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2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共 23 题，共 150 分，共 5 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在
条形码区域内。
2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答， 在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
2
0．5 毫米黑色字迹的签字
超出答题区域书写的答案无效；
1．设集合 A＝{ x|x
A．(－∞，1）
－5x＋6>0} ，B＝{ x|x－1<0} ，则 A∩B＝
B．(－2，1） C．(－3，－1） D．(3，＋ ∞）
2．设 z＝－3＋2i，则在复平面内 z 对应的点位于
A．第一象限 3．已知 AB A．－3
＝(2,3），
B．第二象限 C．第三象限
＝1，则
D．第四象限
AC
＝(3，t），
BC AB BC
C．2
＝
D．3
B．－2
4．2019 年 1 月 3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事
业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测 器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星
“鹊桥 ”，鹊桥沿着围绕地月拉
M ，
１
格朗日 L2 点的轨道运行． L2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 定律， r 满足方程：
月球质量为 M２，地月距离为 R，L2 点到月球的距离为 r，根据牛顿运动定律和万有引力
M
1
2
M
2 2
． M
1
( )
R r
3
3
(R r)
设
r
，由于
r R
4
5 2
R
的值很小，因此在近似计算中
3 3 (1
)
3
3 ，则 r 的近似
值为
A．
M
2
R
B．
M
2 1
R
3M
2 R C． 3
M
R D． 3 2
1
M
1
M
1
----
****
2M 3M
理科数学试题 第 1 页（共 9 页）
----
****
5．演讲比赛共有 9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，9从
个原始 评分中去掉1 个最高分、 1 个最低分，得到 7 个有效评分． 7 个有效评分与 9 个原始评分
相比，不变的数字特征是 A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差
6．若 a> b，则
A．ln( a- b）>0
B．3
a
<3b C．a3- b3>0 D．│a│ >│b│
7．设 α， β为两个平面，则α∥ β的充要条件是
A． α内有无数条直线与
β平行
B． α内有两条相交直线与 β平行
C． α， β平行于同一条直线 D． α， β垂直于同一平面
2
2
x
y 1 的一个焦点，则p＝
2
＝2px(p>0）的焦点是椭圆
8．若抛物线 y
3p
p
A．2
B．3 C．4 D．8
为周期且在区间(
9．下列函数中，以
， ）单调递增的是
2
4
2
A．f (x）＝ │ cos2x│ B．f (x）＝ │ sin2 x│ C．f (x）＝ cos │x│ D．f (x）＝ sin │x│
）， 2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝
10．已知 α∈(0，
2
A．
1
5
B．
5
5
C．
3
3
D．
2 5 5
2
2
．设 F 为双曲线 C：
x
y
的右焦点， O
为坐标原点，以
OF 为直径的圆
2
2
1( 0, 0)
a b
a
b
2
2
2
x y a 交于 P，Q 两点．若 PQ
OF ，则C 的离心率为 与圆
A． 2
B． 3
C．2
D． 5
12．设函数 f (x) 的定义域为 R，满足f (x 1) 2 f (x)，且当 x (0,1] 时，
f (x) x(x 1) ．若对任意x (
, m] ，都有
8
f ( x)
，则m 的取值范围是
9
A． (
B．
(
, 9
4
]
, 7 3
] C．
( , 5
2
] D．二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正
点率为 0．97，有 20 个车次的正点率为 0．98，有 10 个车次的正点率为 0．99，则经
停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为
__________． f x ．若 f (ln 2) 8
，则
a __________．
ax
(
, 8 3
]
11
----
****
14．已知 f (x) 是奇函数， 且当 x
0
时，
( ) e
15． △ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c．若
__________． 为积
π 3
b 6,a 2c, B
，则△ABC的面
理科数学试题 第 2 页（共 9 页）
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****
16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体
或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是 “半正多面体 ”（图 1）．半正多面
体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．
半正多面体体现了数学的对称美．
图
2 是一个棱数为 48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正
方体的棱长为 1．则该半正多面体共有 ________个面，其棱长为 _________．（本题第 一空 2 分，第二空 3 分．）
三、解答题： 共 70 分。解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤。 第 17～21 题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第 （一）必考题：共 60 分。 17．（12 分）
如图，长方体 ABCD –A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形，点 E 在棱 AA1 上，BE⊥EC1．
（1）证明： BE⊥平面 EB1C1；
（2）若 AE＝A1E，求二面角 B–EC–C1 的正弦值．
22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
18．（ 12 分）
11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成 10:10 平后， 每球交换发球权， 先多 得 2 分的一方获胜， 该局比赛结束． 甲、 乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的 概率为 0．5，乙发球时甲得分的概率为 后，甲先发球，两人又打了
（1）求 P（X＝2）；
（2）求事件 “X＝4 且甲获胜 ”的概率．
0．4，各球的结果相互独立．在某局双方
10:10 平
X 个球该局比赛结束．
19．（ 12 分）
已知数列 { an}和{ bn}满足 a1＝1，b1＝0，4an 1
3an bn 4 ， 4bn 1 3bn an 4 ．
（1）证明： {an＋bn} 是等比数列， {an–bn} 是等差数列； （2）求{ an} 和{ bn} 的通项公式．
理科数学试题 第 3 页（共 9 页）
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****
20．（ 12 分）
已知函数 f
x ln x
x 1
x 1
．
（1）讨论 f (x）的单调性，并证明 f (x）有且仅有两个零点； （2）设 x0 是 f (x）的一个零点，证明曲线
x
y＝ln x 在点 A(x0，ln x0）处的切线也是曲线
y e 的切线．
21．（ 12 分）
1
已知点 A(- 2,0），B(2,0），动点 M (x,y）满足直线 AM 与 BM 的斜率之积为 - ．记 M
2
的轨迹为曲线 C．
（1）求 C 的方程，并说明 C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交 连结 QE 并延长交 C 于点 G．
（i）证明： △PQG 是直角三角形； （ii）求 △PQG 面积的最大值．
C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限， PE⊥x 轴，垂足为 E，
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修 4－4：坐标系与参数方程 ]（10 分）
在极坐标系中， O 为极点，点 M (
0
, )(
0
0
0) 在曲线 C : 4sin 上，直线 l 过点
A(4,0) 且与 OM 垂直，垂足为 P．
（1）当
0
= 时，求
3
0 及 l 的极坐标方程；
（2）当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程．
23．[选修 4－5：不等式选讲 ]（10 分）
已知 f (x) | x a | x | x 2| (x a). （1）当 a
1时，求不等式 f (x) 0的解集；
,1)时， f (x) 0，求 a的取值范围．
（2）若 x (
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****
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学 ·参考答案
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，
如果考生的解法与本解答不同，
可根据试题
的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。
二、对解答题， 当考生的解答在某一步出现错误时， 内容和难度， 可视影响的程度决定后继部分的给分， 一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题
1．A 7．B 二、填空题
13．0.98 三、解答题：
17．解：（ 1）由已知得， B1C1
平面 ABB1 A1 ， BE
平面 ABB1 A1 ，故 B1C1
14．–3
15．6 3
16．26； 2 1
2．C 8．D
3．C 9．A
4．D 10．B
5．A 11．A
6．C 12．B
如果后继部分的解答末改变该题的 但不得超过该部分正确解答应得分数的
BE．
又 BE EC ，所以 BE 平面 EB1C1 ．
1
（2）由（1）知 BEB1
90 ．由题设知 Rt△ABE 2AB ．
Rt△A1B1E ，所以 AEB 45 ，
AE 故
AA1 AB ，
以 D 为坐标原点， DA 的方向为 x轴正方向， |DA |为单位长，建 立如图所示的空间直角坐标系
则C（0，1，0），B（1，1，
0），
D－xyz，
C （0，1，2），E（1，0，1），
1
CE (1, 1,1)，CC1
(0,0,2) ．
设平面 EBC的法向量为 n＝（x，y，x），则
CB n 0, CE n 0,
即
x 0,
x y z 0,
所以可取 n＝ (0, 1, 1) ．
设平面 ECC 的法向量为 m＝（x，y，z），则
1
CC1 m 0, CE m 0,
即
2z 0,
x y z 0.
所以可取 m＝（1，1，0）．
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----
****
于是 cos n,m
n m | n || m |
1 2
．所以，二面角 B EC C 的正弦值为
1
3
．
2
18．解：（ 1）X＝2就是10：10平后，两人又打了 2个球该局比赛结束，则这 2个球均由甲得
分，或者均由乙得分．因此 P（X＝2）＝0．5×0．4＋（1–0．5）×（1–04）＝05．
（2）X＝4且甲获胜，就是 10：10平后，两人又打了 4个球该局比赛结束，且这 4个球的 得分情况为：前两球是甲、乙各得 1分，后两球均为甲得分．
因此所求概率为
[0．5×（1–0．4）＋（ 1–0．5）×0．4] ×0．5×0．4＝0．1．
1
19．解：（ 1）由题设得 4( an 1 bn 1) 2( an bn ) ，即 a
1
b
1
(a
n n
2
又因为 a是首项为 1，公比为 1
1＋b1＝l，所以 an
bn
2
的等比数列．由题设得 4(an 1
bn 1) 4(an bn ) 8，
即 an 1 bn 1
an bn 2 ．
又因为 a1–b1＝l，所以 an bn 是首项为 1，公差为 2的等差数列．
（2）由（ 1）知，
1 a
b
， an bn 2n 1．
n
n
n 1
2
所以
1 1
1 a
[( a
b ) (a
b )]
n
，
n
n
n
n
n
n
2 2 2 1 1
1
b
[( a
b ) (a
b )]
n ．
n
n
n
n
n
n
2 2
2
20．解：（ 1）f（x）的定义域为（ 0，1），（ 1，＋ ∞）单调递增．
因为 f（e
e 1 2 2
）＝
1 0 ，
e 1 e 3 2
e 1
f (e ) 2 0， 2
2
e 1 e 1
所以 f（x）在（ 1，＋ ∞）有唯一零点 x1，即 f（x1）＝ 0．
又
1 1 x 1
0
1 ，
1
，
x
f ( ) ln x
f (x ) 0
1
1
1
x
x 1
1
1
故 f（x）在（ 0，1）有唯一零点 1
x
．
1
综上， f（x）有且仅有两个零点．
----
b ) ．
n
n
****
（2）因为
1
x
0
e
ln x
1 x 0
，故点 B（–ln x0， 上． ）在曲线 y＝e x
0
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----
****
由题设知 f ( x0 )
0 ，即 ln x
x
0
1 1
，
0
x
0
故直线 AB 的斜率 k
1 1 1
1
1 x
．
0
ln x
0
x
0
x
0
x
0
ln x
0
x
x
0
1
x x
0
0
0
x
1
1
x
曲线 y＝e
1
在点
0
B( ln x ,
0
) 处切线的斜率是
x
0
，曲线 y ln x
在点
A(x ,ln x ) 处切
0
0
x
0
1
线的斜率也是 ，
x
0
所以曲线 y
ln x 在点
A(x ,ln x ) 处的切线也是曲线
0
0
y＝e
2
x 的切线．
21．解：（ 1）由题设得
y
y
1 2
，化简得 x
2
y 2
x 2 x 2
1(| x | 2) ，所以 C 为中心
4
在坐标原点，焦点在 x 轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i）设直线 PQ 的斜率为 k，则其方程为 y
由
kx( k 0) ．
y kx x
2
得 x
y
2
2
1
4
2
1 2k
． 2
记
u
2 1 2k
2
，则 P(u, uk), Q( u, uk), E (u,0) ．
于是直线 QG 的斜率为 得 k
y (x u), 由 2
2 2
1
x y
k
2 ，方程为 y
k
(x u) ． 2
4 2
2
2
2
2 2
(2 k ) x
----
2uk x k u 8 0 ．①
****
设G(x , y ) ，则
G
G
u 和 x 是方程①的解，故 x
G
G
2
2
u(3k 2 k
2) ，由此得 y
G
3
uk
2
．
2 k
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----
****
3
uk
uk
2
．
1
从而直线
PG 的斜率为
2 k
2
u(3k
2
2)
u
k
2 k
所以 PQ
PG ，即 △PQG 是直角三角形．
2 | PG | 2uk k 2 1 2
2 （ii）由（ i）得 | PQ| 2u 1 k ， k ，
所以 △PQG 的面积
2
1 8(
1
8 (1 ) k k
| PQ‖PG
．
2
2
k)
k
S |
1
2
(1 2k )(2 k )
1 2(
k
设t＝k＋
1
，则由 k>0 得 t≥ 2，当且仅当 k＝1 时取等号．
k)
2
k
S 因为
8t 1 2t
． 16
2
在[2，＋ ∞）单调递减，所以当 t＝2，即 k＝1 时， S取得最大值，最大
值为
9
因此， △PQG 面积的最大值为
． 16
9
22．解：（ 1）因为M
0
,
0
在C上，当
0
3
时，
0
4sin
3
． 2 3
cos 由已知得 |OP| |OA |
Q( , )为设l上除 P
2． 3
的任意一点．在
Rt△OPQ中 cos
| | 2
OP
，
3
----
****
经检验，点
P(2, ) 在曲线
3
cos
2 3 2 3
．
上．
所以， l的极坐标方程为 cos
（2）设P( , )，在 Rt△OAP中， | OP | |OA | cos
4cos , 即
,
4cos ．．
．
因为P在线段OM 上，且
AP OM ，故 的取值范围是
----
理科数学试题第 8 页（共9 页）
4 2
****
所以， P点轨迹的极坐标方程为
4cos ,
, ． 4 2
23．解：（1）当 a＝1 时， f (x )=|x 1| x+| x 2|( x 1) ．
x 当
1时，
f (x)
2
2(x 1) 0 ；当 x 1时， f (x) 0．
所以，不等式 f (x) 0的解集为 ( （2）因为 f (a )=0 ，所以 a 当 a
,1) ．
1．
1， x ( ,1) 时， f ( x)=( a x) x +(2 x)( x a)=2( a x)( x 1)<0
) ．
a 的取值范围是 [1, 所以，
理科数学试题 第 9 页（共 9 页）
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