2021年新高考数学人教B版总复习：第5节 指数与指数函数

指数与指数函数

考试要求 1.通过对有理数指数幂an(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质；2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念；3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

知 识 梳 理

1.根式的概念及性质

n

m

(1)概念：式子a叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.

(2)性质：(a)＝a(a使a有意义)；当n为奇数时，a＝a，当n为偶数时，ana，a≥0，＝|a|＝

－a，a<0.2.分数指数幂

规定：正数的正分数指数幂的意义是an＝am(a>0，m，n∈N+，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是an＝－

n

n

nn

nn

m

nm

1n(a>0，m，n∈N+，且n>1)；0的正分数指数

am幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质

实数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈R.

4.指数函数及其性质

(1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

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(2)指数函数的图象与性质

图象 定义域 值域 R (0，＋∞) 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 性质 当x>0时，y>1； 当x<0时，00，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，1

－1，a. 

2.指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与03.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大.

诊 断 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)（－4）4＝－4.( )

m

(2)分数指数幂an可以理解为n个a相乘.( )

m

4

a>1 01； 当x>0时，0－1

是指数函数.( )

(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞).( ) 解析 (1)由于（－4）＝44＝4，故(1)错. m

(2)当n<1时，不可以，故(2)错.

(3)由于指数函数解析式为y＝ax(a＞0，且a≠1)，

4

4

4

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故y＝2x－1不是指数函数，故(3)错. (4)由于x2＋1≥1，又a＞1，∴ax2＋1≥a. 故y＝ax2＋1(a＞1)的值域是[a，＋∞)，(4)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×

1

2.(老教材必修1P92A1改编)若函数f(x)＝a(a>0，且a≠1)的图象经过2，3，则



x

f(－1)＝( ) A.1

B.2

C.3

D.3

13

解析 依题意可知a2＝3，解得a＝3， 33

所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝3.

33答案 C

3.(新教材必修第二册P13A2改编)设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是( ) A.aB.ax

－1

解析 根据指数函数y＝0.6x在R上单调递减可得0.61.5<0.60.6<0.60＝1，而c＝1.50.6>1，∴b1

4.(2017·北京卷)已知函数f(x)＝3x－3，则f(x)( )

A.是偶函数，且在R上是增函数 B.是奇函数，且在R上是增函数 C.是偶函数，且在R上是减函数 D.是奇函数，且在R上是减函数 解析 函数f(x)的定义域为R， 11f(－x)＝3－x－3＝3－3x＝－f(x)，

∴函数f(x)是奇函数.

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－x

x

x

1

又y＝3x在R上是增函数，函数y＝－3在R上是增函数，

1

∴函数f(x)＝3x－3在R上是增函数.

答案 B

5.(2020·阜新调研)函数f(x)＝ax－2 020＋2 020(a>0且a≠1)的图象过定点A，则点A的坐标为________.

解析 令x－2 020＝0，得x＝2 020，则y＝2 021， 故点A的坐标为(2 020，2 021). 答案 (2 020，2 021)

41

337

6.(2020·菏泽一中月考)计算：2×－6＋84×2－



1

1

－

x

x

1

0

2

23

－3＝________. 

31

2323解析 原式＝3×1＋24×24－3＝2. 

答案 2

考点一 指数幂的运算 【例1】 化简下列各式：

1

273－

(1)－8＋0.0022－10(5－2)－1＋π0＝______； 

3

－

2

(2)

ab

1132

ab2－

（a4b2）4a3b311(a>0，b>0)＝________.

110（5＋2）3解析 (1)原式＝－2＋5002－＋1

（5－2）（5＋2）

－2

4167

＝9＋105－105－20＋1＝－9. 12

1

(2)原式＝

（a3b2a3b3）2ab2a－3b31131111a＝a2＋6－1＋3b1＋3－2－3＝b.

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167a

答案 (1)－9 (2)b

规律方法 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序.

2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.

3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【训练1】 化简下列各式：

1

2

3

(1)[(0.0645)－2.5]3－

3

38－π0；

1

51－2－3a－1b－12－32

b. ÷4a·(2)6a3·b·23

21

1－27233645－1 解 (1)原式＝－81 000

5

4

＝10

1523×－×31

2335－3－1

2

53

＝2－2－1＝0.

1

5－1－32－32

b 4a3·(2)原式＝－2a6b÷5－1－31－35－1－3

＝－4a6b÷(a3b2)＝－4a2·b2 515ab＝－4·3＝－4ab2.

ab

考点二 指数函数的图象及应用

【例2】 (1)(组合选择题)已知实数a，b满足等式2 020a＝2 021b，下列五个关系式：

①0B.③④

C.②③④

D.④⑤

(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________.

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解析 (1)如图，观察易知a，b的关系为a(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示.

∴当0规律方法 1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.

2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.

【训练2】 (1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( ) A.a>1，b<0 B.a>1，b>0 C.00 D.0(2)如果函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________.

解析 (1)由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0－b

的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.

(2)在同一平面直角坐标系中画出y＝|3x－1|与y＝－m的图象，如图所示.由函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则y＝|3x－1|与y＝－m在第二象限没有交点，由图象知m≤

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－1.

答案 (1)D (2)(－∞，－1]

考点三 解决与指数函数性质有关的问题角度1 比较指数式的大小

【例3－1】 下列各式比较大小正确的是( ) A.1.72.5>1.73 C.0.8－0.1>1.250.2

B.0.6－1>0.62 D.1.70.3<0.93.1

多维探究

解析 A中，∵函数y＝1.7x在R上是增函数，2.5<3， ∴1.72.5<1.73，错误；

B中，∵y＝0.6x在R上是减函数，－1<2， ∴0.6－1>0.62，正确； C中，∵(0.8)－1＝1.25，

∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小. ∵y＝1.25x在R上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D中，∵1.70.3>1, 0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误. 答案 B

规律方法 比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 角度2 解简单的指数方程或不等式

4x，x≥0，

【例3－2】 (1)(2020·丹东模拟)已知实数a≠1，函数f(x)＝a－x若f(1－

2，x<0，a)＝f(a－1)，则a的值为______.

12－7，x<0，

(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.

x，x≥0，1

解析 (1)当a<1时，41－a＝21，解得a＝2； 1

当a>1时，代入不成立.故a的值为2.

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x

1

(2)当a<0时，原不等式化为2－7<1，

则2－a<8，解得a>－3，所以－3答案 (1)2 (2)(－3，1)

规律方法 (1)af(x)＝ag(x)(a>0且a≠1)⇔f(x)＝g(x).(2)af(x)>ag(x)，当a>1时，等价于f(x)>g(x)；当0【例3－3】 (1)若存在正数x使2x(x－a)<1成立，则a的取值范围是( ) A.(－∞，＋∞) C.(0，＋∞)

B.(－2，＋∞) D.(－1，＋∞)

a

(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为________.

1

解析 (1)不等式2x(x－a)<1可变形为x－a<2，如图在同

1

一平面直角坐标系中作出直线y＝x－a与y＝2的图象，由



1

题意知，在(0，＋∞)内，直线有一部分在y＝2图象的下方，由图可知，－a<1，

所以a>－1.

(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.当a>1时，因为x∈[－1，112，a1]，所以t∈a，又函数y＝(t＋1)－2在a，a上单调递增，所以ymax＝(a＋1

1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).当0111

又函数y＝(t＋1)2－2在a，a上单调递增，则ymax＝a＋1－2＝14，解得a＝3

1

(负值舍去).综上，a＝3或a＝3.

2

xxx

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1

答案 (1)D (2)3或3

规律方法 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.

易错警示 在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要分类讨论.

【训练3】 (1)(角度1)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则( ) A.a>b>c C.c>a>b

B.a>c>b D.b>c>a

a（2x＋1）－2(2)(多填题)(角度3)若f(x)＝是R上的奇函数，则实数a的值为

2x＋1________，f(x)的值域为________.

(3)(角度2)当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x<0恒成立，则实数m的取值范围是________.

(4)(角度3)已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常量，且a>0，a≠1)的图象经过点11A(1，6)，B(3，24).若不等式a＋b－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，则实数

m的最大值为________.

解析 (1)因为a＝20.2>1，b＝0.40.2<1，c＝0.40.6<1，所以a>b，a>c.又y＝0.4x是以0.4为底的指数函数，且在R上单调递减，所以0.40.2>0.40.6，即b>c，所以a>b>c. (2)∵函数f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝0， 2a－22x－12∴2＝0，解得a＝1，f(x)＝x＝1－x.

2＋12＋122

∵2x＋1>1，∴02＋12＋1∴f(x)的值域为(－1，1).

1(3)原不等式变形为m2－m<2，



111因为函数y＝2在(－∞，－1]上是减函数，所以2≥2＝2.



x

x

－1

xx

x

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1

当x∈(－∞，－1]时，m2－m<2恒成立等价于m2－m<2，解得－16＝ab，

(4)把A(1，6)，B(3，24)代入f(x)＝b·a，得结合a>0，且a≠1，解得3

24＝b·a，

x

xx

a＝2，11所以f(x)＝3·2x.要使2＋3≥m在区间(－∞，1]上恒成立，只需保证

b＝3，

x

111

函数y＝2＋3在区间(－∞，1]上的最小值不小于m即可.因为函数y＝2＋

5111

3在区间(－∞，1]上为减函数，所以当x＝1时，y＝2＋3有最小值.所以

655

只需m≤6即可.所以m的最大值为6.

5

答案 (1)A (2)1 (－1，1) (3)(－1，2) (4)6

A级 基础巩固

一、选择题

1.(2019·永州模拟)下列函数中，与函数y＝2x－2－x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是( ) A.y＝sin x 1C.y＝2



x

x

x

x

xxx

B.y＝x3 D.y＝log2x

解析 y＝2x－2－x是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数.y＝sin x不是单调递增函数，不符合题意；

1y＝2是非奇非偶函数，不符合题意； y＝log2x的定义域是(0，＋∞)，不符合题意；

y＝x3是定义域为R的单调递增函数，且是奇函数，符合题意. 答案 B

2.函数f(x)＝ax－1(a>0，a≠1)的图象恒过点A，下列函数中图象不经过点A的是( )

A.y＝1－x

B.y＝|x－2|

x

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C.y＝2x－1

D.y＝log2(2x)

解析 f(x)过定点A(1，1)，将点A(1，1)代入四个选项，y＝1－x的图象不过点A(1，1). 答案 A

3.(2020·大连调研)已知0B.aa C.ab

D.bb

解析 ∵0aa，ba又y＝xb在(0，＋∞)上递增，∴ab>bb. 综上，ab最大. 答案 C

4.在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为( )

解析 设原有荒漠化土地面积为b，经过x年后荒漠化面积为z，则z＝b(1＋z

10.4%)x，故y＝b＝(1＋10.4%)x，其是底数大于1的指数函数.其图象应为选项D. 答案 D 5.若函数f(x)＝a

|2x－4|

1

(a>0，且a≠1)，满足f(1)＝9，则f(x)的单调递减区间是( ) B.[2，＋∞) D.(－∞，－2]

A.(－∞，2] C.[－2，＋∞)

11

解析 由f(1)＝9，得a2＝9，

111所以a＝3或a＝－3(舍去)，即f(x)＝3

|2x－4|

.

由于y＝|2x－4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f(x)在 (－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减.

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答案 B 二、填空题

2

（a3·b）2·a2·b36.化简＝________.

6

－1

－

1

－

1

1

a·b5－

a3b2·a2b3解析 原式＝1511

－

11

a6b6＝a

－－－11132

b26·115

＋－3

1

＝6a. 1

答案 a 17.若函数f(x)＝3

ax2－4x＋3

有最大值3，则a＝________.

h（x）

1

解析 令h(x)＝ax2－4x＋3，y＝3

小值－1，

，由于f(x)有最大值3，所以h(x)应有最

a>0，

因此必有12a－16解得a＝1，

＝－1，4a即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 答案 1

8.设偶函数g(x)＝a|x＋b|在(0，＋∞)上单调递增，则g(a)与g(b－1)的大小关系是________.

解析 由于g(x)＝a|x＋b|是偶函数，知b＝0， 又g(x)＝a|x|在(0，＋∞)上单调递增，得a>1. 则g(b－1)＝g(－1)＝g(1)， 故g(a)>g(1)＝g(b－1). 答案 g(a)>g(b－1) 三、解答题

3x＋a

9.已知函数f(x)＝x为奇函数.

3＋1

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(1)求a的值；

(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明.

解 (1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R；所以f(0)＝a＝－1(经检验，a＝－1时f(x)为奇函数，满足题意).

3x－12

(2)由(1)知f(x)＝x＝1－x，函数f(x)在定义域R上单调递增.证明如下：

3＋13＋1设x12（3x1－3x2）

则f(x1)－f(x2)＝.

（3x1＋1）（3x2＋1）因为x10，a≠1)，其中a，b均为实数. (1)若函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)，求函数y＝

1

的值域； f（x）

1＋a

＝0，所以1＋1

(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[－1，0]，求a＋b的值. 解 (1)因为函数f(x)的图象经过点A(0，2)，B(1，3)， 1＋b＝2，a＝2，∴∴ a＋b＝3，b＝1，∴函数f(x)＝2x＋1>1，函数y＝

11

＝x<1. f（x）2＋1

111又＝x>0，故函数y＝的值域为(0，1). f（x）2＋1f（x）(2)如果函数f(x)的定义域和值域都是[－1，0]， 若a>1，则函数f(x)＝ax＋b为增函数， 1＋b＝－1，∴a无解. 1＋b＝0，

若0第 13 页 共 17 页

第 14 页 共 17 页

B级 能力提升

11.设函数f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调10.2

性，则M＝(a－1)与N＝a的大小关系是( )

A.M＝N C.MB.M≤N D.M>N

0.1

0.1

解析 因为f(x)＝x2－a与g(x)＝ax(a>1且a≠2)在区间(0，＋∞)上具有不同的单调1

性，所以a>2，所以M＝(a－1)0.2>1，N＝a<1，所以M>N.

答案 D

2

212.(2020·衡水中学检测)已知函数f(x)＝3－x3且满足f(2a－1)>f(3)，则a的取



|x|

值范围为( ) A.a>2 C.－1|x|

B.a<2

D.a<－1或a>2

2

2解析 易知f(x)＝3－x3是R上的偶函数，

2

2

又当x>0时，f(x)＝3－x3单调递减.



x

由f(2a－1)>f(3)⇔f(|2a－1|)>f(3)， ∴|2a－1|<3，解得－162x

13.(2018·上海卷)已知常数a>0，函数f(x)＝x的图象经过点Pp，5，

2＋ax1

Qq，－5.若2p＋q＝36pq，则a＝________. 

2x1解析 因为f(x)＝x＝ax，且其图象经过点P，Q， 2＋ax

1＋2x6ap1

则f(p)＝

ap＝5，即2p＝－6，① 1＋2p1

第 15 页 共 17 页

f(q)＝

1

1＋2q1aq＝－，即aq52q＝－6，②

a2pq

①×②得p＋q＝1，则2p＋q＝a2pq＝36pq，

2所以a2＝36，解得a＝±6，因为a>0，所以a＝6. 答案 6

114.已知定义在R上的函数f(x)＝2x－2|x|. 3

(1)若f(x)＝，求x的值；

2

(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1，2]恒成立，求实数m的取值范围. 3

解 (1)当x<0时，f(x)＝0，故f(x)＝2无解； 1

当x≥0时，f(x)＝2x－2x，

13

由2x－2x＝2，得2·22x－3·2x－2＝0， 将上式看成关于2x的一元二次方程， 1解得2x＝2或2x＝－2，

因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1.

11

(2)当t∈[1，2]时，2t22t－22t＋m2t－2t≥0，

即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0， 所以m≥－(22t＋1)，

又y＝－22t－1，t∈[1，2]为减函数， ∴ymax＝－22－1＝－5，故m≥－5.

C级 创新猜想

15.(多选题)已知3a＝5b＝15，则a，b不可能满足的关系是( ) A.a＋b＞4 B.ab＞4

C.(a－1)2＋(b－1)2＞2 D.a2＋b2＜8

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解析 ∵3a＝5b＝15，∴(3a)b＝15b，(5b)a＝15a.∴3ab＝15b，5ba＝15a，∴3ab·5ba＝15b·15a，∴15ab＝15a＋b，∴ab＝a＋b，则ab＝a＋b≥2ab，∵a≠b，∴ab＞2ab，∴a＋b＝ab＞4，∴(a－1)2＋(b－1)2＝a2＋b2－2(a＋b)＋2＞2ab－2(a＋b)＋2＝2，∴a2＋b2＞2ab＞8，故选ABC. 答案 ABC

12x

0，16.(多填题)已知函数f(x)＝的图象关于点对称，则a＝________，f(x)2x1＋a·2的值域为________.

解析 依题设f(x)＋f(－x)＝1， 则2x

2－x1＋a·2x＋1＋a·2－x

＝1， 整理得(a－1)[4x＋(a－1)·2x＋1]＝0. 所以a－1＝0，则a＝1. 因此f(x)＝2x11＋2x＝1－1＋2x

.

由于1＋2x>1，∴0<1

1＋2x<1，∴0故f(x)的值域为(0，1). 答案 1 (0，1)

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