(必考题)高中数学高中数学选修4-5第一章《不等关系与基本不等式》测试(含答案解析)(5)

一、选择题

1．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为p1、

p2p1p2，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）

A．甲

B．乙

C．甲、乙一样

D．无法确定

2．已知a,bR，2abb22ab9，则ab的最小值（ ） A．1

B．2

C．

52 D．3

3．若不等式|xa|b2xx20对任意实数x恒成立，则ab（ ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

4．关于x的不等式x1xa3恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．,42,

B．,24,

C．,33,

D．,24,

5．已知非零实数a，b满足a|b|1，则下列不等关系不一定成立的是（ ）

A．a2b21

B．2a2b1

C．a24b

D．

abb1 6．若ab0,则下列不等关系中，不能成立的是（ ） A．

1122ab B．

11aba C．a3b3

D．a2b2

7．已知函数fxx1xa，若fx2恒成立，则a的取值范围是（ A．,22,

B．,31,

C．,13,

D．,04,

8．已知a1，实数x,y满足axay，则下列不等式一定成立的是（ ） A．x1xy1y B．lnx21lny21

C．sinxsiny D．x3y3

9．下列四个不等式：①logx10lgx2(x1)；②abab；③

baab2(ab0)；④x1x21，其中恒成立的个数是( )

A．1 B．2

C．3

D．4

10．已知，则

的大小关系是

A．

B．

C．

D．

）11．设 xy1,0a1则下列关系正确的是 A．xaya

B．axay

C．axay

D．logaxlogay

12．对于任意实数a,b,c,d, 以下四个命题正确的是 A．若ab,cd，则acbd C．若ab,则B．若ab，则ac2bc2 D．若ab,cd，则acbd

11 ab二、填空题

1(a1)时，不等式ax2bx14x恒成立，则实2，当x，13．若对任意b0，数a的取值范围是____.

14．若不等式xa2xaa1对于任意实数x恒成立，则满足条件的实数a的取值范围______. 15．若|x|1a11,|y|，则x2y的最大值是_______. 3616．设f(x)x2x3，若不等式f(x)则x取值集合是_______.

a12a1a对任意实数a0恒成立，

17．若fx是R上的减函数，且fx的图像经过点A0,3和B3,1，则不等式

fx112的解集是__________．

18．已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是______

19．已知aR，若关于x的方程x2xa1a0有实根，则a的取值范围是__________．

2x,xy,若m1·20．定义运算x·ym=|m-1|,则m的取值范围是_____.

y,xy,三、解答题

21．（1）解不等式：|x1||x2|1； 2（2）设集合P表示不等式x1x2a1对任意x∈R恒成立的a的集合，求集合P； （3）设关于x的不等式ax22|xa|200的解集为A，试探究是否存在a∈N，使得不等式.x2x20与|2x1x2的解都属于A，若不存在，说明理由.若存在，请求出满足条件的a的所有值.

22．已知函数fx2x1xa，aR. (1)当a1时，解不等式

fx1；

(2)当x1,0时，fx1有解，求a的取值范围.

23．已知f(x)|x2||2x1|，M为不等式f(x)0的解集. （1）求M；

（2）求证：当x,yM时， |xyxy|15. 24．已知函数fxx（1）求M；

（2）证明：当a，bM时，21ab≥ab．

2225．已知a0，b0，a4b11x，M为不等式fx2的解集． 4413. ab（1）求证：ab1； （2）若ba，求证：

11113. 33abab26．已知fx2x12x1．

（1）若fxf1，求实数x的取值范围； （2）已知

1143（其中m0，n0），求证：mn． mn3

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论. 【详解】

对于甲方案，设每年购买的数量为x，则两年的购买的总金额为p1xp2x， 平均价格为

p1xp2xp1p2； 2x2对于乙方案，设每年购买的总金额为y，则总数量为

yy， p1p22y平均价格为yp1yp22p1p2p1p2.

22pp22p1p2p1p24p1p2p1p20，所以，因为12p1p22p1p22p1p2p1p22p1p2. 2p1p2因此，乙方案的平均价格较低. 故选：B. 【点睛】

方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商

2．C

解析：C 【分析】

令zab，得azb，代入2abb22ab9，化简后利用判别式列不等式，解不等式求得ab的最小值. 【详解】

令zab，得azb，代入2abb22ab9并化简得

b212zb2z90，关于b的一元二次方程有正解，

所以首先12z42z90， 即2z72z50，

由于a,b是正实数，所以2z50，即z此时对称轴255，也即ab的最小值为. 2212z2z11z20，所以关于b的一元二次方程222b212zb2z90有正解，符合题意.

故选：C 【点睛】

本小题主要考查判别式法求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.

3．D

解析：D 【分析】

可采用分类讨论法，分别讨论2xx2与xab的正负，确定a,b之间的关系即可求解. 【详解】

当2xx20时，即x0,2时，|xa|b0恒成立，

2,时，|xa|b0恒成立

所以baxba恒成立，所以ab2且ab； 当2xx20时，即x,0综上，ab2

所以xab或xab恒成立，所以ab2且ab，

故选：D 【点睛】

本题考查一元二次不等式的解法，由含参数绝对值不等式求参数关系，分类讨论的数学思想，属于中档题

4．D

解析：D 【分析】

利用绝对值三角不等式确定x1xa的最小值，再解不等式即可. 【详解】

解：根据绝对值三角不等式，得

x1xax1xaa1，

所以不等式x1xa3恒成立等价于a13，

解得：a4或a2，即实数a的取值范围是,24,， 故选：D. 【点睛】

本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数a的取值范围．

5．D

解析：D 【分析】

a|b|1两边平方，结合绝对值的性质，可判断选项A成立；a|b|1b1，再由指

数函数的单调性，可判断选项B正确；由b212|b|，结合选项A，判断选项C正确； 令a5,b3，满足a|b|1，【详解】

ab1不成立. ba|b|1a2b22|b|1b21，A一定成立； a|b|1b12a2b1，B一定成立；

又b212|b|，故a24|b|4b，C一定成立； 令a5,b3，即可推得D不一定成立. 故选:D. 【点睛】

本题考查不等式与不等关系，注意绝对值性质的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题.

6．B

解析：B 【分析】

根据不等式的性质，利用作差比较和幂函数的单调性，逐项判定，即可求解.

【详解】

由题意知，ab0，则ab0,ba0,ab0 对于A中，因为对于B中，因为

1111ba0，所以，所以A是正确的； ababab11b110，所以，所以B不正确； abaa(ab)aba222对于C中，因为幂函数fxx3在(,0)单调递减函数，所以a3b3，所以C正确； 对于D

中，因为a2b2(ab)(ab)0，所以a2b2，所以D正确； 故选B. 【点睛】

本题主要考查了不等式的基本性质，以及幂函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用作差比较法，以及幂函数的单调性，进行比较是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

7．B

解析：B 【分析】

利用绝对值三角不等式确定f(x)的最小值；把f(x)2恒成立的问题，转化为其等价条件去确定a的范围。 【详解】

根据绝对值三角不等式，得

x1xa(x1)(xa)a1 f(x)x1xa的最小值为a1

f(x)2恒成立，等价于f(x)的最小值大于等于2，即a1≥2 a12或a12，a1或a3，故选B。

【点睛】

本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数a的取值范围。

8．D

解析：D 【分析】

根据指数函数的单调性，得到xy，再利用不等式的性质，以及特殊值法，即可求解． 【详解】

根据指数函数的单调性，由a1且axay，可得xy， 对于A中，由x不正确；

11xy1y(xy)(xy)(1)，此时不能确定符号，所以xyxyxy22对于B中，当x1,y2时，x21y21，此时lnx1lny1，所以不正

确；

对于C中，例如：当x2,y时，此时sinxsiny，所以不正确； 321232y)y]0，所以243322对于D中，由xy(xy)(xxyy)(xy)[(xx3y3，所以是正确的．

故选D． 【点睛】

本题主要考查了指数函数的单调性，以及不等式的性质的应用，其中解答中合理利用特殊值法判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

9．C

解析：C 【分析】

依次判断每个选项的正误，得到答案. 【详解】 ①logx10lgx1lgx2(x1)，当x10时等号成立，正确 lgx②abab，b0时不成立，错误 ③

，ab时等号成立.正确

④x1x2(x1)(x2)1，1x2时等号成立，正确 故答案选C 【点睛】

本题考查了不等式性质，绝对值不等式，均值不等式，综合性较强，是不等式的常考题型.

10．A

解析：A 【解析】 【分析】

将、进行分子有理化，分子均化为，然后利用分式的基本性质可得出三个数的大小关系。 【详解】 由而【点睛】

本题考查比较大小，在含有根式的数中，一般采用有理化以及平方的方式来比较大小，考

，所以

，又

，综上，

，故选：A。

查分析问题的能力，属于中等题。

11．C

解析：C 【分析】

由幂函数，指数函数，对数函数的单调性以及不等式的性质判断即可. 【详解】

A.xaya，由幂函数yx 当0函数在0,上单调递减，可知A错误； 由xy1,0a1，由不等式的性质可得axay0，故B错误；由指数函数yax 当0a1函数在0,上单调递减，可知C正确；由对函数yloga数在0,上单调递减，可知D错误. 故选 C . 【点睛】

本题考查幂函数，指数函数，对数函数的单调性以及不等式的性质，属基础题.

x 当0a1函

12．A

解析：A 【解析】

分析：由不等式的性质，逐个选项验证可得答案． 详解：

选项①若ab,cd，，由不等式的可加性可得acbd 故A正确，

选项②若ab，则ac2bc2，由不等式的性质可得；c20时ac2bc2不正确， 选项③若ab，则

1111错误，比如1＞2 ，但＞ ； ab12选项④若ab,cd，则acbd错误，需满足a,b,c,d均为正数才可以． 故选：A．

点睛：本题考查不等式的性质，属基础题．

二、填空题

13．【分析】将不等式转化为恒成立结合函数单调性转化求解【详解】对任意当时不等式恒成立即恒成立当时单调递增只需对恒成立且解得故答案为：【点睛】此题考查不等式恒成立求参数取值范围关键在于熟练掌握不等式性质和

3 解析：(1，【分析】

将不等式转化为ax【详解】

1b4恒成立，结合函数单调性转化求解. x1(a1)时，不等式ax2bx14x恒成立， 2，当x，对任意b0，即ax1a1b4恒成立， x111(a1)时，yaxb单调递增， b0，2，当x，xaax11b1ab,a1b，axb4(a1)

xx2恒成立， 只需a1b4,1ab4对b0，a124且a1，

解得1a3.

3 故答案为：(1，【点睛】

此题考查不等式恒成立求参数取值范围，关键在于熟练掌握不等式性质和函数单调性，结合恒成立求解参数.

14．【分析】首先若满足不等式恒成立即根据不等式利用含绝对值三角不等式求最小值最后解不等式求的取值范围【详解】当时等号成立若满足不等式对于任意实数x恒成立即即或解得：或故答案为：【点睛】本题考查了不等式恒

解析：,2【分析】

首先若满足不等式恒成立，即a1xa2xa根据不等式

2,. 5min，

xa2xaxax等式求a的取值范围. 【详解】

aax，利用含绝对值三角不等式求最小值，最后解不22xa2xaxax3a ， 2a时，等号成立， 2aaaa3axxaxxax 222222当xxa2xamin3a ， 2若满足不等式xa2xaa1对于任意实数x恒成立， 即a1解得：a333a ，即a1a或aa1 ， 2222或a2. 52,2故答案为：,

5【点睛】

本题考查了不等式恒成立求参数的取值范围，意在考查绝对值的意义和绝对值三角不等式求最值，属于中档题型，含有两个绝对值的式子求最值时，参考公式

ababab.

15．【分析】由绝对值三角不等式可计算出的最大值【详解】由绝对值三角不等式可得当且仅当时等号成立因此的最大值为故答案为【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求最值一般在含多个绝对值时可采用利用绝对值三角不等

2解析：

3【分析】

由绝对值三角不等式可计算出x2y的最大值. 【详解】

由绝对值三角不等式可得x2yx2yx2y1122， 36322，故答案为． 33当且仅当xy0时，等号成立，因此，x2y的最大值为【点睛】

本题考查利用绝对值三角不等式求最值，一般在含多个绝对值时，可采用利用绝对值三角不等式求解，在求解时要注意对代数式进行配凑，考查计算能力，属于中等题．

16．【解析】【分析】将不等式转化为分别在的情况下讨论得到的最大值从而可得；分别在的情况去绝对值得到不等式解不等式求得结果【详解】对任意实数恒成立等价于：①当时②当时③当时④当时综上可知：即当时解得：当时 解析：,1【解析】 【分析】

4,

a12a110aa11a0将不等式转化为fx，分别在、、、2amaxa12a11a的情况下讨论得到的最大值，从而可得fx3；分别在x2、

a22x3、x3的情况去绝对值得到不等式，解不等式求得结果.

【详解】

fxa12a1aa12a1对任意实数a0恒成立等价于：fx amax①当a1时，

a12a1aa112a21

aaa12a123,1 2,0

aa②当1a0时，

a12a1aa112a3

a③当0aa12a1a112a13 时，

2aaa12a1a12a1211 ④当a时，

aaa2a12a121,3 0,4 aaa12a1综上可知：3 amaxfx3，即fxx2x33

当x2时，fx2x3x52x3，解得：x1 当2x3时，fxx23x13，无解 当x3时，fxx2x32x53，解得：x4

4, 本题正确结果；,14,

【点睛】

本题考查绝对值不等式中的恒成立问题，关键是能够通过分类讨论的思想求得最值，从而将问题转化为绝对值不等式的求解，再利用分类讨论的思想解绝对值不等式即可得到结果.

x的取值集合为：,117．【解析】即解集是点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式然后根据函数的单调性去掉转化为具体的不等式(组)此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内 解析：1,2

【解析】

fx1121f(x1)3 0x13,1x2 ，即解集是1,2

点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为f(g(x))f(h(x))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内

18．【分析】令求得st利用不等式的性质可求的取值范围【详解】令则又①②①+②得故答案为【点睛】本题考查简单线性规划问题可以作图利用线性规划知识解决也可以用待定系数法利用不等式的性质解决是中档题 解析：1,7

【分析】

令3xys(xy)t(xy),求得s,t,利用不等式的性质可求3xys(xy)t(xy)的取值范围. 【详解】

令3xys(xy)t(xy)

(st)x(st)y

st3, 则st1s1, t2又1xy1①

1xy3,

22(xy)6②

①+②得13xy7.

故答案为[1,7] 【点睛】

本题考查简单线性规划问题,可以作图利用线性规划知识解决,也可以用待定系数法,利用不等式的性质解决,是中档题.

19．【解析】试题分析：由已知得即所以故答案为考点：不等式选讲 解析：

【解析】

试题分析：由已知得，(2)4(a1a)0，即a1a1，所以

2

2a1a1a1,1a0，故答案为[1,0].

考点：不等式选讲.

20．【分析】根据定义x·y可知x与y哪个大就取哪个然后根据·m=|m-1|建立-m≤m-1≤m⇔m≥∴m的取关于m的不等式解之即可【详解】依题意有|m-1|≤m⇔值范围是故答案为【点睛】本题主要考查了比

解析：,. 【分析】 y根据定义x·

12x,xy,m=|m-1|建立关于可知，x与y哪个大就取哪个，然后根据m1·

y,xy,m的不等式，解之即可． 【详解】

-m≤m-1≤m⇔m≥. 依题意,有|m-1|≤m⇔∴m的取值范围是, 故答案为, 【点睛】

本题主要考查了比较大小以及绝对值不等式的解法，解题的关键是理解新定义，属于基础题．

121212三、解答题

21．（1）【分析】

（1）分x2，1x2，x1三种情况求解即可；

（2）根据三角不等式得，x1x2ax12ax2a1，由此可得

7,；（2）P,041,；（3）存在，a0或a1或a2.

2a11，从而可求出a的取值范围；

（3）先解不等式.x2x20与|2x1x2，可得2,3A，当a0时，符合

f20题意，当a0时，构造函数fxax2xa20，则有，从而可求出

f30a的值

2【详解】

（1）若x2时，11，符合题意； 2若1x2时，x1x2若x1时，1717，解得x，故x2； 2441，无解； 2综上，x1x271的解是,； 24（2）根据三角不等式得，x1x2ax12ax2a1，所以2a11，解得a1或a0， ∴集合P,01,；

1x3，故3（3）由x2x20可得2x1，由2x1x2可得2,3A，

若a0，2x20，解得10x10，符合题意；

f20若a0，设fxax2xa20，由于a0，所以只要即可

f3024a2a2200即

9a23a200因为aN，可得a1或a2； 综上，a0或a1或a2. 【点睛】

关键点点睛：此题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，第（3）问解题的关键是

f20构造函数fxax2xa20，可得，从而可求出a的值，考查分类思

f302想和计算能力，属于中档题 22．（1）【详解】

分析：(1)将a1代入函数解析式，里用零点分段法，将函数解析式中的绝对值符号去掉，分段讨论，求得结果；

（2）问题转化为a(3x)min且a(x)max，根据函数的单调性求出a的范围即可.

fx1的解集为x1x1 （2）a的取值范围为3,1

1x,x213x2,x1， a1详解：（1）当时，fx2x1x1 2x,x1当x当

11时，x1x1，∴1x； 2211x1时，3x21x1，∴x1； 22当x1时，x1，无解；

综上，不等式

fx1的解集为{x|1x1}.

（2）当x1,0时，fx1有解xa2x有解2xxa2x有解

3xax有解，∵3x3，x1，∴3a1.

点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的问题，在解题的过程中，第一问应用零点分段法，将其转化为多个不等式组求得结果；第二问将不等式有解问题向最值靠拢，即可求得结果.

23．（1）M(,3)（2）见解析 【解析】

试题分析：（1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，求出M的范围即可； （2）根据绝对值的性质证明即可． 试题

13x3,x21（1）解：fx3x1,2x

21x3,x2当x2时，由x30得x3，舍去； 当2x当x1111时，由3x10得x，即x； 233211时，由x30得x3，即x3； 22综上，M,3.

（2）证明：∵x,yM，∴x3，y3，

13xyxyxyxyxyxy xyxy333315

24．（1）M1,1；（2）证明见解析. 【分析】

（1）根据绝对值定义化简函数，再解三个不等式组，最后求并集得结果； （2）利用分析法证明不等式 【详解】

12x,x,411111fxxx,x, （1）4424412x,x4111x1x4x4fx2或4或4

122x22x2211111x或x或x1

4444所以不等式的解集为M1,1．

（2）要证21ab≥ab，只需证21abab，

即证41abab，只需证44ab≥a22abb2，即4≥a22abb2， 即证4ab，只需证2ab 因为a，bM，所以ab2， 所以所证不等式成立． 【点睛】

本题考查含绝对值不等式解法、分析法证明不等式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.

25．（1）证明见解析.（2）证明见解析 【分析】

（1）根据条件利用基本不等式可得（2）要证立． 【详解】

（1）证明：由ab0,得“=”).

所以13ab4(ab)2，即4(ab)23ab10，所以ab1(当且仅当a取得“=”) （2）

13a24b24ab，然后解关于ab的不等式即可； ab2211111111113()33成，即证，然后根据条件得到a3b3aba2abb2a2abb213a24b24ab (当且仅当a24b2，即a2b2时取ab2,b2时2111111111111111133=3322322abababaabbababaabb(※)，

11因为ba0，所以0.

ab11131113“=”ba0ab又2，当且仅当时取得，又，故2， aabb2abaabb2ab又由（1）知ab1，又ba0，故

111131，故223，即abaabbab11130， a2abb2故(※)式成立，即原不等式成立. 【点睛】

本题考查了基本不等式，利用综合法证明不等式和利用分析法证明不等式，考查了转化思想，属于中档题． 26．（1）,【分析】

（1）利用零点分段法，求得不等式fxf1的解集； （2）利用基本不等式，求得mn【详解】

（1）fxf1，即2x12x15. ①当x31,（2）证明见解析 224，由此证得mn2mn. 331时，2x12x15，得x1； 21时，2x12x15，得35，不成立； 23. 2②当1x③当x1时，2x12x15，得x综上，所求的x的取值范围是,（2）因为m0，n0时，3当且仅当mn时，等号成立， 所以231,. 2111， 2mnmn213，得mn，

3mn4. 3所以mn2mn【点睛】

本小题主要考查含有绝对值的不等式的解法，考查利用基本不等式进行证明，属于中档题.