江苏省江阴市华士高级中学、成化高级中学、山观高级中学2015-2016学年高二数学下学期期中联考试题 理

数学（理科）试题

(总分160分，考试时间120分钟)

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案直接填在答题卡相应位．．．．．．置上． ．．

1.复数z(32i)i的共轭复数z等于 ▲ .

m2.已知A11111065，则m ▲ . 3.若虚数z(a1)ai（aR)的模为1，则a ▲ .

4.用数学归纳法证明“2nn21对于nn的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取 ▲ . 5.从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 ▲ 种. (用数字作答)

x3x66.若实数x满足C18，则x的取值集合为 ▲ . C187.半径为r的圆的面积S(r)r,周长C(r)2r，若将r看作(0,)上的变量,则

2(r2)2r①；对于半径为R的球，若将R看作(0,)上的变量，请你写出类似于①的

结论： ▲ .

8.甲、乙、丙、丁四人站成一排，甲不站在排尾的站法共有 ▲ 种．（用数字作答） 9.在复平面上，复数32i、45i、2i、z分别对应点A、B、C、D，且ABCD为平行四边形，则z ▲ .

10.由数字1,3,4,6,x（1x9,xN)五个数字组成没有重复数字的五位数，所有这些五位数各位数字之和为2640，则x ▲ .

11.甲、乙、丙三人要在一排9个空座上就坐，若要求甲、乙、丙三人每人的两旁都空座，则不同的坐法共有 ▲ 种. （用数字作答） 12.观察下列等式：

2①cos22cos1；

42②cos48cos8cos1；

642③cos632cos48cos18cos1；

8642④cos8128cos256cos160cos32cos1；

⑤cos10mcos101280cos81120cos6ncos4pcos21. 可以推测mnp ▲ .

13.某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员同时抢4个红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，4个红包中有两个2元，两个3元（红包中金额相同视为相同的红包），则甲乙两人都抢到红包的情况有 ▲ 种.（用数字作答）

1个黑球）14.从装有n1个球（其中n个白球，的口袋中取出m个球0mn,m,nN,

mmm有Cn可分两类：一类是取出的m个球全部为白球，有C10Cn1种取法.在这Cn1种取法中，

1m1种取法；另一类是取出1个黑球、m1个白球，有C1Cn种取法，所以有式子：m1m1mC10CnCnCnC11成立.根据上述思想方法化简下列式子： m1m1m2mk1mkCnCkCnCk2CnCkk1CnCn ▲ (1kmn,k,m,nN).

1

二、解答题（本大题共有6小题，满分90分．需写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 15. （本小题满分14分）

z已知复数zb2i(b为实数)，且是实数．

2i（1）求复数z；（2）若复数(zai)2在复平面上对应的点在第四象限，试求实数a的取值范围．

16. （本小题满分14分）

用n(nN)种不同颜色给如图的4个区域涂色,要求相邻区域不能用同一种颜色.

(1)当n6时,图(1)、图(2)各有多少种涂色方案?（要求：列式或简述理由，结果用数字作答）；

(2)若图（3）有180种涂色法，求n的值．

17. （本小题满分14分） 将5个编号为1,2,3,4，5的小球放入5个编号为1,2,3,4，5的盒子中． (1)有多少种放法？

(2)每盒至多一球，有多少种放法？ (3)恰好有一个空盒，有多少种放法？

(4)每个盒内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种方法？ (5)每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？

(6)把5个不同的小球换成5个相同的小球，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？ （注意：以上各小题要列出算式后再求值，否则扣分．）

18. （本小题满分16分） 已知实数a0,b0

1b1a,中至少有一个小于2; ab3(2)若ab2, 求证:ab8;

22(3)若ab2,求证:a(3a2b)426.

(1)若ab2, 求证:

2

19. （本小题满分16分）

a1a11a21，g(n)n1(nN). na1a2an(1)当n1,2,3时，试比较f(n)与g(n)的大小关系； (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系，并给出证明．

已知an2n,f(n)

20. （本小题满分16分）

杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家，杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律．在杨辉三角中，第

0012in0行的数1记为C0，第n行从左到右的n1个数分别记为Cn.下图,Cn,Cn,,Cn,,Cn是一个11阶杨辉三角：

（1）求第15行中从左到右的第3个数； （2）试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并 证明你的结论；

（3）在第3斜列中，前5个数依次为1,3,6,10,15；第4斜列中，第5个数为35，我们发现

136101535，事实上，一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上到左下）前k个数之和，一定等于第m1斜列中第k个数．试用含有m，k(m,kN*)的数学式子

表示上述结论，并证明．

2015-2016学年度春学期三校高二期中联考

参考答案

一、填空题（本大题共有14小题，每小题5分，共70分．） 1、23i 2、7 3、1 4、5 5、70

3

4R3)4R2 8、18 9、36i 10、8 6、3,6 7、(3m11、60 12、962 13、18 14、Cnk

二、解答题（本大题共有6小题，满分90分．）

z(b2i)(2i)2b2b4i „„„„„„3分 2i(2i)(2i)553b40 ∴b4 ∴z42i „„„„„„6分 又 ∵是实数 ∴

2i5（2）∵(zai)2(42iai)2[4(a2)i]2(a24a12)8(a2)i„10分

15、解：（1）∵

又 ∵(zai)2在第四象限

a24a120 ∴ „„„„„„12分

8(a2)0 ∴2a2 „„„„„„14分

16、解：(1) 图(1)：先选A,有6种不同的选法;再选B,不能与A的颜色相同,有5种不同的选法;第三步选C,与A，B的颜色都不能相同,有4种不同的选法;第四步D,只需与D的颜色不同即可,有5种不同的选法,共有6×5×4×5=600种不同的方案 ．„„„„3分

图(2)：先选A, 有6种不同的选法;再选B,不能与A的颜色相同,有5种不同的选法; C、A不同色，C有4种不同的选法，D有3种不同的选法，所以有6543360种； C、A同色， D有4种不同的选法，所以有654120种；

所以，共有360120480种不同的方案 „„„„„„8分

(2)前三步与图(1)的方法类似,分别有n,(n－1),(n－2)种不同的选法,最后一步D的颜色,不仅与C的颜色不同,也不能与A的颜色相同,有(n－2)种不同的选法,共有n(n－1)(n－2)(n－2)种不同的方案 ． „„„„„„10分

则n(n1)(n2)180345n5 „„„„„„14分

2（注：不把180分解成180345，直接猜出n5，扣2；此方程也可用导数（单调法）解，请类似给分）

17、解 (1)有53125 (种)放法． „„„„„„2分

5(2)有A5120 (种)放法． „„„„„„4分

2(3)先取5个球中的两个“捆”在一起，有C5种选法，再将四组小球投入五个盒子中的424A51200 (种)放法．四个盒子，有A5种投放方法，故共有C5 „„„„„„

5226分

111(4)有C5C3C230 (种)放法． „„„„„„8分

(5)满足的情形：第一类，五个球的编号与盒子编号全同的放法：1种 第二类，四个球的编号与盒子编号相同的放法：0种 第三类，三个球的编号与盒子编号相同的放法：10种

4

2第四类，二个球的编号与盒子编号相同的放法：2C520种

∴ 满足条件的放法数为： 1+10+20=31（种） „„„„„„11分

(6)先从五个盒子中选出四个盒子，再从四个盒子中选出一个盒子放两个球，余下三个盒

41子各放一个球，由于球相同，所以共有C5C420(种)放

法． „„„„„„14分

18、证明：(1)假设

1b1a1b1a,2,2„„„„„„„„„„1 都不小于2，则abab分

因为a0,b0，所以1b2a,1a2b，11ab2(ab) 即2ab， 这与已知ab2相矛盾，故假设不成

立 „„„„„„„„„„„„4分 综上

1b1a,中至少有一个小于ab2. „„„„„„„„„„„„„5分

(2)∵ab2 ∴ba20 ∴

a2 „„„„„„„„„„„„„6分 ∴f(a)a3ba3a2 ∴

f/(a)3a210„„„„„„„„„„„„„8分 ∴f(a)在2,上单调增, ∴f(a)f(2)8 ∴a3b8„„„„„„„„„„10分

2(3)设abt ①, 则ab ② „„„„„„„„„„11分

tt11t∴由①,②联立解得a,b „„„„„„„„„„13分

2tt2t144)4t)2t226426 当且仅当t42时，取等号 ∴a(3a2b)(（2ttt∴a(3a2b)426 „„„„„„„„„„16分

19、解:(1)f(1)3152g(1), f(2)3g(2), 281354g(2) „„„„„„„„„„„„„3分 64(2)由(1)猜想f(n)g(n) „„„„„„„ 5分 f(3)下面用数学归纳法给出证明．

2＋14＋12n＋1

所证不等式为··„·＞n＋1.

242n3

①当n＝1时，左式＝，右式＝2，

2

左式＞右式，所以结论成立．„„„„„„„ 6分

2＋14＋12k＋1*

②假设n＝k(k≥1，k∈N)时结论成立，即··„·＞k＋1，„„„„„7

242k分

5

则当n＝k＋1时， 2k＋32k＋1

，„„„ 9分

2＋14＋12k＋12k＋32k＋3

··„··＞k＋1·＝242k2k＋12k＋1

2k＋3

要证当n＝k＋1时结论成立，只需证≥k＋2.„„„ 11分

2k＋1

2k＋3即证≥k＋1k＋2，

2

2k＋3k＋1＋k＋2

由基本不等式知＝≥k＋1k＋2成立，

22

2k＋3故≥k＋2成立，所以，当n＝k＋1时，结论成立．.„„„ 15分 2k＋1

b1＋1b2＋1bn＋1*

由①②可知，n∈N时，不等式··„·＞n＋1成立．„„„ 16分

b1b2bn

220、解：（1）C151514105„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3分 21r1rr1 （2） 设Cn:Cn:Cn3:4:5 ---------------------4

分

r1r由Cn:Cn3:4，得

r3，

nr14① ---------------------7分

即3n7r30，

rr1由Cn:Cn4:5，得

r14， nr5即4n9r50 ② ---------------------10分

解①②联立方程组得： n62,r27 即

-------------------12分

m1m1m1m （3）CmCm1Cmk2Cmk1„„„„„„„„„„„„„„„ 13分 mm1m1mm1m1 证明：左边CmCmCmk2Cm1Cm1Cmk2

mm1m Cmk2Cmk2Cmk1右边 „„„„„„„„„ 16分

262728C62:C62:C623:4:5

6