北师大版数学选修2-3全套教案

（第一课时）

教学目标：

（1）理解分类计数原理与分步计数原理

（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学重点：

（1）理解分类计数原理与分步计数原理

（2）会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学过程

一、复习引入：

一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？

某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？

二、讲解新课：

问题1 春天来了，要从济南到北京旅游，有三种交通工具供选择：长途汽车、旅客列车和客机。已知当天长途车有2班，列车有3班。问共有多少种走法？ 设问1： 从济南到北京按交通工具可分____类方法? 第一类方法, 乘火车，有___ 种方法; 第二类方法, 乘汽车，有___ 种方法; ∴ 从甲地到乙地共有__________ 种方法

设问2：每类方法中的每种一方法有什么特征？

问题2：春天来了，要从济南到北京旅游，若想中途参观南开大学，已知从济南到天津有3种走法，从天津到北京有两种走法；问要从济南到北京共有多少种不同的方法？ 从济南到北京须经 ____ 再由_____到北京有____个步骤 第一步, 由济南去天津有___种方法 第二步, 由天津去北京有____种方法,

设问2：上述每步的每种方法能否单独实现从济南村经天津到达北京的目的? 1分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有K种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，„„由第k种途径有nK种方法可以完成。那么，完成这件工作共有n1+n2+„„+nK种不同的方法。 1.标准必须一致,而且全面、不重不漏！

2“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的 即：它们两两的交集为空集！ 3每一类方法中的任何一种方法均能将这件事情从头至尾完成

2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，„„，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2ׄ„×nK种不同方法 1标准必须一致、正确。

2“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉。

3若完成某件事情需n步,每一步的任何一种方法只能完成这件事的一部分且必须依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。 三、例子

例1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层

放有2本不同的体育书，

（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

解：（1）从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种方法根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种 所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；

（2）从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是43224种 所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法 例2．一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码？

解：每个拨号盘上的数字有10种取法，根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字号码的个数是N1010101010000， 所以，可以组成10000个四位数号码 例3．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ 解：从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班两个步骤完成，先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2种选法根据分步技数原理，不同的选法数是N326种，6种选法可以表示如下：

日班 晚班 甲 乙 甲 丙 乙 甲 乙 丙 丙 甲 丙 乙

所以，从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，6种不同的选法

例4，若分给你10块完全一样的糖，规定每天至少吃一块，每天吃的块数不限，问共有多少种不同的吃法？n块糖呢？

课堂小节：本节课学习了两个重要的计数原理及简单应用 课堂练习： 课后作业：

1.1基本计数原理

（第二课时）

教学目标：

会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题 教学重点：

会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题

教学过程

一、复习引入： 1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，„„由第k种途径有nk种方法可以完成。那么，完成这件工作共有n1+n2+„„+nk种不同的方法。

2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，„„，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2ׄ„×nk种不同方法

二、讲解新课：

例1 书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书． （1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？

（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？ （3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？

例2在1～20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种? 解:取ab与取ba是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性,第一类,偶偶相加,由分步计数原理得(10×9)/2=45种取法,第二类,奇奇相加,也有(10×9)/2=45种取法.根据分类计数原理共有45+45=90种不同取法.

例3 如图一,要给①,②,③,④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同颜色,则不同涂色方法种数为() A. 180 B. 160 C. 96 D. 60 ② ① ③ 图一

④ ① ③ ② 图二

④ ② ① ③ ④

图三

若变为图二,图三呢?(240种,5×4×4×4=320种)

例5 75600有多少个正约数?有多少个奇约数?

解:75600的约数就是能整除75600的整数,所以本题就是分别求能整除75600的整数和奇约数的个数.

由于 75600=2×3×5×7 (1) 75600

0i44

3

2

的每个约数都可以写成2l3j5k7l的形式,其中

,0j3,0k2,0l1

于是,要确定75600的一个约数,可分四步完成,即i,j,k,l分别在各自的范围内任取一个值,这样i有5种取法,j有4种取法,k有3种取法,l有2种取法,根据分步计数原理得约数的个数为5×4×3×2=120个.

(2)奇约数中步不含有2的因数,因此75600的每个奇约数都可以写成3j5k7l的形式,同上奇约数的个数为4×3×2=24个.

课堂小节：本节课学习了两个重要的计数原理的应用 课堂练习： 课后作业：

1.2.1排列

（第一课时）

教学目标：

理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导 教学重点：

理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导 教学过程

一、复习引入： 1、分类计数原理：（1）加法原理：如果完成一件工作有k种途径，由第1种途径有n1种方法可以完成，由第2种途径有n2种方法可以完成，„„由第k种途径有nk种方法可以完成。那么，完成这件工作共有n1+n2+„„+nk种不同的方法。

2，乘法原理：如果完成一件工作可分为K个步骤，完成第1步有n1种不同的方法，完成第2步有n2种不同的方法，„„，完成第K步有nK种不同的方法。那么，完成这件工作共有n1×n2ׄ„×nk种不同方法

二、讲解新课： 1．排列的概念：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．．． 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 2．排列数的定义：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取

出m元素的排列数，用符号An表示 m注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）．．．．．个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号An只表示排列数，而不表示具体的排列 m3．排列数公式及其推导：

求An以按依次填m个空位来考虑Ann(n1)(n2)(nm1)， 排列数公式：

mmAnn(n1)(n2)(nm1)=

mn!(nm)!（m,nN,mn）

说明：（1）公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个 少1，最后一个因数是nm1，共有m个因数；

（2）全排列：当nm时即n个不同元素全部取出的一个排列 全排列数：Ann(n1)(n2)21n!（叫做n的阶乘） n4.例子：

例1．计算：（1）A16； （2）A6； （3）A6． 解：（1）A16 ＝161514＝3360 ； （2）A6 ＝6!＝720 ； （3）A6＝6543＝360 364364例2．（1）若An17161554，则n ，m ． （2）若nN,则(55n)(56n)(68n)(69n)用排列数符号表示 ． 解：（1）n 17 ，m 14 ．

（2）若nN,则(55n)(56n)(68n)(69n)＝ A69n．

,3,5,71,1例3．（1）从215m这五个数字中，任取2个数字组成分数，不同值的分数共有多少个？

（2）5人站成一排照相，共有多少种不同的站法？

（3）某年全国足球甲级（A组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行多少场比赛？ 解：（1）A55420； （2）A554321120； （3）A141413182 252课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导 课堂练习： 课后作业： 1.2.1排列

（第二课时）

教学目标：

掌握解排列问题的常用方法 教学重点：

掌握解排列问题的常用方法 教学过程

一、复习引入：

1．排列的概念：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．．． 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 2．排列数的定义：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取

出m元素的排列数，用符号An表示 m注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）．．．．．个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号An只表示排列数，而不表示具体的排列 m3．排列数公式及其推导：

Ann(n1)(n2)(nm1)（m,nN,mn）

m全排列数：Ann(n1)(n2)21n!（叫做n的阶乘） n二、讲解新课：

解排列问题问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法．当问题的反面简单明了时，可通过求差排除采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等．

解排列问题和组合问题，一定要防止“重复”与“遗漏”． 互斥分类——分类法 先后有序——位置法 反面明了——排除法 相邻排列——捆绑法 分离排列——插空法 例1求不同的排法种数：

（1）6男2女排成一排，2女相邻； （2）6男2女排成一排，2女不能相邻； （3）4男4女排成一排，同性者相邻； （4）4男4女排成一排，同性者不能相邻．

例2在3000与8000之间，数字不重复的奇数有多少个？

分析 符合条件的奇数有两类．一类是以1、9为尾数的，共有P21种选法，首数可从3、4、5、6、7中任取一个，有P51种选法，中间两位数从其余的8个数字中选取2个有P82种选法，根据乘法原理知共有P21P51P82个；一类是以3、5、7为尾数的共有P31P41P82个． 解 符合条件的奇数共有P21P51P82+P31P41P82=1232个．

答 在3000与8000之间，数字不重复的奇数有1232个． 例3 某小组6个人排队照相留念．

(1)若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？

(2)若分成两排照相，前排2人，后排4人，但其中甲必须在前排，乙必须在后排，有多少种排法？

(3)若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？ (4)若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？

(5)若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？ (6)若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？ 分析 (1)分两排照相实际上与排成一排照相一样，只不过把第3～6个位子看成是第二排而已，所以实际上是6个元素的全排列问题．

(2)先确定甲的排法，有P21种；再确定乙的排法，有P41种；最后确定其他人的排法，有P44种．因为这是分步问题，所以用乘法原理，有P21·P41·P44种不同排法．

(3)采用“捆绑法”，即先把甲、乙两人看成一个人，这样有P55种不同排法．然后甲、乙两人之间再排队，有P22种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以有P55·P22种排法． (4)甲在乙的右边与甲在乙的左边的排法各占一半，有P66种排法．

(5)采用“插入法”，把3个女生的位子拉开，在两端和她们之间放进4张椅子，如____女____女____女____，再把3个男生放到这4个位子上，就保证任何两个男生都不会相邻了．这样男生有P43种排法，女生有P33种排法．因为是分步问题，应当用乘法原理，所以共有P43·P33种排法．

(6)符合条件的排法可分两类：一类是乙站排头，其余5人任意排有P55种排法；一类是乙不站排头；由于甲不能站排头，所以排头只有从除甲、乙以外的4人中任选1人有P41种排法，排尾从除乙以外的4人中选一人有P41种排法，中间4个位置无限制有P44种排法，因为是分步问题，应用乘法原理，所以共有P41P41P44种排法． 解 (1)P66=720(种)

(2)P21·P41·P44=2×4×24=192(种) (3)P55·P22=120×2=240(种) (4)P66=360(种)

(5)P43·P33=24×6=144(种)

(6)P55+P41P41P44=120+4×4×24=504(种)

或法二：(淘汰法)P66-2P55+P44=720-240+24=504(种)

课堂小节：本节课学习了排列、排列数的概念，排列数公式的推导 课堂练习： 课后作业：

1.2.2组合

（第一课时）

教学目标：

1.理解组合的意义，掌握组合数的计算公式； 2.能正确认识组合与排列的联系与区别 教学重点：

理解组合的意义，掌握组合数的计算公式 教学过程

一、复习引入： 1．排列的概念：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定．．的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．．．．．．． 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；

（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 2．排列数的定义：

从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取

出m元素的排列数，用符号An表示 m注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m（mn）．．．．．个元素的所有排列的个数，是一个数所以符号An只表示排列数，而不表示具体的排列 m3．排列数公式及其推导：

Ann(n1)(n2)(nm1)（m,nN,mn）

m全排列数：Ann(n1)(n2)21n!（叫做n的阶乘） n二、讲解新课：

1 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个

不同元素中取出m个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示． ．．．3．组合数公式的推导：

（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；② 求每一个组合中m个元素全排列数Am，根据分步计数原理得：An＝CnAm． （2）组合数的公式：

CnmmmmmmmmAnmmAmn(n1)(n2)(nm1)m!或Cnmn!m!(nm)!(n,mN,且mn) 例子：

1、计算：（1）C7； （2）C10； （1）解： C7744776544!＝35；

＝120．

（2）解法1：C10 解法2：C107109876547!10!7!3!10983!＝120．

2、求证：Cn证明：∵Cnmmm1nmn!Cm1n．

m!(nm)!m1nm

m1nmCm1nn!(m1)!(nm1)!n!

＝

m1(m1)!(nm)(nm1)!n!m!(nm)!m1n

＝

m1nm

∴CnmC

3、在52件产品中，有50件合格品，2件次品，从中任取5件进行检查． (1)全是合格品的抽法有多少种？ (2)次品全被抽出的抽法有多少种？

(3)恰有一件次品被抽出的抽法有多少种？ (4)至少有一件次品被抽出的抽法有多少种？ 4、名男生和6名女生组成至少有1个男生参加的三人社会实践活动小组，问组成方法共有多少种？

解法一：（直接法）小组构成有三种情形：3男，2男1女，1男2女，分别有C4，C4C6，

C4C6，

12321所以，一共有C4+C4C6+C4C6＝100种方法． 解法二：（间接法）C10C6100 3211233

课堂小节：本节课学习了组合的意义，组合数的计算公式 课堂练习： 课后作业： 1.2.2组合

（第二课时）

教学目标：

1掌握组合数的两个性质；

2.进一步熟练组合数的计算公式，能够运用公式解决一些简单的应用问题 教学重点：

掌握组合数的两个性质

教学过程

一、复习引入：

1 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示． ．．．

3．组合数公式的推导：

（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；② 求每一个组合中m个元素全排列数Am，根据分步计数原理得：An＝CnAm． （2）组合数的公式：

CnmmmmmmmmAnmmAmn(n1)(n2)(nm1)m!或Cnmn!m!(nm)!(n,mN,且mn) 二、讲解新课：

1 组合数的性质1：CnCnmnm．

一般地，从n个不同元素中取出m个元素后，剩下nm个元素．因为从n个不同元素中取出m个元素的每一个组合，与剩下的n  m个元素的每一个组合一一对应，所以从n．．．．个不同元素中取出m个元素的组合数，等于从这n个元素中取出n  m个元素的组合数，即：

CnCnmnm．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想 证明：∵Cnnm又 Cnmn!n!(nm)![n(nm)]!n!m!(nm)!

m!(nm)!0，∴CnCnmnm 说明：①规定：Cn1；

②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标； ③CnCnxy或xyn． 2．组合数的性质2：Cn1＝Cn+Cnmmm1xy．

m一般地，从a1,a2,,an1这n+1个不同元素中取出m个元素的组合数是Cn1，这些

组合可以分为两类：一类含有元素a1，一类不含有a1．含有a1的组合是从a2,a3,,an1这n个元素中取出m 1个元素与a1组成的，共有Cnm1个；不含有a1的组合是从

a2,a3,,an1这n个元素中取出m个元素组成的，共有Cn个．根据分类计数原理，可以

m得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想． 证明：CnmCnm1n!m!(nm)!n!(m1)![n(m1)]!(n1)!m!(nm1)! mn!(nm1)n!mm!(nm1)!

mm(nm1m)n!m!(nm1)!m1Cn1

∴Cn1＝Cn+Cn3.例子

．

1．（1）计算：C7C7C8C9；

（2）求证：Cm2＝Cm+2Cm+Cm456563456nnn1n2．

64解：（1）原式C8C8C9C9C9C10C10210；

证明：（2）右边(CmCm)(CmCm)Cm1Cm1Cm2左边 nn1n1n2nn1n2．解方程：（1）C13x1C132x3；（2）解方程：Cx2Cx2x2x3110Ax3．

3解：（1）由原方程得x12x3或x12x313，∴x4或x5，

1x113 又由12x313得2x8且xN，∴原方程的解为x4或x5 xN上述求解过程中的不等式组可以不解,直接把x4和x5代入检验,这样运算量小得多. （2）原方程可化为Cx3x2110Ax3，即Cx335110Ax3，∴

3(x3)!5!(x2)!(x3)!10x!，

∴

1120(x2)!2110x(x1)(x2)!，

∴xx120，解得x4或x3，

经检验：x4是原方程的解 3. 有同样大小的4个红球，6个白球。 (1)从中任取4个，有多少种取法？

(2)从中任取4个，使白球比红球多，有多少种取法？ (3)从中任取4个，至少有一个是红球，有多少种取法？

(4)假设取1个红球得2分，取1个白球得1分。从中取4个球，使总分不小于5分的取法有多少种？

课堂小节：本节课学习了组合数的两个性质 课堂练习： 课后作业： 1.2.2组合

（第三课时）

教学目标：

1、进一步巩固组合、组合数的概念及其性质； 2、能够解决一些组合应用问题 教学重点：

解决一些组合应用问题 教学过程

一、复习引入：

1 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 2．组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Cn表示． ．．．

3．组合数公式的推导：

（1）一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数An，可以分如下两步：① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数Cn；② 求每一个组合中m个元素全排列数Am，根据分步计数原理得：An＝CnAm． （2）组合数的公式：

CnmmmmmmmmAnmmAmn(n1)(n2)(nm1)m!mnm或Cnmn!m!(nm)!(n,mN,且mn) 4.组合数的性质1：CnCnm．

m15.组合数的性质2：Cn1＝Cn+Cnm．

二、讲解新课： 例子

1．(1)把n+1个不同小球全部放到n个有编号的小盒中去，每小盒至少有1个小球，共有多少种放法？

(2)把n+1相同的小球，全部放到n个有编号的小盒中去，每盒至少有1个小球，又有多少种放法？

(3)把n+1个不同小球，全部放到n个有编号的小盒中去，如果每小盒放进的球数不限，问有多少种放法？

2．从编号为1，2，3，„，10，11的共11个球中，取出5个球，使得这5个球的编号之和为奇数，则一共有多少种不同的取法？

解：分为三类：1奇4偶有C6C5 ； 3奇2偶有C6C5； 5奇1偶有C6， ∴一共有C6C5+C6C5+C6236．

3．现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作；有4名青年能胜任德语翻译工作（其中有1名青年两项工作都能胜任），现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其 中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解：我们可以分为三类：

①让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作，有C4C3； ②让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作，有C4C3； ③让两项工作都能担任的青年不从事任何工作，有C4C3， ∴一共有C4C3+C4C3+C4C3＝42种方法．

4．甲、乙、丙三人值周，从周一至周六，每人值两天，但甲不值周一，乙不值周六，问可以排出多少种不同的值周表 ？

解法一：（排除法）C6C42C5C4C4C342．

解法二：分为两类：一类为甲不值周一，也不值周六，有C42C32； 另一类为甲不值周一，但值周六，有C4C4，

1222C4+C4C3＝42种方法． ∴一共有C41432514325223132223132221211125．6本不同的书全部送给5人，每人至少1本，有多少种不同的送书方法？

解：第一步：从6本不同的书中任取2本“捆绑”在一起看成一个元素有C62种方法； 第二步：将5个“不同元素（书）”分给5个人有A5种方法．

2根据分步计数原理，一共有C6A5＝1800种方法 556. 从6双不同手套中，任取4只， (1)恰有1双配对的取法是多少？ (2)没有1双配对的取法是多少？ (3)至少有1双配对的取法是多少？

课堂小节：本节课学习了组合数的应用 课堂练习：

课后作业：

1.3.1二项式定理

教学目标：

1、能用计数原理证明二项式定理；

2、掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式 教学重点：

掌握二项式定理及二项式展开式的通项公式 教学过程

一、复习引入： ⑴(ab)a2abbC2aC2abC2b；

⑵(ab)a3ab3abbC3aC3abC3abC3b 222021223322303122233⑶(ab)(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：a，ab，ab，ab，b，

a的系数是C4；展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即C4种，

0443223440恰有1个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有3个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b的系数是C4，

∴(ab)C4aC4abC4abC4abC4b． 二、讲解新课：

1、二项式定理：(ab)CnaCnabCnan0n1nrnr4041322233441312222333444bCnb(nN)

rnn2、二项式定理的证明。

（a+b）是n个（a+b）相乘，每个（a+b）在相乘时，有两种选择，选a或b，由分

nkn-k

步计数原理可知展开式共有2项（包括同类项），其中每一项都是ab的形式，k=0，1，…，

kn-k

n；对于每一项ab，它是由k个（a+b）选了a，n-k个(a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个（a+b）中取k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。

3、它有n1项，各项的系数Cn(r0,1,n)叫二项式系数， 4、Cnarnrrn

b叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cnarrnrb．

r5、二项式定理中，设a1,bx，则(1x)1CnxCnxx 三、例子 例1．展开(1解一： (1解二：(11n1rrn1x)．

41464114411112313)1C4()C4()C4()()1234．

xxxxxxxxx141444413123)()(x1)()xC4xC4xC4x1 xxx14x1x6x624x31x4．

例2．展开(2x)．

解：(2x1x31x)61x3(2x1)

6[(2x)C6(2x)C6(2x)C6(2x)C6(2x)C6(2x)1]

32615243322164x192x240x1601260x12x21x3．

例3．求(xa)的展开式中的倒数第4项 解：(xa)的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

T91C12x912912aC12xa220xa．

66933939例4．求（1）(2a3b)，（2）(3b2a)的展开式中的第3项． 解：（1）T21C6(2a)(3b)2160ab， （2）T21C6(3b)(2a)4860ba．

点评：(2a3b)，(3b2a)的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同 242422424266例5．（1）求(x33x3x)的展开式常数项；

9（2）求(x3)的展开式的中间两项 9解：∵Tr1C9()3rx9r(3x)C93rr2r9x932r，

∴（1）当9x33x32r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C932268；

63（2）()的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

9T5C93489x91242x3，T6C935109x9152378x 3课堂小节：本节课学习了二项式定理及二项式展开式的通项公式 课堂练习： 课后作业：

1.3.2杨辉三角

教学目标：

理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用 教学重点：

理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用 教学过程

一、复习引入： 1．二项式定理

(ab)CnaCnabCnan0n1nrnrbCnb(nN)，

nrrnn2．二项展开式的通项公式：Tr1Cna二、讲解新课：

1 二项式系数表（杨辉三角）

rb

r(ab)展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3„时，二项式系数

n表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质：

（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵CnCn（2）增减性与最大值．∵Cn∴Cn相对于Cn当kn12kk1kmnm）． ，

n(n1)(n2)(nk1)k!nk1knk1kCnk1nk1kn12的增减情况由决定，1k，

时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取

得最大值；

n2nn12n1当n是偶数时，中间一项C取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn值．

（3）各二项式系数和：

，Cn2取得最大

1rrn∵(1x)n1CnxCnxx，

令x1，则2CnCnCnCnCn n012rn三、例子

例1．在(ab)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 n1nrnrrnn证明：在展开式(ab)nCn0anCnabCnabCnb(nN)中，令

a1,b1，则(11)CnCnCnCn(1)Cn，

n0123nn即0(CnCn)(CnCn)， ∴CnCnCnCn，

即在(ab)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． 说明：由性质（3）及例1知CnCnCnCn2例2．已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：

（1）a1a2a7； （2）a1a3a5a7； （3）|a0||a1||a7|. 解：（1）当x1时，(12x)(12)1，展开式右边为

a0a1a2a7

7702130213n0213n1.

∴a0a1a2a71，

当x0时，a01，∴a1a2a7112， （2）令x1， a0a1a2a71 ① 令x1，a0a1a2a3a4a5a6a737 ② ①② 得：2(a1a3a5a7)13，∴ a1a3a5a771327.

（3）由展开式知：a1,a3,a5,a7均为负，a0,a2,a4,a8均为正，

7∴由（2）中①+② 得：2(a0a2a4a6)13，

∴ a0a2a4a61327，

∴|a0||a1||a7|a0a1a2a3a4a5a6a7

(a0a2a4a6)(a1a3a5a7)3 7例3.求(1+x)+(1+x)+„+(1+x)展开式中x的系数 2103

（1x）解：(1x)(1x)210(1x)[1(1x)1(1x)10]

=

(x1)11(x1)x，

∴原式中x实为这分子中的x，则所求系数为C11 347例4.在(x+3x+2)的展开式中，求x的系数 25

解：∵(x3x2)(x1)(x2)

∴在(x+1)展开式中，常数项为1，含x的项为C55x，

在(2+x)展开式中，常数项为2=32，含x的项为C52x80x ∴展开式中含x的项为 1(80x)5x(32)240x， ∴此展开式中x的系数为240 2555515514例5.已知(x的常数项 2x2)的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式

n解：依题意Cn:Cn14:33Cn14Cn ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!n=10 4242设第r+1项为常数项，又 Tr1C10(x)令

105r20r2，

22r10r(2x2105r)(2)C10xrrr2

T21C10(2)180.此所求常数项为180 课堂小节：本节课学习了二项式系数的性质

课堂练习： 课后作业：

2.1.1离散型随机变量

教学目标：

理解取值有限的离散型随机变量

教学重点：

理解取值有限的离散型随机变量 教学过程

一、复习引入：

1．随机事件及其概率：在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件，记为U；相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件,记为φ. 随机试验

为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学实验和对事物的观测统称为试验．如果试验具有下述特点：

（1）试验可以在相同条件下重复进行；

（2）每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；

（3）每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果，则称这种试验为随机试验简称试验。 2．样本空间: 样本点

在相同的条件下重复地进行试验,虽然每次试验的结果中所有可能发生的事件是可以明确知道的,并且其中必有且仅有一个事件发生,但是在试验之前却无法预知究意哪一个事件将在试验的结果中发生.试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试验的样本点,通常用字母ω表示.

样本空间:

试验的所有样本点ω1，ω2，ω3，…构成的集合叫做样本空间,通常用字母Ω表示,于是,我们有 Ω={ω1，ω2，ω3，… } 3.古典概型的特征：

古典概型的随机试验具有下面两个特征：

（１） 有限性.只有有限多个不同的基本事件; （２） 等可能性.每个基本事件出现的可能性相等.

概率的古典定义 在古典概型中，如果基本事件的总数为n，事件Ａ所包含的基本事件个数为ｒ（ 则定义事件Ａ的概率

为

.即

），

二、讲解新课：

1、随机变量的概念

随机变量是概率论的重要概念，把随机试验的结果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解，还可借助更多的数学知识对其进行深入研究． 有的试验结果本身已具数值意义，如产品抽样检查时的废品数，而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联系，如抛硬币时规定出现徽花时用1表示，出现字时用0表示．这些数值因试验结果的不确定而带有随机性，因此也就称为随机变量． 2、随机变量的定义： 如果对于试验的样本空间 应，则变量 是样本点

中的每一个样本点 的实函数，记作

，变量 都有一个确定的实数值与之对．我们称这样的变量 为随机变量．

3、若随机变量

则称

的情形 三、例子 例1．随机变量

只能取有限个数值 或可列无穷多个数值

取有限个数值

为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量

为抛掷两枚硬币时徽花向上的硬币数，求的可能取值

解：的可能取值为0,1,2.

例2．某射手有五发子弹，射一次命中率为0.9，若命中了就停止射击，若不命中就一直射到子弹耗尽.求随机变量的可能取值 例3． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 (1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；

(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η 解：(1) ξ可取3，4，5 ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；

ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；

ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5 （2）η可取0，1，„,n，„ η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,„ 例4． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？

答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点 例5 某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km，则按10元的标准收租车费若行驶路程超出4km，则按每超出lkm加收2元计费(超出不足1km的部分按lkm计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按lkm路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费可也是一个随机变量 (1)求租车费η关于行车路程ξ的关系式；

(Ⅱ)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km，问出租车在途中因故停车累计最多几分钟?

解：(1)依题意得η=2(ξ-4)+10，即η=2ξ+2 (Ⅱ)由38=2ξ+2，得ξ=18，5×（18-15）=15． 所以，出租车在途中因故停车累计最多15分钟． 课堂小节：本节课学习了离散型随机变量 课堂练习： 课后作业：

2.1.2离散型随机变量的分布列

教学目标：

1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列； 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题． 教学重点：

1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列； 2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题． 教学过程

一、复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量: 随机变量 值

则称

只能取有限个数值

或可列无穷多个数

取有限个数

为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量

值的情形.

二、讲解新课：

1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，„，x3，„，

ξ取每一个值xi（i=1，2，„）的概率为P(xi)pi，则称表

ξ P x1 P1 x2 P2 „ „ xi Pi „ „ P(A)1为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 2. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0，并且不可能事

件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，„； ⑵P1+P2+„=1．

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即P(xk)P(xk)P(xk1) 3.二点分布：如果随机变量X的分布列为： X P 1 0 p q 三、例子

例1．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．

分析：欲写出ξ的分布列，要先求出ξ的所有取值，以及ξ取每一值时的概率． 解：设黄球的个数为n，由题意知

绿球个数为2n，红球个数为4n，盒中的总数为7n． ∴ P(1)4n7n47，P(0)n7n17，P(1)2n7n27．

所以从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列为

ξ P 1 470 17－1 27 说明：在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1． 例2．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下： ξ 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 10 0.22 P 求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率． 分析：“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ＝7”、“ξ＝8”、“ξ＝9”、“ξ＝10”的和，根据互斥事件的概率加法公式，可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率． 解：根据射手射击所得的环数ξ的分布列，有

P(ξ=7)＝0.09，P(ξ=8)＝0.28，P(ξ=9)＝0.29，P(ξ=10)＝0.22. 所求的概率为 P(ξ≥7)＝0.09+0.28+0.29+0.22＝0.88．

例3．某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．

解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，

1P(ξ=0)=C20(95%)2=0.9025，P(ξ=1)=C2(5%)(95%)=0.095，

P(2)=C22(5%)2=0.0025．

因此，次品数ξ的概率分布是

ξ 0 1 0.095 2 0.0025 P 0.9025 课堂小节：本节课学习了离散型随机变量的分布列 课堂练习： 课后作业：

2.1.3超几何分布

教学目标：

1、理解理解超几何分布；

2、了解超几何分布的应用． 教学重点：

1、理解理解超几何分布； 2、了解超几何分布的应用 教学过程

一、复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量: 随机变量 值

则称

只能取有限个数值

或可列无穷多个数

取有限个数

为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量

值的情形.

3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，„，x3，„，

ξ取每一个值xi（i=1，2，„）的概率为P(xi)pi，则称表

ξ P x1 P1 x2 P2 „ „ xi Pi „ „ P(A)1为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0，并且不可能事

件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，„； ⑵P1+P2+„=1．

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即P(xk)P(xk)P(xk1) 5.二点分布：如果随机变量X的分布列为 X P 二、讲解新课：

1 0 p q 在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=m 则P(Xm)CnCNnCNMmMm.此时我们称随机变量X服从超几何分布

1）超几何分布的模型是不放回抽样 2）超几何分布中的参数是M,N,n 三、例子

例1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？ 解：由题意可见此问题归结为超几何分布模型由上述公式得 P(X4)C10C20C305410.029

例2.一批零件共100件，其中有5件次品.现在从中任取10件进行检查，求取道次品件数的分布列. 解：由题意 X P 0 0．58375 1 0.33939 2 0.07022 3 0.00638 4 0.00025 5 0.00001 课堂小节：本节课学习了超几何及其分布列 课堂练习： 课后作业：

2.2.1条件概率

（第一课时）

教学目标：

了解条件概率及其应用 教学重点：

了解条件概率及其应用 教学过程

一、复习引入：

1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母ξ、η等表示 2. 离散型随机变量: 随机变量 值

则称

只能取有限个数值

或可列无穷多个数

取有限个数

为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量

值的情形.

3. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1，x2，„，x3，„，

ξ取每一个值xi（i=1，2，„）的概率为P(xi)pi，则称表

ξ P x1 P1 x2 P2 „ „ xi Pi „ „ P(A)1为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列 4. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0，并且不可能事

件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：

⑴Pi≥0，i＝1，2，„； ⑵P1+P2+„=1．

对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和 即P(xk)P(xk)P(xk1) 5.二点分布：如果随机变量X的分布列为： X P 1 0 p q 6．超几何分布：在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=m 则P(Xm)CnCNnCNMmMm.此时我们称随机变量X服从超几何分布

二、讲解新课：

任一个随机试验都是在某些基本条件下进行的，在这些基本条件下某个事件A的发生具有某种概率. 但如果除了这些基本条件外还有附加条件，所得概率就可能不同.这些附加条

件可以看成是另外某个事件B发生.

条件概率这一概念是概率论中的基本工具之一. 给定一个概率空间，并希望知道某一事件A发生的可能性大小. 尽管我们不可能完全知道试验结果，但往往会掌握一些与事件A相关的信息，这对我们的判断有一定的影响. 例如，投掷一均匀骰子，并且已知出现的是偶数点，那么对试验结果的判断与没有这一已知条件的情形有所不同. 一般地，在已知另一事件B发生的前提下，事件A发生的可能性大小不一定再是P(A).

已知事件B发生条件下事件A发生的概率称为事件A关于事件B的条件概率，记作

P(A|B).

在某种情况下，条件的附加意味着对样本空间进行压缩，相应的概率可在压缩的样本空间内直接计算.

例1 盒中有球如表. 任取一球，记A={取得蓝球}，B={取得玻璃球}， 显然这是古典概

1116.

P(A)型. 包含的样本点总数为16，A包含的样本点总数为11，故

红 蓝 总计 玻璃 木质 2 3 4 7 6 10 总计 5 11 16 如果已知取得为玻璃球，这就B是发生条件下A发生的条件概率，记作P(A|B). 在B发生的条件下可能取得的样本点总数应为“玻璃球的总数”，也即把样本空间压缩到玻璃球全体. 而在B发生条件下A包含的样本点数为蓝玻璃球数，故

4623.

P(A|B)一般说来，在古典概型下，都可以这样做.但若回到原来的样本空间，则当P(B)0，有

在B发生的条件下A包含的样本点数在B发生的条件下样本点数AB包含的样本点数B包含的样本点数P（AB）P（B）.

P(A|B)＝ ＝

＝AB包含的样本点数/总数B包含的样本点数/总数＝这式子对几何概率也成立. 由此得出如下的一般定义.

定义1 对任意事件A和B，若P(B)0，则“在事件B发生的条件下A的条件概率”，记作P(A | B)，定义为

P(A|B)＝P（AB）P（B）.

(1)

例2 甲乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲为20%，

乙为18%，两市同时下雨的天数占12%. 求：

① 乙市下雨时甲市也下雨的概率；② 甲乙两市至少一市下雨的概率.

解 分别用A，B记事件{甲下雨}和{乙下雨}. 按题意有，P(A)20%，P(B)18%，

P(AB)12%.

① 所求为

P(A|B)P(AB)P(B)121823.

② 所求为

P(AB)P(A)P(B)P(AB)

20%18%12%26%.

课堂小节：本节课学习了条件概率的定义 课堂练习： 课后作业：

2.2.1条件概率

（第二课时）

教学目标：

了解条件概率的简单应用 教学重点：

了解条件概率的简单应用 教学过程

一、复习引入：

1. 已知事件B发生条件下事件A发生的概率称为事件A关于事件B的条件概率，记作

P(A|B).

2. 对任意事件A和B，若P(B)0，则“在事件B发生的条件下A的条件概率”，记作P(A | B)，定义为

P(A|B)＝P（AB）P（B）

二、讲解新课：

对任意事件A和B，若P(B)0，则“在事件B发生的条件下A的条件概率”，记作P(A | B)，定义为

P(A|B)＝P（AB）P（B）

反过来可以用条件概率表示A、B的乘积概率，即有乘法公式 若P(B)0，则P(AB)P(B)P(A|B), 同样有

(2)

(2)

若P(A)0，则P(AB)P(A)P(B|A).

从上面定义可见，条件概率有着与一般概率相同的性质，即非负性，规范性和可列可加性. 由

此它也可与一般概率同样运算，只要每次都加上“在某事件发生的条件下”即成. 两个事件的乘法公式还可推广到n个事件，即

P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)

P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1) (3)

具体解题时，条件概率可以依照定义计算，也可能如例1直接按照条件概率的意义在压缩的样本空间中计算；同样，乘积事件的概率可依照公式(2) 或(2)计算，也可按照乘积的意义直接计算，均视问题的具体性质而定. 例1 n张彩票中有一个中奖票.

① 已知前面k1个人没摸到中奖票，求第k个人摸到的概率； ② 求第k个人摸到的概率.

解 问题 ① 是在条件“前面(k1)个人没摸到”下的条件概率. ② 是无条件概率. 记Ai={第i个人摸到}，则 ① 的条件是A1A2Ak1. 在压缩样本空间中由古典概型直接可得

1① P(Ak|A1A2Ak1)=nk1；

② 所求为P(Ak)，但对本题，AkA1A2Ak1Ak, 由(3)式及古典概率计算公式有

P(Ak)＝P(A1A2Ak1Ak)

＝P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(Ak|A1A2Ak1)

n1n2n3nk111n. nn1n2nk2nk1

这说明每人摸到奖券的概率与摸的先后次序无关. 课堂小节：本节课学习了条件概率简单应用 课堂练习： 课后作业：

2.2.2事件的独立性

（第一课时）

教学目标：

了解两个事件相互独立的概念 教学重点：

了解两个事件相互独立的概念 教学过程

一、复习引入：

1. 已知事件B发生条件下事件A发生的概率称为事件A关于事件B的条件概率，记作

P(A|B).

2. 对任意事件A和B，若P(B)0，则“在事件B发生的条件下A的条件概率”，记作P(A | B)，定义为

P(A|B)＝P（AB）P（B）

二、讲解新课：

1、引例：盒中有5个球其中有3个绿的2个红的，每次取一个有放回的取两次，设

A第一次抽取,取到绿球,B第二次抽取,取到绿球,

则P(BA)P(B)2、两个事件的独立性

35

事件B发生与否可能对事件A发生的概率有影响，但也有相反的情况，即有时没有

P(A|B)P(A).

(1)

这时，P(AB)P(B)P(A|B)P(A)P(B). 反过来，若

P(AB)P(A)P(B),

 (2)

P(A)P(A|B)P(AB)P(B)P(A)P(B)P(B)则 .

这种情况称A与B独立. 当P(B)0时，(1)式与(2)式是等价的，一般情况下独立的定义

来用(2)式，因为在形式上它关于A与B对称，且便于推广到n个事件. (2)式也取消了

P(B)0的条件. 事实上，若B, 则P(B)0, 同时就有P(AB)0，此时不论A是

什么事件，都有(2)式，亦即任何事件都与独立. 同理任何事件也与必然事件独立. 注：

1）实际应用中，如何判断两事件的独立性？

实际应用中，对于事件的独立性，我们常常不是用定义来判断，而是由试验方式来判断试验的独立性，由试验的独立性来判断事件的独立性，或者说根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件的概率来判断。例如，在放回摸球（袋中有白球

和红球）试验中， 与第一次试验有关，

表示“第一次摸得白球”， 表示“第二次摸得白球”。由于

与

只

只与第二次试验有关，可知

独立，而在不放回摸球试

验中，它们却不独立，又如甲、乙两名射手在相同条件下进行射击，则“甲击中目标”与“乙击中目标”两事件是独立的。

如果对实际问题中的事件还难以判断它们是否独立，则需要利用统计资料进行分析，再来判断是否符合事件独立性的条件。

2）互斥与独立

1)两事件

系，并不是说 斥。

互斥是指

相互独立是指事件

间没有关系。相反若

的出现必导致

出现的概率与事件 独立，则常有

是否出现没有关

与

不互是否出

Ø，即

的不出现，并没有说 出现的概率与

现有关系。

事实上，当

，但

立。 若 导致矛盾）。

2)在使用加法公式P(AB)P(A)P(B)P(AB)时，

若 若

互斥，P(AB)P(A)P(B)；

独立，P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)。 独立，则

，

，因而等式

，从而 时，若

互斥，则 AB，从而

不成立，即互斥未必独不互斥（否则，

，

例1甲, 乙两人同时向敌人炮击,已知甲击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概率为0.5, 求敌机被击中的概率.

例2口袋中有a只黑球b只白球，连摸两次，每次一球. 记A={第一次摸时得黑球}，

B={第二次摸时得黑球}. 问A与B是否独立？就两种情况进行讨论：① 有放回；② 无放

回.

解 因为P(A)0，我们可以用P(B|A)是否等于P(B)来检验独立性. 对于情况 ①，利

aab，再利用全概率公式，得

用古典概型，有

P(B|A)P(B|A)P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)

aabaaab.

abababab故P(B|A)P(B)，A与B相互独立.

a1ab1，aaab1， 再利用全概率公式，有

对于情况 ②，此时

P(B)aP(B|A)bP(B|A)a1abab1aababab1

P(B|A)，

A与B不独立.

这说明每人摸到奖券的概率与摸的先后次序无关. 课堂小节：本节课学习了两个事件相互独立的概念 课堂练习： 课后作业：

2.2.2事件的独立性

（第二课时）

教学目标：

了解两个事件相互独立的概念及简单应用 教学重点：

了解两个事件相互独立的概念及简单应用 教学过程

一、复习引入：

1. 已知事件B发生条件下事件A发生的概率称为事件A关于事件B的条件概率，记作

P(A|B).

2. 对任意事件A和B，若P(B)0，则“在事件B发生的条件下A的条件概率”，记作

P(A | B)，定义为

P(A|B)＝P（AB）P（B）

3. 事件B发生与否对事件A发生的概率没有影响，即 P(A|B)P(A). 称A与B独立 二、讲解新课：

1、多个事件的独立性

对n个事件，除考虑两两的独立性以外，还得考虑其整体的相互独立性. 以三个事件A,

B, C为例.

定义 若

P(AB)P(A)P(B)P(AC)P(A)P(C)P(BC)P(B)P(C)

(1)

且

(2)

P(ABC)P(A)P(B)P(C)

则称A, B, C相互独立. (1)式表示A, B, C两两独立，所以独立包含了两两独立. 但A,

B, C的两两独立并不能代替三个事件相互独立，因为还有(2)式. 那么(1)式是否包含(2)式

呢？回答是否定的，有例如下：

例 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面为白色，第三面为黑色，第四面红白黑三色都有. 分别用A, B, C记投一次四面体时底面出现红、白、黑的事件. 由于在四面

12；同理,

12；同时出现两色或同时出现

体中有两面出现红色，故三色只有第四面，故

P(A)P(B)P(C)P(AB)P(AC)P(BC)P(ABC)14,

因此

P(AB)P(A)P(B), P(AC)P(A)P(C)， P(BC)P(B)P(C)，

(1)式成立，A, B, C两两独立. 但 即(2)式不成立.

P(ABC)14P(A)P(B)P(C)18,

2、例子

一个系统能正常工作的概率称为该系统的可靠性. 现有两系统都由同类电子元件

A, B, C、D所组成.每个元件的可靠性都是p，试分别求两个系统的可靠性.

解 以R1与R2分别记两个系统的可靠性，以A, B, C、D分别记相应元件工作正常的事件，则可认为A, B, C、D相互独立，有

R1P(A(BC)D)P(ABDACD)

P(ABD)P(ACD)P(ABCD)

P(A)P(B)P(D)P(A)P(C)P(D)P(A)P(B)P(C)P(D)

p(2p),

R2P(ABCD)P(AB)P(CD)P(AB)P(AC)P(ABCD)

3 p(2p).

22显然R2R1.

可靠性理论在系统科学中有广泛的应用，系统的可靠性的研究具有重要意义.

课堂小节：本节课学习了事件相互独立的简单应用 课堂练习： 课后作业：

2.2.3独立重复试验与二项分布

（第一课时）

教学目标：

理解n次独立重复试验的模型及二项分布 教学重点：

理解n次独立重复试验的模型及二项分布 教学过程

一、复习引入：

1. 已知事件B发生条件下事件A发生的概率称为事件A关于事件B的条件概率，记作

P(A|B).

2. 对任意事件A和B，若P(B)0，则“在事件B发生的条件下A的条件概率”，记作

P(A|B)＝P（AB）P（B）

P(A | B)，定义为

3. 事件B发生与否对事件A发生的概率没有影响，即 P(A|B)P(A). 称A与B独立 二、讲解新课：

1 独立重复试验的定义：

指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验 2．独立重复试验的概率公式：

一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个

事件恰好发生k次的概率Pn(k)CnP(1P)它是(1P)P展开式的第k1项

nkknk．

例1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）： （1）5次预报中恰有4次准确的概率； （2）5次预报中至少有4次准确的概率 解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率

P5(4)C50.8(10.8)44540.80.41

4答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.

（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即

PP5(4)P5(5)P5(4)C50.8(10.8)0.80.80.4100.3280.74 4454C50.8(10.8)5555

45答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．

例2．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是

14，求1小时内5台机床中至

少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字） 解：记事件A＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验 1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P5(0)(11小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率P5(1)C5所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为

P1P5(0)P5(1)0.37 1355)()， 4414(114)，

41答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37． 点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法 例3．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？

解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n次 记事件A＝“射击一次，击中目标”，则P(A)0.25． ∵射击n次相当于n次独立重复试验，

∴事件A至少发生1次的概率为P1Pn(0)10.75．

lg144.82，

34n由题意，令10.750.75，∴()4n3n14，∴nlg∴n至少取5．

答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次 课堂小节：本节课学习了n次独立重复试验的模型及二项分布 课堂练习： 课后作业：

2.2.3独立重复试验与二项分布

（第二课时）

教学目标：

了解n次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用 教学重点：

了解n次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用 教学过程

一、复习引入：

1. 已知事件B发生条件下事件A发生的概率称为事件A关于事件B的条件概率，记作

P(A|B).

2. 对任意事件A和B，若P(B)0，则“在事件B发生的条件下A的条件概率”，记作

P(A|B)＝P（AB）P（B）

P(A.) 称A与B独立

P(A | B)，定义为

3. 事件B发生与否对事件A发生的概率没有影响，即 P(A|B)4 独立重复试验的定义：

指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验 5．独立重复试验的概率公式：

一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个

事件恰好发生k次的概率Pn(k)CnP(1P)kknk．

它是(1P)P展开式的第k1项

二、讲解新课：

例1．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？

解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，„„，直到停9次 ∴从低层到顶层停不少于3次的概率

n313164141551514919PC9()()C9()()C9()()C9()

2222222191919233345990129(C9C9C9C9)()2(CCC)()(246)() 999222256设从低层到顶层停k次，则其概率为C9()()22kkk1k19kk19C9()，

2∴当k4或k5时，C9最大，即C9()最大，

219答：从低层到顶层停不少于3次的概率为

233256，停4次或5次概率最大．

例2．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．

（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率． （2）按比赛规则甲获胜的概率．

解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为

12，乙获胜的概率为

12．

记事件A=“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”， 记事件C=“甲打完5局才能取胜”．

①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜 ∴甲打完3局取胜的概率为P(A)C3()231318．

②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负 ∴甲打完4局才能取胜的概率为P(B)C3()22121212316．

③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负 ∴甲打完5局才能取胜的概率为P(C)C4()()222121212316．

(2)事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则DABC， 又因为事件A、B、C彼此互斥，

故P(D)P(ABC)P(A)P(B)P(C)答：按比赛规则甲获胜的概率为

121831631612．

．

例3．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg20.3010）

解：记事件A＝“种一粒种子，发芽”，则P(A)0.8，P(A)10.80.2， （1）设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．

∵每穴种n粒相当于n次独立重复试验，记事件B＝“每穴至少有一粒发芽”，则

P(B)Pn(0)Cn0.8(10.8)0.2．

00nn∴P(B)1P(B)10.2．

由题意，令P(B)98%，所以0.20.02，两边取常用对数得，

nlg0.2lg0.02．即n(lg21)lg22，

nn∴nlg22lg211.69900.69902.43，且nN，所以取n3．

答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%． （2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，

∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为PC30.80.20.384， 答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384 课堂小节：本节课学习了n次独立重复试验的模型及二项分布的简单应用 课堂练习： 课后作业：

2212.4 正态分布、线性回归

一、 知识梳理

1．正态分布的重要性

正态分布是概率统计中最重要的一种分布，其重要性我们可以从以下两方面来理解：一方面，正态分布是自然界最常见的一种分布。一般说来，若影响某一数量指标的随机因素很多，而每个因素所起的作用都不太大，则这个指标服从正态分布。 2．正态曲线及其性质 正态分布函数：f(x)12(x)222e，x∈（-∞，+∞）

3．标准正态曲线

标准正态曲线N（0，1）是一种特殊的正态分布曲线，(x0)1(x0)，以及标准正态总体在任一区间(a，b)内取值概率P(b)(a)。 4．一般正态分布与标准正态分布的转化

由于一般的正态总体N(,)其图像不一定关于y轴对称，对于任一正态总体

N(,)，其取值小于x的概率F(x)(22x)。只要会用它求正态总体N(,2)在

某个特定区间的概率即可。 5．“小概率事件”和假设检验的基本思想

“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件，认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。这种认识便是进行推断的出发点。关于这一点我们要有以下两个方面的认识：一是这里的“几乎不可能发生”是针对“一次试验”来说的，因为试验次数多了，该事件当

然是很可能发生的；二是当我们运用“小概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，我们也有5%的犯错误的可能。

课本是借助于服从正态分布的有关零件尺寸的例子来介绍假设检验的基本思想。进行假设检验一般分三步： 第一步，提出统计假设。课本例子里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布N(,)；

第二步，确定一次试验中的取值a是否落入范围（μ-3σ，μ+3σ）； 第三步，作出推断。如果a∈（μ-3σ，μ+3σ），接受统计假设；如果a(3,3)，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设。 6．相关关系

研究两个变量间的相关关系是学习本节的目的。对于相关关系我们可以从下三个方面加以认识：⑴相关关系与函数关系不同。函数关系中的两个变量间是一种确定性关系。相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系。 ⑵函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。 ⑶函数关系与相关关系之间有着密切联系，在一定的条件下可以相互转化。 7．回归分析

本节所研究的回归分析是回归分析中最简单，也是最基本的一种类型——一元线性回归分析。

对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：

⑴回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法。两个变量具有相关关系是回归分析的前提。

⑵散点图是定义在具有相关系的两个变量基础上的，对于性质不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行相关回归分析。

⑶求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义。 8．相关系数

有时散点图中的各点并不集中在一条直线的附近，仍可以按照求回归直线方程的步骤求得回归直线方程。显然这种情形下求得的回归直线方程没有实际意义。那么，在什么情况下求得的回归直线方程才能对相应的一组观测数据具有代表意义？课本中不加证明地给出了相关系数的公式。相关系数公式的作用在于，我们对一组数据之间的线性相关程度可作出定量的分析，而不是仅凭画出散点图，直觉地从散点图的形状粗浅地得出数据之间的线性相关程度。

9．线性相关性检验

相关性检验是一种假设检验，它给出了一个具体检验y与x之间线性相关与否的具体办法。限于要求，中学阶段只要求掌握这种检验方法的操作步骤，而不要求对这种方法包含的原理进行深入研究。其具体检验的步骤如下：

⑴在课本中的附表3中查出与显著性水平0.05与自由度n-2（n为观测值组数）相应的相关系数临界值r0.05。

n2 ⑵根据公式ri1n2xiyinxy计算r的值。

2n22i1(xinx)(yiny)i1 ⑶检验所得结果。如果|r|r0.05，那么可以认为y与x之间的线性相关关系不显著，从而接受统计假设。如果|r|r0.05，表明一个发生的概率不到5%的事件在一次试验中竟发生了。这个小概率事件的发生使我们有理由认为y与x之间不具有线性相关关系的假设是不成立的，拒绝这一统计假设也就是表明可以认为y与x之间具有线性相关关系。

● 教学目标

1．了解正态分布的意义，能借助正态曲线的图像理解正态曲线的性质。

2．了解标准正态分布的意义和性质，掌握正态总体N(,)转化为标准正态总体N（0，1）的公式F(x)(x2)及其应用；通过生产过程的质量控制图，了解假设

检验的基本思想。

3．了解相关关系、回归分析、散点图等概念，会求回归直线方程。

4．了解相关系数的计算公式及其意义，会用相关系数公式进行计算；了解相关性检验

的方法与步骤，会用相关性检验方法进行检验。

重点：正态分布的意义及主要性质，线性回归的方法和简单应用。 二、基础训练

1.如果随机变量ξ～N（μ，σ2），且Eξ=3，Dξ=1，则P（－1＜ξ≤1＝等于B A.2Φ（1）－1 B.Φ（4）－Φ（2） C.Φ（2）－Φ（4） D.Φ（－4）－Φ（－2）

2. 为考虑广告费用x与销售额y之间的关系，抽取了5家餐厅，得到如下数据： 广告费用（千元） 销售额（千元） 1.0 19.0 4.0 44.0 6.0 40.0 10.0 52.0 14.0 53.0 现要使销售额达到6万元，则需广告费用为__1.5万元____.（保留两位有效数字） 三、例题剖析

【例1】 将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d ℃，液体的温度ξ（单位：℃）是一个随机变量，且ξ～N（d，0.52）. （1）若d=90°，求ξ<89的概率；

（2）若要保持液体的温度至少为80 ℃的概率不低于0.99，问d至少是多少?（其中若η～N（0，1），则Φ（2）=P（η<2）=0.9772，Φ（－2.327）=P（η<－2.327）=0.01）.

在实际生活中，常用统计中假设检验的思想检验产品是否合格，方法是：（1）提出统计

2

假设：某种指标服从正态分布N（μ，σ）；（2）确定一次试验中的取值a；（2）作出统计推断：若a∈（μ－3σ，μ+3σ），则接受假设，若a（μ－3σ，μ+3σ），则拒绝假设.

如：某砖瓦厂生产的砖的“抗断强度”ξ服从正态分布N（30，0.8），质检人员从该厂某一天生产的1000块砖中随机抽查一块，测得它的抗断强度为27.5 kg/cm2，你认为该厂这天 生产的这批砖是否合格?为什么?

【例2】

1. 已知测量误差ξ～N（2，100）（cm），必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过8 cm的频率大于0.9? 2. 随机变量ξ服从正态分布N（0，1），如果P（ξ<1）=0.8413，求P（－1<ξ<0）

3. 公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N（173，72）（cm），问车门应设计多高？

4. 公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ξ～N（173，72）（cm），问车门应设计多高？

5. 一投资者在两个投资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x（万元）分别服从正态分布N（8，32）和N（6，22），投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案?

【例3】设X~N(,)，且总体密度曲线的函数表达式为：f(x)2)及P(1212x2x142e，

x∈R。 ⑴求μ，σ；⑵求P(|x1|2x122)的值。

【例4】公共汽车门的高度是按照确保99%以上的成年男子头部不跟车门顶部碰撞设计的，如果某地成年男子的身高ε～N（173，7）（单位：cm），问车门应设计多高（精确到1cm）？ 【例5】已知某地每单位面积菜地年平均使用氮肥量xkg与每单位面积蔬菜年平均产量

yt之间的关系有如下数据：

1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 年份 x(kg) 70 74 80 78 85 92 90 95 y(t) 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 年份 x(kg) 92 108 115 123 130 138 145 y(t) 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0 ⑴求x与y之间的相关系数，并检验是否线性相关； ⑵若线性相关，求蔬菜产量y与使用氮肥量之间的回归直线方程，并估计每单位面积施肥150kg时，每单位面积蔬菜的年平均产量。

四、同步练习 正态分布、线性回归

1．已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度ε～N（200，18），则取得的这件材料的强度不低于180的概率为（ ）

A．0.9973 B．0.8665 C．0.8413 D．0.8159

0 xa2．已知连续型随机变量x的概率密度函数是f(x)A axb

0 xb 其中常数A>0，则A的值为

A．1

B．b

C．

1ba

D．b-a

^（ ）

3．某工厂某产品产量x（千件）与单位成本y（元）满足回归直线方程y77.361.82x，

则以下说法中正确的是 （ ） A．产量每增加1000件，单位成本下降1.82元 B．产量每减少1000件，单位成本上升1.82元 C．产量每增加1000件，单位成本上升1.82元 D．产量每减少1000件，单位成本下降1.82元

4．工人月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y6090x，下列判断正

确的是 （ ） A．劳动生产率为1000元时，工资为150元 B．劳动生产率提高1000元时，工资提高150元 C．劳动生产率提高1000元时，工资提高90元 D．劳动生产率为1000元时，工资为90元 5．若随机变量ε～N（5，2），且P(ε0 其他6．已知连续型随机变量x的分布函数为：f(x)ax 0x1

a 1x2^ 则a=___________，P(x32)_____________。

7．设随机变量ε服从N（0，1），求下列各式的值：

（1）P(ε≥2.55)； （2）P(ε<-1.44)； （3）P(|ε|<1.52)。 8．某厂生产的圆柱形零件的外径ε～N（4，0.25）。质检人员从该厂生产的1000件零件中

随机抽查一件，测得它的外径为5.7cm。试问该厂生产的这批零件是否合格？

9．现随机抽取了我校10名学生在入学考试中的数学成绩（x）与入学后的第一次考试中的数学成绩（y），数据如下： 学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108 y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71 试问这10个学生的两次数学考试成绩是否具有显著性线性相关关系？

10．某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，从这个工业部门内随机抽取选了10个企业作样本，有如下资料： 产量（千件） 40 42 48 55 65 79 88 100 120 140 生产费用（千元） 150 140 160 170 150 162 185 165 190 185 完成下列要求： （1）计算x与y的相关系数；

（2）对这两个变量之间是否线性相关进行相关性检验；

（3）设回归直线方程为ybxa，求系数a，b。

^3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用

（共计3课时） 授课类型：新授课

一、教学内容与教学对象分析

通过典型案例，学习下列一些常用的统计方法，并能初步应用这些方法解决一些实际问题。

① 通过对典型案例（如“患肺癌与吸烟有关吗”等）的探究。了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及初步应用。 ② 通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，了解回归的基本思想、 方法及其初步应用。 二. 学习目标

1、知识与技能 通过本节知识的学习，了解独立性检验的基本思想和初步应用，能对两个分类变量是否有关做出明确的判断。明确对两个分类变量的独立性检验的基本思想具体步骤，会对具体问题作出独立性检验。

2、过程与方法 在本节知识的学习中，应使学生从具体问题中认识进行独立性检验的作用及必要性，树立学好本节知识的信心，在此基础上学习三维柱形图和二维柱形图，并认识它们的基本作用和存在的不足，从而为学习下面作好铺垫，进而介绍K的平方的计算公式和K的平方的观测值R的求法，以及它们的实际意义。从中得出判断“X与Y有关系”的一般步骤及利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并能较准确地给出这种判断的可靠程度的具体做法和可

信程度的大小。最后介绍了独立性检验思想的综合运用。

3、情感、态度与价值观

通过本节知识的学习，首先让学生了解对两个分类博变量进行独立性检验的必要性和作用，并引导学生注意比较与观测值之间的联系与区别，从而引导学生去探索新知识，培养学生全面的观点和辨证地分析问题，不为假想所迷惑，寻求问题的内在联系，培养学生学习数学、应用数学的良好的数学品质。加强与现实生活相联系，从对实际问题的分析中学会利用图形分析、解决问题及用具体的数量来衡量两个变量之间的联系，学习用图形、数据来正确描述两个变量的关系。明确数学在现实生活中的重要作用和实际价值。教学中，应多给学生提供自主学习、独立探究、合作交流的机会。养成严谨的学习态度及实事求是的分析问题、解决问题的科学世界观，并会用所学到的知识来解决实际问题。 三．教学重点、难点

教学重点：理解独立性检验的基本思想；独立性检验的步骤。 教学难点；1、理解独立性检验的基本思想；

2、了解随机变量K2的含义； 3、独立性检验的步骤。

四、教学策略

教学方法：诱思探究教学法

学习方法：自主探究、观察发现、合作交流、归纳总结。 教学手段：多媒体辅助教学

五、教学过程：

对于性别变量，其取值为男和女两种．这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．在现实生活中，分类变量是大量存在的，例如是否吸烟，宗教信仰，国籍，等等．在日常生活中，我们常常关心两个分类变量之间是否有关系．例如，吸烟与患肺癌是否有关系？性别对于是否喜欢数学课程有影响？等等．

为调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）

表3-7 吸烟与肺癌列联表

不患肺癌 患肺癌 总计 42 49 91 7817 2148 9965 不吸烟 7775 吸烟 总计 2099 9874 那么吸烟是否对患肺癌有影响吗？

像表3一7 这样列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．由吸烟情况和患肺癌情况的列联表可以粗略估计出：在不吸烟者中，有0.54 ％患有肺癌；在吸烟者中，有2.28％患有肺癌．因此，直观上可以得到结论：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异．

与表格相比，三维柱形图和二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况．图3. 2 一1 是列联表的三维柱形图，从中能清晰地看出各个频数的相对大小．

图3.2一2 是叠在一起的二维条形图，其中浅色条高表示不患肺癌的人数，深色条高表示患肺癌的人数．从图中可以看出，吸烟者中患肺癌的比例高于不吸烟者中患肺癌的比例．

为了更清晰地表达这个特征，我们还可用如下的等高条形图表示两种情况下患肺癌的比例．如图3.2一3 所示，在等高条形图中，浅色的条高表示不患肺癌的百分比；深色的条高表示患肺癌的百分比．

通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关”．那么我们是否能够以一定的把握认为“吸烟与患肺癌有关”呢？

为了回答上述问题，我们先假设

H0：吸烟与患肺癌没有关系．用A表示不吸烟， B表示不患肺癌，则“吸烟与患肺癌没有关系”独立”，即假设 H0等价于

PAB）=P(A）+P(B) .

把表3一7中的数字用字母代替，得到如下用字母表示的列联表：

表3-8 吸烟与肺癌列联表

不患肺癌 患肺癌 总计 不吸烟 a 吸烟 总计 c a+c b d b+d a+b c+d a+b+c+d

在表3一8中，a恰好为事件AB发生的频数；a+b 和a+c恰好分别为事件A和B发生的频数．由于频率近似于概率，所以在H0成立的条件下应该有

annn其中nabcd为样本容量， (a+b+c+d)≈(a+b)(a+c) ,

abac,

即ad≈bc.

因此，|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；|ad -bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强．

为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上面的分析，我们构造一个随机变量

K2nadbc2abcdacbd (1)

其中nabcd为样本容量．

若 H0 成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则 K “应该很小．根据表3一7中的数据，利用公式（1）计算得到 K “的观测值为

K2996577754942209978172148987491256.632,

这个值到底能告诉我们什么呢？

统计学家经过研究后发现，在 H0成立的情况下，

P(K26.635)0.01. (2)

22 (2）式说明，在H0成立的情况下，K的观测值超过 6. 635 的概率非常小，近似为0 . 01，是一个小概率事件．现在K的观测值k≈56.632 ，远远大于6. 635，所以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”．但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99％的把握认为“吸烟与患肺癌有关系” .

在上述过程中，实际上是借助于随机变量K的观测值k建立了一个判断H0是否成立的规则：

如果k≥6. 635，就判断H0不成立，即认为吸烟与患肺癌有关系；否则，就判断H0成立，即认为吸烟与患肺癌没有关系．

在该规则下，把结论“H0 成立”错判成“H0 不成立”的概率不会超过

P(K226.635)0.01,

即有99％的把握认为从不成立．

上面解决问题的想法类似于反证法．要确认是否能以给定的可信程度认为“两个分类变量有关系”，首先假设该结论不成立，即

H0:“两个分类变量没有关系” 成立．在该假设下我们所构造的随机变量K应该很小．如果由观测数据计算得到的K的观测值k很大，则在一定可信程度上说明H0不成立，即在一定可信程度上认为“两个分类变量有关系”；如果k的值很小，则说明由样本观测数据没有发现反对H0 的充分证据．

怎样判断K的观测值 k 是大还是小呢？这仅需确定一个正数k0，当kk0时就认为

222K的观测值k大．此时相应于k0的判断规则为：

2如果kk0，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”.

我们称这样的k0为一个判断规则的临界值．按照上述规则，把“两个分类变量之间没有关系”错误地判断为“两个分类变量之间有关系”的概率为P(K22k0).

在实际应用中，我们把kk0解释为有(1P(Kk0))100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”；把kk0解释为不能以(1P(Kk0))100%的把握认为“两个分类变量之间有关系”，或者样本观测数据没有提供“两个分类变量之间有关系”的充分证据．上面这种利用随机变量K来确定是否能以一定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变量的独立性检验．

利用上面结论，你能从列表的三维柱形图中看出两个变量是否相关吗？

一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为｛x1,x2｝和｛y1,y2｝, 其样本频数列联表（称为2×2列联表）为：

表3一 9 2×2列联表 a y1 y2 22 总计 ab x1 x2 b c d cd 总计 ac bd abcd

若要推断的论述为

Hl:X与Y有关系，

可以按如下步骤判断结论Hl 成立的可能性：

1．通过三维柱形图和二维条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度．

① 在三维柱形图中，主对角线上两个柱形高度的乘积ad 与副对角线上的两个柱形高度的乘积bc相差越大，H1成立的可能性就越大．

② 在二维条形图中，可以估计满足条件X=x1的个体中具有Y=y1的个体所占的比例

aab，也可以估计满足条件X=x2的个体中具有Y=y2，的个体所占的比例

ccd.“两个

比例的值相差越大，Hl 成立的可能性就越大．

2．可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度．具体做法是：

① 根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；

② 利用公式（ 1 ) ，由观测数据计算得到随机变量K的观测值k;

③ 如果kk0，就以(1P(Kk0))100%的把握认为“X与Y有关系”；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据．

在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值： 表3一10

P(Kk0 222k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0.455 0.708 1.323 2.072 1.323 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 （四）、举例：

例1．在某医院，因为患心脏病而住院的 665 名男性病人中，有 214 人秃顶，而另外 772 名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175 人秃顶．

(1)利用图形判断秃顶与患心脏病是否有关系．

(2)能够以 99 ％的把握认为秃顶与患心脏病有关系吗？为什么？ 解：根据题目所给数据得到如下列联表：

(1)相应的三维柱形图如图3.2一4所示．比较来说，底面副对角线上两个柱体高度的乘积要大一些，可以在某种程度上认为“秃顶与患心脏病有关”.

(2)根据列联表3一11中的数据，得到

k1437(214597175451)38910486657722≈16.373>6 .

因此有 99 ％的把握认为“秃顶与患心脏病有关” . 例2．为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生，得到如下列联表：

表3一12 性别与喜欢数学课程列联表 男 女 喜欢数学课程 不喜欢数学课程 总计 37 35 85 143 122 178 总计 72

228 300 由表中数据计算得K的观测值k4.514．能够以95％的把握认为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系吗？请详细阐明得出结论的依据．

解：可以有约95％以上的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”．作出这种判断的依据是独立性检验的基本思想，具体过程如下：

分别用a , b , c , d 表示样本中喜欢数学课的男生人数、不喜欢数学课的男生人数、喜欢数学课的女生人数、不喜欢数学课的女生人数．如果性别与是否喜欢数学课有关系，则男生中喜欢数学课的比例

aabccd2aab与女生中喜欢数学课的人数比例

ccd应该相差很多，即

|||adbc(ab)(cd)| 应很大．

将上式等号右边的式子乘以常数因子

(abcd)(ab)(c(ac)(bd),

d)然后平方得 K2n(adbc)2(ab)(cd)(ac)(bd)2,

其中nabcd．因此K越大，“性别与喜欢数学课之间有关系”成立的可能性越大．

另一方面，在假设“性别与喜欢数学课之间没有关系”的前提下，事件A ={K≥3. 841｝的概率为P (K≥3. 841) ≈0.05,

因此事件 A 是一个小概率事件．而由样本数据计算得K的观测值k=4.514，即小概率事件 A发生．因此应该断定“性别与喜欢数学课之间有关系”成立，并且这种判断结果出错的可

能性约为5 %．所以，约有95 ％的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”.

补充例题1：打鼾不仅影响别人休息，而且可能与患某种疾病有关，下表是一次调查所得的数据，试问：每一晚都打鼾与患心脏病有关吗？

患心脏病 未患心脏病 合计

30 224 254 每一晚都打鼾

24 1355 1379 不打鼾

54 1579 1633 合计

解：略。

补充例题2： 对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术的病人进行3年跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果如下表所示：

又发作过心脏病 未发作过心脏病 合计 222心脏搭桥手术 血管清障手术 合计 39 29 68 157 167 324 196 196 392 试根据上述数据比较两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别。 解略

（四） 课堂小结 1．知识梳理

2．规律小结

（1）三维柱形图与二维条形图 （2）独立性检验的基本思想 （3）独立性检验的一般方法

（五） 作业：

五 课后反思：

本节内容对独立性检验的探讨过程学生基本没什么困难，还有学生提出了新的探讨路径和思想，学生思维活泼！对独立性检验的作用，本节课也作了系统总结比较。