个集合A中的元素必有像，

但第二个集合B中的元素不一定有原像（A中元素的像有且仅有下一个，但B中元素的原像可能没有，也可任意个）；函数是“非空数集上的映射”，其中“值域是映射中像集B的子集”.

(2)函数图像与x轴垂线至多一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可任意个.

(3)函数图像一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图像.

(4)原函数与反函数有两个“交叉关系”：自变量与因变量、定义域与值域.求一个函数的反函数，分三步：逆解、交换、定域（确定原函数的值域，并作为反函数的定义域）.

注意：①f(a)bf但f[f11(b)a，f[f1(x)]x，f1[f(x)]x，

(x)]f1[f(x)].

②函数yf(x1)的反函数是yf1(x)1，而不是yf1(x1).

3.单调性和奇偶性

(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同. 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. 单调函数的反函数和原函数有相同的性；如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.

注意：（1）确定函数的奇偶性，务必先判定函数定义域是否关于原点对称.确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法等等.

对于偶函数而言有：f(x)f(x)f(|x|).

（2）若奇函数定义域中有0，则必有f(0)0.即0f(x)的定义域时，f(0)0是

f(x)为奇函数的必要非充分条件.

（3）确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法（取值、作差、鉴定）、导数法；在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.

（4）函数单调是函数有反函数的一个充分非必要条件.

(5)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”.

(6)函数单调是函数有反函数的充分非必要条件，奇函数可能反函数，但偶函数只有

f(x)0(x{0})有反函数；既奇又偶函数有无穷多个（f(x)0，定义域是关于原点对

称的任意一个数集）.

(7)复合函数的单调性特点是：“同性得增，增必同性；异性得减，减必异性”.

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 复合函数要考虑定义域的变化。（即复合有意义）

4.对称性与周期性（以下结论要消化吸收，不可强记）

(1)函数yfx与函数yfx的图像关于直线x0（y轴）对称.

推广一：如果函数yfx对于一切xR，都有faxfbx成立，那么yfx的图像关于直线xab(ax)(bx)（由“x和的一半x确定”）对称.

22ba（由axbx2推广二：函数yfax，yfbx的图像关于直线x确定）对称.

(2)函数yfx与函数yfx的图像关于直线y0（x轴）对称.

推广：函数yfx与函数yAfx的图像关于直线yA对称（由“y和的一

2半y[f(x)][Af(x)]确定”）.

2(3)函数yfx与函数yfx的图像关于坐标原点中心对称.

推广：函数yfx与函数ymfnx的图像关于点(n,m)中心对称.

221(4)函数yfx与函数yfx的图像关于直线yx对称.

推广：曲线f(x,y)0关于直线yxb的对称曲线是f(yb,xb)0；

曲线f(x,y)0关于直线yxb的对称曲线是f(yb,xb)0.

(5)曲线f(x,y)0绕原点逆时针旋转90，所得曲线是f(y,x)0（逆时针横变再交换）.

特别：yf(x)绕原点逆时针旋转90，得xf(y)，若yf(x)有反函数

yf1(x)，则得yf1(x).

曲线f(x,y)0绕原点顺时针旋转90，所得曲线是f(y,x)0（顺时针纵变再交换）.

特别：yf(x)绕原点顺时针旋转90，得xf(y)，若yf(x)有反函数

yf1(x)，则得yf1(x).

(6)类比“三角函数图像”得：

若yf(x)图像有两条对称轴xa,xb(ab)，则yf(x)必是周期函数，且一周期为T2|ab|.

若yf(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab)，则yf(x)是周期函数，且一周期为T2|ab|.

如果函数yf(x)的图像有下一个对称中心A(a,0)和一条对称轴xb(ab)，则函数

yf(x)必是周期函数，且一周期为T4|ab|.

如果yf(x)是R上的周期函数，且一个周期为T，那么f(xnT)f(x)(nZ). 特别：若f(xa)f(x)(a0)恒成立，则T2a.

若f(xa)成立，则T2a.

如果yf(x)是周期函数，那么yf(x)的定义域“无界”.

5.图像变换

(1)函数图像的平移和伸缩变换应注意哪些问题？

函数yf(x)的图像按向量a(k,h)平移后，得函数yhf(xk)的图像.

(2)函数图像的平移、伸缩变换中，图像的特殊点、特殊线也作相应的变换.

(3)图像变换应重视将所研究函数与常见函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数、“鱼钩函数yxk11(a0)恒成立，则T2a.若f(xa)(a0)恒f(x)f(x)xk0”及函数

yxkxk0等）相互转化.

2 注意：①形如yaxbxc的函数，不一定是二次函数.

②应特别重视“二次三项式”、“二次方程”、“二次函数”、“二次曲线”之间的特别联系.

③形如yaxb(c0,adbc)的图像是等轴双曲线，双曲线两渐近线分别直线

cxdxd(由分母为零确定)、直线ya(由分子、分母中x的系数确定)，双曲线的中心是

cc点(d,a).

cc

三、数 列 基础考点

1. 平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N，平均增长率为p，则对于时间x的总产值y，有

yN(1p)x.

2.数列的同项公式与前n项的和的关系

n1s1,( 数列{an}的前n项的和为sna1a2anss,n2nn1

3.等差数列的通项公式

an).

ana1(n1)ddna1d(nN*)；

其前n项和公式为

n(a1an)n(n1)na1d 22d1n2(a1d)n. 22sn

4.等比数列的通项公式

ana1qn1a1nq(nN*)； q其前n项的和公式为

a1(1qn),q1sn1q

na,q11a1anq,q1或sn1q.

na,q11

5.等比差数列an:an1qand,a1b(q0)的通项公式为

b(n1)d,q1anbqn(db)qn1d；

,q1q1其前n项和公式为

nbn(n1)d,(q1)sn. d1qnd(b)n,(q1)1qq11q

6..分期付款(按揭贷款)

ab(1b)n每次还款x元(贷款a元,n次还清,每期利率为b). n(1b)1

常用结论

1.数列的通项、数列项的项数，递推公式与递推数列，数列的通项与数列的前n项和公式的关系：anS1,(n1)(必要时请分类讨论).

SnSn1,(n2)(a2a1)a1；

注意：an(anan1)(an1an2)ananan1an1an2a2a1. a12.等差数列{an}中：

（1）等差数列公差的取值与等差数列的单调性.

（2）ana1(n1)dam(nm)d；pqmnapaqaman. (3){an1(k1)m}、{kan}也成等差数列. (4)两等差数列对应项和(差)组成的新数列仍成等差数列.

(5)a1a2（6）Snam,akak1akm1,仍成等差数列.

n(a1an)n(n1)dd，Snna1d，Snn2(a1)n， 2222anAaS2n1，nf(n)nf(2n1).

bn2n1Bn(7)apq,aqp(pq)apq0；Spq,Sqp(pq)Spq(pq)；

SmnSmSnmnd.

(8)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；

“首负”的递增等差数列中，前n项和的最小值是所有非正项之和；

(9)有限等差数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”－“奇数项和”＝总项数的一半与其公差的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”－“偶数项和”＝此数列的中项.

（10）两数的等差中项惟一存在.在遇到三数或四数成等差数列时，常考虑选用“中项关系”转化求解.

(11)判定数列是否是等差数列的主要方法有：定义法、中项法、通项法、和式法、图像法(也就是说数列是等差数列的充要条件主要有这五种形式).

3.等比数列{an}中：

（1）等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负)，等比数列的首项、公比与等比数列的单调性.

n1nm（1）ana1qamq； pqmnbpbqbmbn.

{bn}成等比数列{anbn}成等比(3) {|an|}、{an1(k1)m}、{kan}成等比数列；{an}、数列.

(4)两等比数列对应项积(商)组成的新数列仍成等比数列.

(5)a1a2am,akak1akm1,成等比数列.

na1 (q1)na1 (q1)a1n（6）Sna1anqa1(1qn). a1q (q1) (q1)1q1q1q1q 特别：ab(ab)(annn1an2ban3b2abn2bn1).

mn(7) SmnSmqSnSnqSm.

(8)“首大于1”的正值递减等比数列中，前n项积的最大值是所有大于或等于1的项的积；“首小于1”的正值递增等比数列中，前n项积的最小值是所有小于或等于1的项的积；

(9)有限等比数列中，奇数项和与偶数项和的存在必然联系，由数列的总项数是偶数还是奇数决定.若总项数为偶数，则“偶数项和”＝“奇数项和”与“公比”的积；若总项数为奇数，则“奇数项和”＝“首项”加上“公比”与“偶数项和”积的和.

（10）并非任何两数总有等比中项. 仅当实数a,b同号时，实数a,b存在等比中项.对同号两实数a,b的等比中项不仅存在，而且有一对Gab.也就是说，两实数要么没有等比中项(非同号时)，如果有，必有一对(同号时).在遇到三数或四数成等差数列时，常优先考虑选用“中项关系”转化求解.

(11)判定数列是否是等比数列的方法主要有：定义法、中项法、通项法、和式法(也就是说数列是等比数列的充要条件主要有这四种形式).

4.等差数列与等比数列的联系

a(1)如果数列{an}成等差数列，那么数列{An}(An总有意义)必成等比数列.

a(2)如果数列{an}成等比数列，那么数列{loga|an|}(a0,a1)必成等差数列. (3)如果数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列；但数列{an}是常数数列仅是数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件.

(4)如果两等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

如果一个等差数列与一个等比数列有公共项顺次组成新数列，那么常选用“由特殊到一般的方法”进行研讨，且以其等比数列的项为主，探求等比数列中那些项是他们的公共项，

并构成新的数列.

注意：(1)公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究anbm.但也有少数问题中研究anbn，这时既要求项相同，也要求项数相同.(2)三(四)个数成等差(比)的中项转化和通项转化法.

5.数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式（三种形式），②等比数列求和公式（三种形式），

③123n1n(n1)，1222322(2n1)n2，135n21n(n1)(2n1)，

6135(2n1)(n1)2.

（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

（3）倒序相加法：在数列求和中，若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法，将其和转化为“一个新的的等比数列的和”求解（注意：一般错位相减后，其中“新等比数列的项数是原数列的项数减一的差”！）（这也是等比数列前n和公式的推导方法之一）.

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

1111， ②1(11)， n(n1)nn1n(nk)knnk11111③22()， kk12k1k1①

11111112， kk1(k1)kk(k1)kk1k④

1111n11[] ，⑤,

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)(n1)!n!(n1)!⑥2(n1n)12(nn1),

n⑦anSnSn1(n2)，⑧Cnm1mmmmm1CnCn. 1CnCn1Cn特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时分类讨论.

（6）通项转换法。

6.分期付款型应用问题

(1)重视将这类应用题与等差数列或等比数列相联系.

(2)若应用问题像“森林木材问题”那样，既增长又砍伐，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

(3)“分期付款”、“森林木材”等问题的解决过程中，务必“卡手指”，细心计算“年限”作为相应的“指数”. 

三、 三角函数

基础考点

1．常见三角不等式 （1）若x(0,(2) 若x(0,2)，则sinxxtanx.

2(3) |sinx||cosx|1.

)，则1sinxcosx2. 2.同角三角函数的基本关系式

sin2cos21，tan=

46.正弦、余弦的诱导公式

sin，tancot1. cos(n为偶数) (n为奇数) (n为偶数) (n为奇数) nn(1)2sin,sin() n12(1)2cos,

nn(1)2cos, cos()n12(1)2sin,3.和角与差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tantantan().

1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式); cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=a2b2sin()(辅助角所在象限由点(a,b)的象限决

b定,tan ).

a4.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tantan2. 21tan 5. 三倍角公式

sin33sin4sin34sinsin()sin().

33cos34cos33cos4coscos()cos()333tantan3tan3tantan()tan().

13tan233.

6.三角函数的周期公式

函数ysin(x)，x∈R及函数ycos(x)，x∈R(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T2；函数ytan(x)，xk2,kZ(A,ω,为常数，且A

≠0，ω＞0)的周期T

7.正弦定理

. abc2R. sinAsinBsinC

8.余弦定理

a2b2c22bccosA; b2c2a22cacosB; c2a2b22abcosC.

9.面积定理

111ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）. 222111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

2221(3)SOAB(|OA||OB|)2(OAOB)2. 2（1）S

10.三角形内角和定理

在△ABC中，有ABCC(AB)

CAB2C22(AB). 222k11 .简单的三角方程的通解

sinxaxk(1)arcsina(kZ,|a|1). cosxax2karccosa(kZ,|a|1).

tanxaxkarctana(kZ,aR).

特别地,有

sinsink(1)k(kZ).

coscos2k(kZ).

tantank(kZ).

12.最简单的三角不等式及其解集

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZ.

cosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZ. cosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZ. tanxa(aR)x(karctana,k2),kZ.

tanxa(aR)x(k2,karctana),kZ.

常用结论

1.终边与终边相同(的终边在终边所在射线上)2k(kZ).

终边与终边共线(的终边在终边所在直线上).

终边与终边关于x轴对称2k(kZ). 终边与终边关于y轴对称2k(kZ).

终边与终边关于原点对称2k(kZ).

一般地：终边与终边关于角的终边对称22k(kZ).

sin22cos22tan22sincossincos1011010222201221010121210010112202212112与的终边关系由“两等分各象限、一二三四”确定.

222.弧长公式：l||R，扇形面积公式：S1lR1||R，1弧度(1rad)57.3.

223.三角函数符号特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正. 注意：sin15cos7562,sin75cos1562， 44tan15cot7523,tan75cot1523，sin1851.

44.三角函数线的特征是：正弦线“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线“躺在x轴上

(起点是原点)”、正切线“站在点A(1,0)处(起点是A)”.务必重视“三角函数值的大小与单位圆上相应点的坐标之间的关系，‘正弦’‘纵坐标’、‘余弦’‘横坐标’、‘正切’”；务必记住：单位圆中角终边的变化与sincos‘纵坐标除以横坐标之商’

值的大小变化的关系.为锐角sintan.

5.三角函数同角关系中，平方关系的运用中，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定角的范围，并进行定号”；

6.三角函数诱导公式的本质是：奇变偶不变，符号看象限.

7.三角函数变换主要是：角、函数名、次数、系数(常值)的变换，其核心是“角的变换”! 角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.

如()()， 2()()，2()()

2222常值变换主要指“1”的变换：

，

2等.

1sin2xcos2xsec2xtan2xtanxcotxtansincos042等.

三角式变换主要有：三角函数名互化(切割化弦)、三角函数次数的降升(降次、升次)、

运算结构的转化(和式与积式的互化). 解题时本着“三看”的基本原则来进行:“看角、看函数、看特征”,基本的技巧有:巧变角,公式变形使用,化切割为弦,用倍角公式将高次降次.

注意：和(差)角的函数结构与符号特征；余弦倍角公式的三种形式选用；降次(升次)公式中的符号特征.“正余弦‘三兄妹—sinxcosx、 sinxcosx’的内存联系”(常和三角换元法联系在一起tsinxcosx[2,2],sinxcosx ).

辅助角公式中辅助角的确定：asinxbcosx象限由a, b的符号确定，角的值由tana2b2sinx(其中角所在的

b确定)在求最值、化简时起着重要作用.尤其a222是两者系数绝对值之比为1或3的情形.AsinxBcosxC有实数解ABC.

8.三角函数性质、图像及其变换：

(1)三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、有界性和周期性

注意：正切函数、余切函数的定义域；绝对值对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变；其他不定. 如ysin2x,ysinx的周期都是, 但ysinxcosxysinxcosx的周期为， y=|tanx|的周期不变，问函数

2y=cos|x|,ysinx,ysinx,ycosx ，y=cos|x|是周期函数吗？

(2)三角函数图像及其几何性质： 2sin(Asin(yy=Aωx+xφ))yO三角函数图象几何性质x三角函数图象几何性质 y=ωx+φyAtan(Atan(x))Oyxx3x4邻中心轴相距x3x=Tx14x4x=x1x=x2x=x2邻中心|x3-x4|= T/2无穷对称中心:由y=0或y无意义确定邻中心|x3-x4|=T/2无穷对称中心:由y=0确定邻轴|x1-x2|=T/2无穷对称轴:由y=A或-A确定 邻渐近线|x1-x2|=T无对称轴任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！(3)三角函数图像的变换：两轴方向的平移、伸缩及其向量的平移变换.

(4)三角函数图像的作法：三角函数线法、五点法(五点横坐标成等差数列)和变换法. 9.三角形中的三角函数：

(1)内角和定理：三角形三角和为，任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.

(2)正弦定理：

abc2R(R为三角形外接圆的半径). sinAsinBsinC注意：已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.

222(bc)a(3)余弦定理：abc2bccosA,cosAbca1等，

2bc2bc22222常选用余弦定理鉴定三角形的类型.

(4)面积公式：S1aha1absinCabc.

224R10.反三角函数：

(1)反正弦arcsinx、反余弦arccosx、反正切arctanx的取值范围分别是

[,],[0,],(,).

2222(2)异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角、向量的夹角的范围依次是

(0,]，[0,],[0,]，[0,].直线的倾斜角、l1到l2的角、l1与l2的夹角的范围依次是

22[0,),[0,),(0,].

2



四、 向 量

基础知识

1.实数与向量的积的运算律 设λ、μ为实数，那么

(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)第一分配律：(λ+μ)a=λa+μa; (3)第二分配律：λ(a+b)=λa+λb.

2.向量的数量积的运算律： (1) a·b= b·a （交换律）;

(2)（a）·b= （a·b）=a·b= a·（b）; (3)（a+b）·c= a ·c +b·c.

3.平面向量基本定理

如果e1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2．

不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

4．向量平行的坐标表示

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则ab(b0)x1y2x2y10.

5. a与b的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ．

6. a·b的几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积．

7.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2).

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2). (3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1).

(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y).

(5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=(x1x2y1y2).

8.两向量的夹角公式

cosx1x2y1y2xyxy21212222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

9.平面两点间的距离公式 dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

10.向量的平行与垂直

设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则 A||bb=λa x1y2x2y10. ab(a0)a·b=0x1x2y1y20.

11.线段的定比分公式

设P1P2的分点,是实数，且PP1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段P1PP2，则

x1x2OPOP21 OP1y1y2111（）. t(1t)OPOPtOP121xy

12.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC的重心的坐标是G(x1x2x3y1y2y3,). 33

13.点的平移公式

''xxhxxh''OPOPPP . ''yykyyk注:图形F上的任意一点P(x，y)在平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k).

14.“按向量平移”的几个结论

（1）点P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到点P(xh,yk).

(2) 函数yf(x)的图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的函数解析式为yf(xh)k.

(3) 图象C按向量a=(h,k)平移后得到图象C,若C的解析式yf(x),则C的函数解析式为yf(xh)k.

(4)曲线C:f(x,y)0按向量a=(h,k)平移后得到图象C,则C的方程为

''''''''''''f(xh,yk)0.

(5) 向量m=(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

15. 三角形五“心”向量形式的充要条件

设O为ABC所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为a,b,c，则 （1）O为ABC的外心OAOBOC. （2）O为ABC的重心OAOBOC0.

（3）O为ABC的垂心OAOBOBOCOCOA. （4）O为ABC的内心aOAbOBcOC0. （5）O为ABC的A的旁心aOAbOBcOC.

222常用结论

1.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标的特征.

2.几个概念：零向量、单位向量(与AB共线的单位向量是AB，特别：

|AB|(ABABACAC)(ABABACAC))、平行(共线)向量(无传递性，是因为有0)、相等向量(有

传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影（a在b上的投影是acosa,babbR).

3.两非零向量平行(共线)的充要条件a//bab (ab)2(|a||b|)2

x1x2y1y20.

两个非零向量垂直的充要条件abab0|ab||ab|

x1x2y1y20.

特别：零向量和任何向量共线. ab是向量平行的充分不必要条件!

4.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1、2，使a=1e1＋2e2.

AC共线； 5.三点A、B、C共线AB、向量PA、、B、C共线存在实数、使得： PB、 PC中三终点APAPBPC且1.

6.向量的数量积：|a|(a)aa，ab|a||b|cosx1x2y1y2，

22a在b上的投影|a|cosa,babx1x2y1y2.

22|b|x2y2 b不同向； 注意：a,b为锐角ab0且a、a,b为直角ab0且a、 b0；

b不反向 a,b为钝角ab0且a、ab0是a,b为钝角的必要非充分条件.

向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，这是题目中的天然条件，要注意运用；对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量；向量的“乘法”不满足结合律，即a(b•c)(a•b)c，切记两向量不能相除(相约).

7.||a||b|||ab||a||b|

b同向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|； 注意：a、a、 b反向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|； a、 b不共线||a||b|||ab||a||b|.(这些和实数集中类似)

8.平移与定比分点

(1)线段的定比分点坐标公式

PP2，则.x设P（x,y）、P1（x1,y1），P2（x2,y2），且PP1MPMP1MP2.

1x1x2yy2，,y111特别：分点的位置与的对应关系.

x1x2x1MP22， MPMP中点坐标公式P为P1P2的中点. 2yy1y22ABC中，ABAC过BC边中点；(ABAC)(ABAC)；

|AB||AC||AB||AC|与AB共线的单位向量是AB. |AB|PG1(PAPBPC)G为ABC的重心；

3特别PAPBPC0P为ABC的重心.

PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；

(ABAC)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；

|AB||AC||AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心.

SABC11ABACsinA22ABAC(ABAC)2. 22xxh (2)平移公式： 如果点P(x，y)按向量a＝(h，k)平移至P(x,y)，则. yyk曲线f(x,y)0按向量a＝(h，k)平移得曲线f(xh,yk)0.

五、 不等式

基础考点

1.常用不等式：

（1）a,bRab2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

22abab(当且仅当a＝b时取“=”号)． 2333（3）abc3abc(a0,b0,c0).

（2）a,bR （4）柯西不等式

(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.

（5）ababab.

2.极值定理

已知x,y都是正数，则有

（1）若积xy是定值p，则当xy时和xy有最小值2p； （2）若和xy是定值s，则当xy时积xy有最大值推广 已知x,yR，则有(xy)(xy)2xy （1）若积xy是定值,则当|xy|最大时,|xy|最大； 当|xy|最小时,|xy|最小.

（2）若和|xy|是定值,则当|xy|最大时, |xy|最小； 当|xy|最小时, |xy|最大.

223.一元二次不等式axbxc0(或0)(a0,b4ac0)，如果a与

12s. 422ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)； xx1,或xx2(xx1)(xx2)0(x1x2).

4.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

xax2aaxa.

2xax2a2xa或xa.

5.无理不等式

（1）（2）（3）f(x)0 . f(x)g(x)g(x)0f(x)g(x)f(x)0f(x)0. f(x)g(x)g(x)0或g(x)0f(x)[g(x)]2f(x)0. f(x)g(x)g(x)0f(x)[g(x)]2

6.指数不等式与对数不等式 (1)当a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0.

f(x)g(x)(2)当0a1时,

af(x)ag(x)f(x)g(x);

f(x)0logaf(x)logag(x)g(x)0

f(x)g(x)常用结论

1.(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.

(2)解分式不等式fxaa0的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解

gx因式，x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回）；

(3)含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是根据定义分类讨论、平方转化或换元转化)；

(4)解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集.

2. 利用重要不等式ab2ab 以及变式ab(ab)等求函数的最值时，务必注

22意a，bR（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋b其中之一应是定值(一正二定三等四同时).

22ababab2(根据目标不等式左右的运算结构3.常用不等式有：2211ab选用) a、b、cR，abcabbcca（当且仅当abc时，取等号）

2224.比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法(注意：对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径， “配方、函数单调性等”对放缩的影响).

5.含绝对值不等式的性质：

a、b同号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|； a、b异号或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.

注意：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用方程函数思想和“分离变量法”转化为最值问题）.

六、 直线和圆

基础知识

1.斜率公式

ky2y1（P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）.

x2x1

2.直线的五种方程

（1）点斜式 yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

yy1xx1(y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2)).

y2y1x2x1xy(4)截距式 1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b0)

ab（5）一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0).

（3）两点式

3.两条直线的平行和垂直

(1)若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2 ①l1||l2k1k2,b1b2; ②l1l2k1k21.

(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不为零,

A1B1C1； A2B2C2②l1l2A1A2B1B20；

①l1||l2

4.夹角公式

k2k1|.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1|. (2)tan|12A1A2B1B2(1)tan|(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20). 直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是

5. l1到l2的角公式

. 2k2k1.

1k2k1(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

ABA2B1(2)tan12.

A1A2B1B2(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20).

(1)tan直线l1l2时，直线l1到l2的角是

. 2

6．四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为yy0k(xx0)(除直线

xx0),其中k是待定的系数; 经过定点P0(x0,y0)的直线系方程为A(xx0)B(yy0)0,其中A,B是待定的系数．

(2)共点直线系方程：经过两直线l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交点的直线系方程为(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0(除l2)，其中λ是待定的系数．

(3)平行直线系方程：直线ykxb中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBy0(0)，λ是参变量．

(4)垂直直线系方程：与直线AxByC0 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是

BxAy0,λ是参变量．

7.点到直线的距离

d|Ax0By0C|AB22(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

8. AxByC0或0所表示的平面区域

设直线l:AxByC0，则AxByC0或0所表示的平面区域是： 若B0，当B与AxByC同号时，表示直线l的上方的区域；当B与AxByC异号时，表示直线l的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若B0，当A与AxByC同号时，表示直线l的右方的区域；当A与AxByC异号时，表示直线l的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左.

9. (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域

设曲线C:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（A1A2B1B20），则

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0或0所表示的平面区域是：

(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分； (A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0所表示的平面区域上下两部分.

10. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 (xa)(yb)r.

（2）圆的一般方程 xyDxEyF0(D2E24F＞0).

22222xarcos（3）圆的参数方程 .

ybrsin（4）圆的直径式方程 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、B(x2,y2)).

11. 圆系方程

(1)过点A(x1,y1),B(x2,y2)的圆系方程是

(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]0 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)(axbyc)0,其中axbyc0是直线AB的方程,λ是待定的系数．

22(2)过直线l:AxByC0与圆C:xyDxEyF0的交点的圆系方程

是xyDxEyF(AxByC)0,λ是待定的系数．

2222(3) 过圆C1:xyD1xE1yF10与圆C2:xyD2xE2yF20的交

222222点的圆系方程是xyD1xE1yF1(xyD2xE2yF2)0,λ是待定的

系数．

12.点与圆的位置关系

点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种 若d(ax0)(by0)，则

22222dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

13.直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)(yb)r的位置关系有三种:

222dr相离0; dr相切0; dr相交0.

其中d

14.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d

AaBbCAB22.

dr1r2外离4条公切线; dr1r2外切3条公切线;

r1r2dr1r2相交2条公切线; dr1r2内切1条公切线;

0dr1r2内含无公切线.

15.圆的切线方程

(1)已知圆xyDxEyF0．

①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是

22D(x0x)E(y0y)F0. 22D(x0x)E(y0y)当(x0,y0)圆外时, x0xy0yF0表示过两个切点

22 x0xy0y的切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为yy0k(xx0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为ykxb，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆xyr．

2①过圆上的P0(x0,y0)点的切线方程为x0xy0yr;

222②斜率为k的圆的切线方程为ykxr1k2.

常用结论

1.直线倾斜角与斜率的存在性及其取值范围；直线方向向量的意义(a(1,k)或

(0,1)(0))及其直线方程的向量式((xx0,yy0)a(a为直线的方向向量)).应用直

线方程的点斜式、斜截式设直线方程时，一般可设直线的斜率为k，但你是否注意到直线垂直于x轴时，即斜率k不存在的情况？

2.知直线纵截距b，常设其方程为ykxb或x0；知直线横截距x0，常设其方程为

xmyx0(直线斜率k存在时，m为k的倒数)或y0.知直线过点(x0,y0)，常设其方程

为yk(xx0)y0或xx0.

注意：(1)直线方程的几种形式：点斜式、斜截式、两点式、截矩式、一般式、向量式．以及各种形式的局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截矩式呢？） 与直线l:AxByC0平行的直线可表示为AxByC10； 与直线l:AxByC0垂直的直线可表示为BxAyC10； 过点P(x0,y0)与直线l:AxByC0平行的直线可表示为：

A(xx0)B(yy0)0；

过点P(x0,y0)与直线l:AxByC0垂直的直线可表示为：

B(xx0)A(yy0)0.

(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点.

(3)在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，有可能这两条直线重合，而在立体几何中一般提到的两条直线可以理解为它们不重合.

3.相交两直线的夹角和两直线间的到角是两个不同的概念：夹角特指相交两直线所成的较小角，范围是(0,]，而其到角是带有方向的角，范围是(0,).相应的公式是：夹角公

2式tan|k1k2ABA2B1kkABA2B1.注：点||12|，直线l1到l2角公式tan21121k1k2A1A2B1B21k1k2A1A2B1B2到直线的距离公式d|Ax0By0C|.

A2B2特别：l1l2k1k21(k1、k2都存在时)A1A2B1B20；

l1//l2k1k2ABA2B1；

(k1、k2都存在时)12b1b2AC12A2C1BABbk=bk(k、k都存在时)AACAC或BCBC12121211221221122l1、l2重合.

14.线性规划中几个概念：约束条件、可行解、可行域、目标函数、最优解. 5.圆的方程：最简方程xyR； 标准方程(xa)(yb)R；

一般式方程xyDxEyF0(D2E24F0)； 参数方程

22222222Rcos(xyRsin为参数)；

直径式方程(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.

注意：(1)在圆的一般式方程中，圆心坐标和半径分别是

(D,E),R1D2E24F. 222 (2)圆的参数方程为“三角换元”提供了样板，常用三角换元有：

x2y21xcos,ysin，

x2y22x2cos,y2sin，

x2y21xrcos,yrsin(0r1)，

x2y22xrcos,yrsin(0r2).

6.解决直线与圆的关系问题有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解，重要的是发挥“圆的平面几何性质(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)的作用!”

(1)过圆x2y2R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：xx0yy0R2， 过圆(xa)2(yb)2R2上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：

(xa)(x0a)(ya)(y0a)R2，

过圆x2y2DxEyF0(D2E24F0)上一点P(x0,y0)圆的切线方程是：

xx0yy0D(xx0)E(yy0)F0.

22如果点P(x0,y0)在圆外，那么上述直线方程表示过点P两切线上两切点的“切点弦”方程.

如果点P(x0,y0)在圆内，那么上述直线方程表示与圆相离且垂直于O1P(O1为圆心)的直

2线方程，|O1P|dR(d为圆心O1到直线的距离).

7.曲线C1:f(x,y)0与C2:g(x,y)0的交点坐标方程组

0gf((xx,,yy))0的解；

过两圆C1:f(x,y)0、C2:g(x,y)0交点的圆(公共弦)系为f(x,y)g(x,y)0，当且仅当无平方项时，f(x,y)g(x,y)0为两圆公共弦所在直线方程.

七、 圆锥曲线

基础知识

xacosx2y21.椭圆221(ab0)的参数方程是.

abybsinx2y22.椭圆221(ab0)焦半径公式

aba2a2PF1e(x)，PF2e(x).

cc3．椭圆的的内外部

x2y2（1）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的内部abx2y2（2）点P(x0,y0)在椭圆221(ab0)的外部ab4. 椭圆的切线方程

22x0y01. a2b222x0y021. 2abx2y2xxyy(1)椭圆221(ab0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

ababx2y2 （2）过椭圆221(ab0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y21. a2bx2y2 （3）椭圆221(ab0)与直线AxByC0相切的条件是

abA2a2B2b2c2.

x2y25.双曲线221(a0,b0)的焦半径公式

aba2a2PF1|e(x)|，PF2|e(x)|.

cc

6.双曲线的内外部

x2y2(1)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的内部abx2y2(2)点P(x0,y0)在双曲线221(a0,b0)的外部ab

7.双曲线的方程与渐近线方程的关系

22x0y01. a2b222x0y021. 2abx2y2x2y2b(1）若双曲线方程为221渐近线方程：220yx.

ababa22xyxyb (2)若渐近线方程为yx0双曲线可设为22.

ababax2y2x2y2(3)若双曲线与221有公共渐近线，可设为22（0，焦点在x

abab轴上，0，焦点在y轴上）.

8. 双曲线的切线方程

x2y2xxyy (1)双曲线221(a0,b0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是02021.

ababx2y2 （2）过双曲线221(a0,b0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

abx0xy0y21. 2abx2y2 （3）双曲线221(a0,b0)与直线AxByC0相切的条件是

abA2a2B2b2c2.

9. 抛物线y2px的焦半径公式 抛物线y2px(p0)焦半径CFx0过焦点弦长CDx1

22p. 2ppx2x1x2p. 222y2210.抛物线y2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt,2pt)或 P(x,y)，其中

2py22px.

b24acb2)11.二次函数yaxbxca(x(a0)的图象是抛物线：（1）顶2a4ab4acb2b4acb21,)；（2）焦点的坐标为(,)；（3）准线方程是点坐标为(2a4a2a4a4acb21y.

4a2

12.抛物线的内外部

2(1)点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0). 2点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0).

22(2)点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的内部y2px(p0). 点P(x0,y0)在抛物线y2px(p0)的外部y2px(p0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0). 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0). (4) 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的内部x2py(p0). 点P(x0,y0)在抛物线x2py(p0)的外部x2py(p0).

13. 抛物线的切线方程

2(1)抛物线y2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0yp(xx0).

2 （2）过抛物线y2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0yp(xx0).

222222222222 （3）抛物线y2px(p0)与直线AxByC0相切的条件是pB2AC.

14.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f1(x,y)0,f2(x,y)0的交点的曲线系方程是

22f1(x,y)f2(x,y)0(为参数).

x2y221,其中kmax{a2,b2}.当(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程2akbk222kmin{a,b}时,表示椭圆; 当min{a,b2}kmax{a2,b2}时,表示双曲线.

15.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB(x1x2)2(y1y2)2或

AB(1k2)(x2x1)2|x1x2|1tan2|y1y2|1cot2（弦端点

ykxb2A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程 消去y得到axbxc0，0,为直线

F(x,y)0AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

16.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0.

（2）曲线F(x,y)0关于直线AxByC0成轴对称的曲线是

F(x2A(AxByC)2B(AxByC),y)0.

A2B2A2B2222

17.“四线”方程

2对于一般的二次曲线AxBxyCyDxEyF0，用x0x代x，用y0y代y，

用

x0yxy0xxyy代xy，用0代x，用0代y即得方程 222xyxy0xxyyAx0xB0Cy0yD0E0F0，曲线的切线，切点弦，中点

222弦，弦中点方程均是此方程得到.

常用结论

1.圆锥曲线的两个定义，及其“括号”内的限制条件，在圆锥曲线问题中，如果涉及到

其两焦点(两相异定点)，那么将优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其焦点、准线(一定点和不过该点的一定直线)或离心率，那么将优先选用圆锥曲线第二定义；涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用.

(1)注意：①圆锥曲线第一定义与配方法的综合运用；②圆锥曲线第二定义是：“点点距为分子、点线距为分母”，椭圆点点距除以点线距商是小于1的正数，双曲线点点距除以点线距商是大于1的正数，抛物线点点距除以点线距商是等于1.③圆锥曲线的焦半径公式如下图：

aexaex

aex(aex)(aex)aex

xp2

e21.重视“特征

2.圆锥曲线的几何性质：圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、

2圆锥曲线的变化趋势.其中ec，椭圆中b1e、双曲线中baaa直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其‘顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质’”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点.注意：等轴双曲线的意义和性质.

2dbcdbc2抛物线p2ba22pp双曲线椭圆p2ba2

3.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解. 特别是：

①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“判别式≥0”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“判别式≥0”.

②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理. 

③在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜

率”、“中点弦”问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式 (|AB|(x1x2)2(y1y2)2，|AB|1k2|x2x2|1k2x|a|,

|AB|1y11|yy|)或“小小直角三角形”. 11222kk|a|④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.

4.要重视常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、

交轨法、向量法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质(定义法、几何法、代数法、方程函数思想、数形结合思想、分类讨论思想和等价转化思想等)，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.

注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.

②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.

③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.

八、 直线、平面、简单多面体

基础知识

1．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定三角形中位线；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.

2．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.

3．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.

4．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

5．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.

7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

8.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

9共线向量定理

对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．

P、A、B三点共线AP||ABAPtABOP(1t)OAtOB.

AB||CDAB、CD共线且AB、CD不共线ABtCD且AB、CD不共线.

10.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的存在实数对x,y,使paxby． 推论 空间一点P位于平面MAB内的存在有序实数对x,y,使MPxMAyMB， 或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OPOMxMAyMB.

11.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC（xyzk），则当k1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k1时，若O平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．

A、B、 C、D 四点共面AD与AB、AC共面ADxAByAC

OD(1xy)OAxOByOC（O平面ABC）.

12.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使OPxOAyOBzOC.

13.射影公式

已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A，作B点在l上的射影B，则

''A'B'|AB|cos〈a，e〉=a·e

14.向量的直角坐标运算

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则 (1)a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)； (2)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)； (3)λa＝(a1,a2,a3) (λ∈R)； (4)a·b＝a1b1a2b2a3b3；

15.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

ABOBOA= (x2x1,y2y1,z2z1).

16．空间的线线平行或垂直

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

x1x2abab(b0)y1y2；

zz21abab0x1x2y1y2z1z20.

17.夹角公式

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则 cos〈a，b〉=a1b1a2b2a3b3aaa212223bbb212223.

2222222推论 (a1b1a2b2a3b3)(a1a2a3)(b1b2b3)，此即三维柯西不等式.

18. 四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中, AC与BD所成的角为,则

|(AB2CD2)(BC2DA2)|cos.

2ACBD

19．异面直线所成角

cos|cosa,b|

=

|ab||a||b||x1x2y1y2z1z2|xyzx2y2z2212121222

b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）（其中（090）为异面直线a,

20.直线AB与平面所成角

arcsin

ABm(m为平面的法向量).

|AB||m|21.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A、B为ABC的两个内角，则

sin21sin22(sin2Asin2B)sin2.

特别地,当ACB90时,有

sin21sin22sin2.

22.若ABC所在平面若与过若AB的平面成的角,另两边AC,BC与平面成的角分别是1、2,A、B为ABO的两个内角，则

''tan21tan22(sin2A'sin2B')tan2.

特别地,当AOB90时,有

sin21sin22sin2.

23.二面角l的平面角

arccosmnmn或arccos（m，n为平面，的法向量）.

|m||n||m||n|

24.三面角公式

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则coscos1cos2.

 25. 三射线定理

若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面

2222角的棱所成的角是θ，则有sinsinsin1sin22sin1sin2cos ;

|12|180(12)(当且仅当90时等号成立).

26.空间两点间的距离公式

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.

27.点Q到直线l距离

h1(|a||b|)2(ab)2(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量|a|b=PQ).

28.异面直线间的距离

d|CDn|(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为|n|l1,l2间的距离).

29.点B到平面的距离

d|ABn|（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）. |n|

30.异面直线上两点距离公式

dh2m2n22mncos.

dh2m2n22mncosEA',AF. dh2m2n22mncos（EAA'F）.

(两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA'的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，AEm,AFn,EFd).

31.三个向量和的平方公式

(abc)2abc2ab2bc2ca

222222'abc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc,a

32. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3,则有

l2l12l22l32cos21cos22cos231sin21sin22sin232.

（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

33. 面积射影定理

S'S.

cos(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为).

34. 斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面积分别是c1和S1,则

①S斜棱柱侧c1l. ②V斜棱柱S1l.

35．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.

36．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

37.欧拉定理(欧拉公式)

VFE2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：E'1nF； 21mV. 2（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E

38.球的半径是R，则

43R, 32其表面积S4R．

其体积V

39.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为a的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积

66a,外接球的半径为a. 1241V柱体Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

31V锥体Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

3

常用结论

1.计算异面直线所成角的关键是平移（补形）转化为两直线的夹角，或建立空间坐标系转化为空间向量的夹角计算

(|a|(a)2x2y2z2、ab(x1x2,y1y2,z1z2)、

abx1x2y1y2z1z2、a(x1,y1,z1)(R)、 a//b(b0)x1x2,y1y2,z1z2,(R), abx1x2y1y2z1z20.

特别：A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2),

则ABOBOA(x2,y2,z2)- (x1,y1,z1)=(x2x1,y2y1,z2z1). cosa,bx1x2y1y2z1z2xyz212121xyz222222 ，

|AB|(AB)2(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

2.计算直线与平面所成的角关键是作面的垂线找射影，或向量法(直线上向量与平面法向量夹角的余角)，三余弦公式(最小角定理，coscos1cos2)，或先运用等积法求点到直线的距离，后虚拟直角三角形求解.注：一斜线与平面上以斜足为顶点的角的两边所成角相等斜线在平面上射影为角的平分线.

3.计算二面角的大小主要有：定义法(先作其平面角后计算大小)、公式法(cosS影)、S原向量法(两平面法向量的夹角)、等价转换法等等.二面角平面角的主要作法有：定义法(取点、作垂、构角)、三垂线法(两垂一连，关键是第一垂(过二面角一个面内一点，作另一个面的垂线))、垂面法.

4.计算空间距离的主要方法有：定义法(先作垂线段后计算)、等积法、转换法(平行换点、换面)等.

5.空间平行垂直关系的证明，主要依据相关定义、公理、定理和空间向量进行，模式是：

线线关系

线面关系

面面关系，请重视线面平行关系、线面垂直关系(三垂线定理

及其逆定理)的桥梁作用.注意：书写证明过程需规范.

特别声明：①证明计算过程中，若有“中点”等特殊点线，则常借助于“中位线、重

心”等知识转化.

②在证明计算过程中常将运用转化思想，将具体问题转化 (构造) 为特殊几何体(如三棱锥、正方体、长方体、三棱柱、四棱柱等)中问题，并获得去解决.

③如果根据已知条件，在几何体中有“三条直线两两垂直”，那么往往以此为基础，建立空间直角坐标系，并运用空间向量解决问题.

6.直棱柱、正棱柱、平行六面体、长方体、正方体、正四面体、棱锥、正棱锥关于侧棱、侧面、对角面、平行于底的截面的几何体性质.

如长方体中：对角线长la2b2c2，棱长总和为4(abc)，全(表)面积为

2(abbcca)，(结合(abc)2a2b2c22ab2bc2ca可得关于他们的等量

关系，结合基本不等式还可建立关于他们的不等关系式)，cos2cos2cos22(1)； 如三棱锥中：侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底上射影为底面外心，侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底上射影为底面垂心，斜高长相等(侧面与底面所成相等)且顶点在底上在底面内顶点在底上射影为底面内心.

如正四面体和正方体中：

6a3arccos13arccos33V2a3123a3aa63

7.求几何体体积的常规方法是：公式法、割补法、等积(转换)法、比例(性质转换)法等.

注意：补形：三棱锥三棱柱平行六面体 分割：三棱柱中三棱锥、四三棱锥、三棱柱的体积关系是 .

8.多面体是由若干个多边形围成的几何体．棱柱和棱锥是特殊的多面体．

正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种， 即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体． 关于多面体的概念间有如下关系：

 {多面体}  {简单多面体}  {凸多面体}  {正多面体}；

 {凸多面体} {棱柱} {直棱柱} {正棱柱}  {正方体}；

 {凸多面体}  {棱锥}  {正棱锥}  {正四面体}．

欧拉公式(V＋F一E＝2)是简单多面体的重要性质，在运用过程中应重视“各面的边数总和等于各顶点出发的棱数总和、等于多面体棱数的两倍”．“简单多面体各面的内角总和

是(V-2)×3600”.

过一个顶点有n条棱，每个面是m边形的一般方法是什么？

10．球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长．注：“经度是‘小小半径所成角’，纬度是‘大小半径的夹角’”.

43都是球半径及的函数．解决球的相关问题务必注意球的几何性质(尤其是“球的半径、球心截面距、小圆半径构成直角三角形”；球与多面体相切或相接时，组合体的特殊关联关系).

球体积公式VR3，球表面积公式S4R2，是两个关于球的几何度量公式．它们

九、 排列、组合和概率

基础知识

1.分类计数原理（加法原理） Nm1m2mn.

2.分步计数原理（乘法原理） Nm1m2mn.

3.排列数公式

Anm=n(n1)(nm1)=

注:规定0!1.

4.排列恒等式

mm1(1）An(nm1)An;

n！*

.(n，m∈N，且mn)．

(nm)！nmAn1; nmmm1（3）AnnAn1;

（2）Anmnn1n（4）nAnAn1An;

mmm1（5）An1AnmAn.

(6) 1!22!33!

5.组合数公式

mnnn!(n1)!1.

n！Anmn(n1)(nm1)*

C=m==(n∈N，mN，且mn).

m！(nm)！12mAm

6.组合数的两个性质 (1)Cn=Cnmmnm ; =Cn1.

m(2) Cn+Cnm10注:规定Cn1.

7.组合恒等式

nm1m1Cn; mnmm（2）CnCn1;

nmnm1m（3）CnCn1;

m（1）Cnm （4）

Cr0rrnrn=2n;

rrrr1（5）CCr1Cr2CnCn1. 012rnn(6)CnCnCnCnCn2. 135024n1(7)CnCnCnCnCnCn2. 123nn1 (8)Cn2Cn3CnnCnn2. r0r110rrr(9)CmCnCmCnCmCnCmn. 021222n2n(10)(Cn)(Cn)(Cn)(Cn)C2n.

8.排列数与组合数的关系

mmAnm！Cn .

9．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”

mm1m1①某（特）元必在某位有An1种；②某（特）元不在某位有AnAn1（补集思想）1m1m1m1An1An1（着眼位置）An1Am1An1（着眼元素）种.

（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

①定位紧贴：k(kmn)个元在固定位的排列有AkAnk种.

②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有Ank1Ak种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（kh1），把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有排列数有AhAh1种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？

nAmn1当nm1时，无解；当nm1时，有nCm1种排法.

Anhknk1kkmk（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cmn.

10．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有NCmnCmnnCmn2nC2nCnnnnnnn(mn)!. (n!)m（2）(平均分组无归属问题)将相异的m·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有

nnnnnCmnCmn(mn)!nCmn2n...C2nCnN.

m!m!(n!)m（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分给m个人，物件

必须被分完，分别得到n1，n2，…，nm件，且n1，n2，…，nm这m个数彼此不相等，则

nmn1n2其分配方法数共有NCpCpn1...Cnmm!p!m!.

n1!n2!...nm!（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+nmn1n2CpCpn1...Cnmm!+nm)个物体分给m个人，

物件必须被分完，分别得到n1，n2，…，nm件，且n1，n2，…，nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等，则其分配方法数有Na!b!c!...（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+p!m!.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)+nm)个物体分为任意的n1，

n2，…，nm件无记号的m堆，且n1，n2，…，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数

p!有N.

n1!n2!...nm!（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2++nm)个物体分为任意的n1，

n2，…，nm件无记号的m堆，且n1，n2，…，nm这m个数中分别有a、b、c、…个相等，

p!则其分配方法数有N.

n1!n2!...nm!(a!b!c!...)（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（pn1+n2++nm）个物体分给甲、乙、丙，……

等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，…时，则无论n1，

n2，…，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

nmn1n2NCpCpn1...Cnmp!.

n1!n2!...nm!

11．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

1111(1)n]. 2!3!4!n!推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为 f(n)n![1234f(n,m)n!Cm(n1)!Cm(n2)!Cm(n3)!Cm(n4)!(1)C(np)!ppm(1)C(nm)!pCm(1)pAnpmmm

1234CmCmCmCmn![11224AnAnAnAnmCm(1)m].

Anm

12．不定方程x1+x2+(1)方程x1+x2+(2) 方程x1+x2+(3) 方程x1+x2+n1+xnm的解的个数

n1+xnm（n,mN）的正整数解有Cm个. 11+xnm（n,mN）的非负整数解有 Cnn个. m1+xnm（n,mN）满足条件xik(kN,2in1)+xnm（n,mN）满足条件xik(kN,2in1)

2n1(1)n2CnnCm1(n2)k个. 2的非负整数解有Cm1(n2)(k1)个.

(4) 方程x1+x2+

13.二项式定理

0n1n12n22rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnabCnb ;

n11n12n1的正整数解有CnCCCCm1n2mnk2n2mn2k3二项展开式的通项公式

rnrrTr1Cnab(r0，1，2，n).

14.等可能性事件的概率

P(A)m. n15.互斥事件A，B分别发生的概率的和 P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋…＋An)=P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． 165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A1· A2·…· An)=P(A1)· P(A2)·…· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

kkPn(k)CnP(1P)nk.

常用结论

1.排列数An、组合数Cn中nm,n1,m0,n、mN. (1)排列数公式

mmmAnn(n1)(n2)(nm1)n!n(mn)；Ann!n(n1)(n2)(nm)!21.

(2)组合数公式

mAnn(n1)(nm1)n!mmCm(mn)；Anm！Cn.

m(m1)21m!nm!Ammn(3)组合数性质：

m1nmkk1Cnm1CnmCnmCn(mn),Cn1(mn),kCnnCn1, 1CrrCrr1Crr2CnrCnr1.

2.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合．

3.解排列组合问题的规律是(优限法和间接法)：相邻问题捆绑法；不邻(相间)问题插空法；多排问题单排法；定位问题优先法；多元问题分类法；有序问题用除法(组合法)；选取问题先选后排法；至多至少问题间接法，特别地还有隔板法(什么时候用？)、字典法、构造法等.

n0n1n14.(1)二项式定理：(ab)CnaCnabrnrrCnabnnCnb，其中各系数

就是组合数Cn，它叫做第r+1项的二项式系数；展开式共有n+1项，其中第r+l项

rnrrTr1Cnab.某项“加数b”的指数该项的“项数减去1的差”，也可看成组合数的

r上标.

(2)二项式展开式中二项式系数(组合数)的性质：对称性、等距性、单调最值性和

01CnCnrCnnCn2n.

（3）应用“赋值法”同样可得相关性质或寻求二项式展开式中“奇次(数)项”“偶次(数)

024项”的系数和.如CnCnCn135CnCnCn2n1，奇(偶)次项系数和

1[f(1)f(1)](1[f(1)f(1)]).

22注意：二项式展开式中区分“二项式系数、项的系数”，寻求其中项的系数的最大值是将相邻两项的系数构建不等式进行.

二项式的应用主要是进行应用其前几项近似计算、整除性计算或证明、应用其首尾几项进行放缩.

5.概率的计算公式：

mcard(A)(1)等可能事件的概率计算公式：p(A)；

ncard(I)(2)互斥事件的概率计算公式：P(A+B)＝P(A)+P(B)； (3)对立事件的概率计算公式是：P(A)=1－P(A)；

(4)独立事件同时发生的概率计算公式是：P(A•B)＝P(A)•P(B)； (5)独立事件重复试验的概率计算公式是：

kkPn(k)CnP(1P)nk(是二项展开式[(1－P)+P]n的第(k+1)项).

注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件.

十一.统 计 基础考点

1.离散型随机变量的分布列的两个性质

); （1）Pi0(i1,2,（2）P1P2

2.数学期望

1.

Ex1P1x2P2xnPn

3.数学期望的性质

（1）E(ab)aE()b. （2）若～B(n,p),则Enp.

(3) 若服从几何分布,且P(k)g(k,p)q

4.方差

k1p，则E1. pDx1Ep1x2Ep2 5.标准差

22xnEpn2

=D.

6.方差的性质

(1)DabaD；

2(2）若～B(n,p)，则Dnp(1p).

(3) 若服从几何分布,且P(k)g(k,p)qk1p，则Dq. 2p7.方差与期望的关系

DE2E.

 8.正态分布密度函数

2fx1e262x262,x,，式中的实数μ，（>0）是参数，分别表

示个体的平均数与标准差.

 9.标准正态分布密度函数

1e,x,. 26210.对于N(,)，取值小于x的概率

xFx.

Px1x0x2Pxx2Pxx1 fxx22Fx2Fx1

xx12.



 11.回归直线方程

nnxixyiyxiyinxybi1ni1n2. yabx，其中xxxi2nx2ii1i1aybx 12.相关系数

rxxyyiii1n(xx)(yy)2iii1i1nn 2xxyyiii1n(xi2nx2)(yi2ny2)i1i1nn. |r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小.

常用结论

1.抽样方法：(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个个体被抽到的概率都相等（n）

N2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率. 3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差).公式如下：

1n1n1n21n22xxi,S(xix)(xi)(xi)2,SS2(标准方差)

ni1ni1ni1ni1''222样本数据做如下变换xiaxib，则xaxb，(S)aS.

总体估计还要掌握：(1)一“表”(频率分布表)一“图”(频率分布直方图).

注意：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商 (而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率.

十二.导 数 与 极 限 基础考点

1.特殊数列的极限

0n（1）limq1n不存在|q|1q1|q|1或q1.

0(kt)aknkak1nk1a0at（2）lim(kt).

nbntbnt1bbtt10k不存在 (kt)（3）Slimna11qn1qa1n1（S无穷等比数列a1q (|q|1)的和）. 1q

2. 函数的极限定理

xx0limf(x)alimf(x)limf(x)a.

xx0xx0

3.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）g(x)f(x)h(x);

（2）limg(x)a,limh(x)a（常数）,

xx0xx0则limf(x)a.

xx0本定理对于单侧极限和x的情况仍然成立.

4.几个常用极限

1； 0，liman0（|a|1）

nnn11（2）limxx0，lim.

xx0xxx0x0（1）lim

5.两个重要的极限 （1）limsinx1；

x0xx1（2）lim1e(e=2.718281845…).

xx

6.函数极限的四则运算法则

若limf(x)a，limg(x)b，则

xx0xx0(1)limfxgxab；

xx0(2)limfxgxab;

xx0fxa(3)limb0. xx0gxb

7.数列极限的四则运算法则 若limana,limbnb，则

nn(1)limanbnab；

n(2)limanbnab；

n(3)limanab0

nbbnnnn(4)limcanlimclimanca( c是常数).

8.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）

f(x0)y

9.瞬时速度

xx0limf(x0x)f(x0)y. limx0xx0xs(t)limss(tt)s(t). limt0tt0t

10.瞬时加速度

av(t)limvv(tt)v(t). limt0tt0t

11.f(x)在(a,b)的导数

f(x)ydydfyf(xx)f(x). limlimx0x0dxdxxx

12. 函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率

f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).

13.几种常见函数的导数 (1) C0（C为常数）.

'n1(2) (xn)nx(nQ).

(3) (sinx)cosx. (4) (cosx)sinx. (5) (lnx)11ex；(loga)loga. xxxxxx(6) (e)e; (a)alna.

14.导数的运算法则 （1）(uv)uv. （2）(uv)uvuv.

''''''u'u'vuv'(v0). （3）()vv2

15.复合函数的求导法则

''设函数u(x)在点x处有导数ux(x)，函数yf(u)在点x处的对应点U处有'''''导数yuf(u)，则复合函数yf((x))在点x处有导数，且yxyuux，或写作

fx'((x))f'(u)'(x).

16.常用的近似计算公式（当x充小时）

1n1x;1x1x； 2n1(2)(1x)1x(R)； 1x；

1xx(3)e1x； (4)ln(1x)x；

(5)sinxx（x为弧度）； (6)tanxx（x为弧度）； (7)arctanxx（x为弧度）

196.判别f(x0)是极大（小）值的方法

(1)1x1当函数f(x)在点x0处连续时，

（1）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极小值.

常用结论

1.导数的意义：曲线在该点处的切线的斜率(几何意义)、瞬时速度、边际成本(成本为因变量、产量为自变量的函数的导数).(xn)nxn1，(C)0(C为常数)，

[f(x)g(x)]f(x)g(x)，[Cf(x)]Cf(x).

2.多项式函数的导数与函数的单调性：

在一个区间上f(x)0(个别点取等号)f(x)在此区间上为增函数. 在一个区间上f(x)0(个别点取等号)f(x)在此区间上为减函数. 3.导数与极值、导数与最值：

(1)函数f(x)在x0处有f(x0)0且“左正右负”f(x)在x0处取极大值； 函数f(x)在x0处有f(x0)0且“左负右正”f(x)在x0处取极小值. 注意：①在x0处有f(x0)0是函数f(x)在x0处取极值的必要非充分条件.

②求函数极值的方法：先找定义域，再求导，找出定义域的分界点，列表求出极值. 特别是给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f(x0)0，又要考虑验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记.

③单调性与最值（极值）的研究要注意列表！

(2)函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；

函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最

小值”；

注意：利用导数求最值的步骤：先找定义域 再求出导数为0及导数不存在的的点，然后比较定义域的端点值和导数为0的点对应函数值的大小，其中最大的就是最大值，最小就为最小值.

4.应用导数求曲线的切线方程，要以“切点坐标”为桥梁，注意题目中是“处”还是“过”，对“二次抛物线”过抛物线上一点的切线抛物线上该点处的切线，但对“三次曲线”过其上一点的切线包含两条，其中一条是该点处的切线，另一条是与曲线相交于该点.

5.微积分的创始人是牛顿、莱布尼兹.

6.注意应用函数的导数，考察函数单调性、最值(极值)，研究函数的性态，数形结合解决方程不等式等相关问题.

y

f(x)

x 2134 1O

十三：复数

1.复数的相等

abicdiac,bd.（a,b,c,dR） 2.复数zabi的模（或绝对值）

|z|=|abi|=a2b2. 3.复数的四则运算法则

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i; (3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i; (4)(abi)(cdi)acbdbcadi(cdi0).

c2d2c2d2

4.复数的乘法的运算律 对于任何z1,z2,z3C，有 交换律:z1z2z2z1.

结合律:(z1z2)z3z1(z2z3). 分配律:z1(z2z3)z1z2z1z3 . 5.复平面上的两点间的距离公式

d|z1z2|(x2x1)2(y2y1)2（z1x1y1i，z2x2y2i）.

6.复平面向量的垂直

非零复数z1abi，z2cdi对应的向量分别是OZ1，OZ2，则

OZ1OZ2z1z2的实部为零z2222为纯虚数|z1z2||z1||z2| z1|z1z2|2|z1|2|z2|2|z1z2||z1z2|acbd0z1iz2 (λ为非

零实数).

7.实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程axbxc0，

2bb24ac①若b4ac0,则x1,2; 2ab2②若b4ac0,则x1x2;

2a2③若b4ac0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭

2b(b24ac)i2复数根x(b4ac0).

2a十四：