高中数学基础知识汇编

ABAABBABCUBCUAACUBCUABR

nnn3. 若Ａ={a1,a2,a3an},则Ａ的子集有2个,真子集有(2－1)个,非空真子集有(2－2)个 4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式

f(x)a(xh)2k(a0);③零点式

三次函数的解析式的三种形式①一般式

f(x)a2xbx(ca0;)② 顶点式

f(x)a(xx1)(xx2)(a0).

f(x)ax3bx2cxd(a0)

②零点式f(x)a(xx1)(xx2)(xx3)(a0) 5.函数yf(x)的图象的对称性:

①函数yf(x)的图象关于直线xa对称f(ax)f(ax)f(2ax)f(x)

ab②函数yf(x)的图象关于直x对称f(ax)f(bx)f(abx)f(x).

2③函数yf(x)的图象关于点(a,0)对称f(x)f(2ax) 函数yf(x)的图象关于点(a,b)对称f(x)2bf(2ax)

6.两个函数图象的对称性:

yf(x)与函数yf(x)的图象关于直线x0(即y轴)对称.

特殊地: yf(xa)与函数yf(ax)的图象关于直线xa对称 ③函数yf(x)的图象关于直线xa对称的解析式为yf(2ax) ④函数yf(x)的图象关于点(a,0)对称的解析式为yf(2ax)

①函数⑤函数

yf(x)和yf1(x)的图象关于直线y=x对称.

mn7.分数指数幂 anam（a0,m,nN，且n1）.

amn1mn（a0,m,nN，且n1）.

.

ab8.logaNbaN(a0,a1,N0)logaMlogaNlogaMN(a0.a1,M0,N0)

MlogaMlogaNloga(a0.a1,M0,N0)

NnlogmNnlogab9.对数的换底公式 logaN.推论 logambmlogma（a0,a1）

.对数恒等式

aNalogNn1s1,10.an( 数列{an}的前n项的和为sna1a2an).

ss,n2nn1*11.等差数列an的通项公式ana1(n1)ddna1d(nN)； 12.等差数列an的变通项公式anam(nm)d

对于等差数列an，若nmpq，(m,n,p,q为正整数)则anamapaq。

13.若数列

an是等差数列，Sn是其前n项的和，kN*，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等差数

n(a1an)n(n1)d1na1dn2(a1d)n.

2222214.数列an是等差数列anknb,数列an是等差数列Sn=AnBn

列。其前n项和公式 sn15．设数列

an是等差数列，S奇是奇数项的和，S偶是偶数项项的和，Sn是前n项的和，则有如下性质：

1前n项的和Sn○2当n为偶数时，S偶S奇d，其中d为公差； S奇S偶、○

n23当n为奇数时，则S奇S偶a中，S奇○

S奇n1n1n1，a中，S偶a中，

S偶n122SS偶Sn奇n（其中a中是等差数列的中间一项）。

S奇S偶S奇S偶16．若等差数列

an的前2n1项的和为S2n1，等差数列bn的前2n1项的和为S2'n1，则

anS2n1'。 bnS2n117.等比数列

an的通项公式ana1qn1a1qn(nN*)；等比数列an的变通项公式

qa1(1qn)a1anq,q1,q1或sn1q. anamqnm其前n项的和公式sn1qna,q1na,q11118. 对于等比数列

也就是：a1ana2an1a3an2。

an，若nmuv(n,m,u,v为正整数)，则anamauav

*19. 数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，kN，那么Sk，S2kSk，S3kS2k成等比数列。 20. 同角三角函数的基本关系式 sin2cos21，tan=

sincos，tancot1.

cos()cos,sin()sin21. 正弦、余弦的诱导公式，即:奇变偶不变,符号看象限,如22sin()sin,cos()cos22. 和角与差角公式



sin()sincoscossin; cos()coscossinsin;

tantantan().

1tantanasinbcos=a2b2sin()(辅助角23. 二倍角公式 sin2所在象限由点(a,b)的象限决定,tanb ). asincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.（升幂公式）

1cos21cos2cos2,sin2（降幂公式）

222tantan2. 21tan2tan1tan224.万能公式:sin2, cos2

1tan21tan225. 三函数的周期公式 函数

yAsin(x)，x∈R及函数yAcos(x)，x∈R(A,ω,22周期T；若ω未说明大于0,则T

||ytan(x)，xk为常数，且A≠0，ω＞0)的

函数

2,kZ(A,ω,为常数，且A≠0，ω＞0)的周期T.

ysinx的单调递增区间为2k,2kkZ单调递减区间为

223，对称轴为xk(kZ),对称中心为k,0(kZ) 2k,2kkZ22227. ycosx的单调递增区间为2k,2kkZ单调递减区间为2k,2kkZ，

26.

k(kZ),对称中心为k,0(kZ)

2k28. ytanx的单调递增区间为k,kkZ，对称中心为(,0)(kZ)

222abc2R 29. 正弦定理

sinAsinBsinC22222222230. 余弦定理abc2bccosA;bca2cacosB; cab2abcosC.

11131.面积定理（1）Sahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.

222111（2）SabsinCbcsinAcasinB.

222对称轴为x32.三角形内角和定理 在△ABC中，有

ABCC(AB)33.平面两点间的距离公式

CAB2C22(AB). 222(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

dA,B=|AB|ABAB(x2x1)2(y2y1)234.向量的平行与垂直 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，则 a∥bb=λa x1y2x2y10.

ab(a0)a·b=0x1x2y1y20. 35.线段的定比分公式 设P12的分点,是实数，且1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)是线段PPPP1PP2，则

x1x2x1OP11OP2t（）. OPOPtOP(1t)OP12yy112y1136.若OAxOByOB则A,B,C共线的充要条件是x+y=1

37. 三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),则△ABC

x1x2x3y1y2y3,). 的重心的坐标是G(33'''xxhxxh'38.点的平移公式 OPOPPP (图形F上的任意一点P(x，y)在

''yykyyk'''''平移后图形F上的对应点为P(x,y)，且PP的坐标为(h,k)).

39.常用不等式： （1）a,bR（2）a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

且仅当a＝b时取“=”号)．（3）

abab(当2a3b3c33abc(a0,b0,c0).（4）

ababab注意等号成立的条件

aba2b2(5)ab(a0,b0)

1122ab40.最值定理 已知x,y都是正数，则有

1（1）如果积xy是定值

p，那么当xy时和xy有最小值2p；（2）如果和xy是定值s，那么

12当xy时积xy有最大值s.

4241.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有

xax2aaxa.xax2a2xa或xa.

42.斜率公式

ky2y1x2x1（

P1(x1,y1)、P2(x2,y2)）直线的方向向量

v=(a,b),则直线的斜率为

bk=(a0)

a43.直线方程的五种形式:

yy1k(xx1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)．

（2）斜截式 ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

yy1xx1（3）两点式 (y1y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1x2)).

y2y1x2x1xy1(a,b分别为x轴y轴上的截距,且a0,b0) （4）截距式ab（5）一般式 AxByC0(其中A、B不同时为0).

44.两条直线的平行和垂直 （1）若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2

（1）点斜式

l1l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21. (2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,

①①l；②llAABB0； l2A1B2A2B10且AC12A2C10121212kk145.夹角公式 tan|2|.(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k21)

1k2k1ABA2B1(l1:A). tan121xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20A1A2B1B2直线l1l2时，直线l1与l2的夹角是.

2kk1直线l1到l2的角是tan2(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,kk1)

121k2k1|Ax0By0C|46.点到直线的距离 d(点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

22AB147．两条平行线的间距离

d|C2C1|AB22(直线l1：AxByC10,l2AxByC20,C1C2)).

248. 圆的四种方程

（1）圆的标准方程 (xa)（2）圆的一般方程

(yb)2r2.

x2y2DxEyF0(

D2E24F＞0).（3）圆的参数方程

xarcos. ybrsin（4）圆的直径式方程

(xx0圆的直径的端点是A(x1,y1)、1)(xx2)(yy1)(yy2)(

B(x2,y2)).

49.圆中有关重要结论: (1)若P(x0,(2)若P(

y0)是圆x2y2r2上的点,则过点P(x0,y0)的切线方程为xx0yy0r2

,

x0y0)是圆

2上的点,则过点(xa)2(yb2)rP(

x0,

y0)的切线方程为

(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2

(3) 若P(x0,

y0)是圆x2y2r2外一点,由P(x0,y0)向圆引两条切线, 切点分别为A,B。则直线AB

的方程为xx0(4) 若P(x0,

yy0r2

y0)是圆(xa)2(yb)2r2外一点, 由P(x0,y0)向圆引两条切线, 切点分别为A,B

a)(xa)(y0b)(yb)r2 xacosx2y250.椭圆221(ab0)的参数方程是.

abybsin则直线AB的方程为(x0x2y2a2a2)，PF2e(x). 51.椭圆221(ab0)焦半径公式 PF1e(xabccx2y2a2x2y252.椭圆221(ab0)的准线方程为x,椭圆221(ab0)的准线方程为

abcbaa2y

cx2y22b253.椭圆221(ab0)的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为

abax2y254.P是椭圆221(ab0)上一点,F1,F2 是它的两个焦点,∠F1P F2=θ则△P F1 F2的面积

ab2=btan

2x2y2a255.双曲线221(a0,b0)的准线方程为x

abcx2y2a2双曲线221(a0,b0)的准线方程为y

bacbx2y256. 双曲线221(a0,b0)的渐近线方程为yx

aabax2y2双曲线221(a0,b0)的的渐近线方程为yx

bbax2y257.P是双曲线221(a0,b0)上一点,F1,F2 是它的两个焦点,∠F1P F2=θ则△P F1 F2的

ab2面积=bcot

22y258.抛物线y2px上的动点可设为P(,y)或P(2pt2,2pt)或 P(x,y)，其中 y22px.

2p59. P(x0,60. 抛物线

y0)是抛物线y22px上的一点,F是它的焦点,则|PF|=x0+y22px的焦点弦长l2psin2p 2,其中是焦点弦与x轴的夹角

或

61.直线与圆锥曲线相交的弦长公式

2AB(x1x2)2(y1y2)2AB|x1x2|1k1k2ay得到

ykxb（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程 消去

F(x,y)0ax2bxc0，0,k为直线的斜率）.若（弦端点A(x1,y1),B(x2,y2)由方程

ykxb2 消去x得到ayby0c，0,k为直线的斜率）.则F(x,y)011AB|y1y2|1212 kak62.圆锥曲线F(x,y)0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0y)0.

63.共线向量定理 对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b存在实数λ使a=λb．

64.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OPxOAyOBzOC， 则四点P、A、B、C是共面xyz1．

a1b1a2b2a3b365. 空间两个向量的夹角公式 cos〈a，b〉=

aaa(b1,b2,b3)）.

212223bbb212223（a＝(a1,a2,a3)，b＝

ABm(m为平面的法向量). 66.直线AB与平面所成角arcsin|AB||m|mnmn或arccos（m，n为平面，的法67.二面角l的平面角arccos|m||n||m||n|向量）.

68.设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为1，AB与AC所成的角为2，AO与AC所成的角为．则coscos1cos2.

69.若夹在平面角为的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1,2,与二面角的棱所成的角

sin2sin21sin222sin1sin2cos ;

|12|180(12)(当且仅当90时等号成立).

是θ，则有sin70.空间两点间的距离公式 若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

2222 dA,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1)(z2z1).

122(|a||b|)(ab)(点P在直线l上，直线l的方向向量a=PA，向量71.点Q到直线l距离h|a|b=PQ).

|CDn|(l1,l2是两异面直线，72.异面直线间的距离 d其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，|n|d为l1,l2间的距离).

|ABn|（n为平面的法向量，AB是经过面的一条斜线，A）. 73.点B到平面的距离 d|n|222222274. ll1l2l3cos1cos2cos31

（长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为1、2、3）（立

几中长方体对角线长的公式是其特例）.

S'75. 面积射影定理 Scos

'(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为). 76.球的半径是R，则其体积是V77.V锥4R3,其表面积是S4R2． 31Sh,V柱Sh, 378.分类计数原理（加法原理）Nm1m2mn.

79.分步计数原理（乘法原理）Nm1m2mn.

n！m80.排列数公式 An=n(n1)(nm1)=.(n，m∈N，且mn)．

(nm)！nmmmm1mm1An81.排列恒等式 （1）An(nm1)An;（2）AnnA1;（3）Ann1; （4）

nmnn1nmmm1. nAnAn1An;（5）An1AnmAn*

82.组合数公式 Cmn=

Anmn(n1)(nm1)n！==(n，m∈N，且mn). m12mm！(nm)！Am*

83.组合数的两个性质(1) Cn=Cn 84.组合恒等式（1）Cn（3）Cnnmmmnm ;(2) Cn+Cnmm1=Cn1

mnm1m1nmmCn;（2）CnCn1; mnmrnnm1kk1Cn1; （4） kCnnCn1 m=2;（5）Crn（5）

Cr0rrr1Crr1Crr2CnCn1. mm . Anm！Cn85.排列数与组合数的关系是：86.二项式定理 (ab)n0n1n12n22rnrrnnCnaCnabCnabCnabCnb ;

rnrr1，2，n). Cnab(r0，m87.等可能性事件的概率P(A).

n二项展开式的通项公式：Tr188.互斥事件A，B分别发生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 89.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋„＋An)=P(A1)＋P(A2)＋„＋P(An)．

90.独立事件A，B同时发生的概率P(A·B)= P(A)·P(B).

91.n个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·„· An)=P(A1)· P(A2)·„· P(An)．

(1P)nk.

93.函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).

92.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率Pn(k)CnP94.导数与函数的单调性的关系

kkf(x)0与f(x)为增函数的关系。

f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)x3在(,)上单调递增，但f(x)0，∴f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件。 ㈡f(x)0与f(x)为增函数的关系。

f(x)为增函数，一定可以推出f(x)0，但反之不一定，因为f(x)0，即为f(x)0或f(x)0。当函数在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。∴f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件。

㈠

95抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：

f(x1x2)f(x1)f(x2)正比例函数f(x)kx(k0)

x②f(x1x2)f(x1)f(x2)；f(x1x2)f(x1)f(x2)f(x)a

x1③f(x1x2)f(x1)f(x2)；f()f(x1)f(x2)f(x)logax ；

x2196.n个数据x1,x2,x3xn,则它们的平均数为x(x1x2x3xn),

n222221方差s=[(x1x)(x2x)(x3x)(xnx)]

n ①

（1）总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体.

(2) 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体. (3) 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本. (4) 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量. 二、抽样方法：

（1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等,就称这样的抽样为简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法.

(2)分层抽样：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层.

三、两种抽样方法的区别与联系：

类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随从总体中逐个总体中个体数

抽取过程中

机抽样 抽取 较少

每个个体被

各层抽样可采用总体有差异明

分层 抽取的概率将总体分成几

简单随机抽样或显的几部分组

抽样 相等 层进行抽取

系统抽样 成

四、重要结论：

个体数N的总体中抽取一个样本容量为n的样本，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，且等于

nN.