高等数学公式
导数公式：
(tgx)′=sec2x(ctgx)′=−csc2x(secx)′=secx⋅tgx(cscx)′=−cscx⋅ctgx(ax)′=axlna(logax)′=基本积分表：
(arcsinx)′=11xlna1−x21(arccosx)′=−1−x21(arctgx)′=1+x21(arcctgx)′=−1+x2∫tgxdx=−lncosx+C∫ctgxdx=lnsinx+C∫secxdx=lnsecx+tgx+C∫cscxdx=lncscx−ctgx+C1dxxarctg=+C∫a2+x2aa1dxx−aln=∫x2−a22ax+a+C1a+xdx=∫a2−x22alna−x+Cdxxarcsin=+C∫a2−x2aπ2ndx2sec=∫cos2x∫xdx=tgx+Cdx2∫sin2x=∫cscxdx=−ctgx+C∫secx⋅tgxdx=secx+C∫cscx⋅ctgxdx=−cscx+Cax∫adx=lna+Cx∫shxdx=chx+C∫chxdx=shx+C∫dxx2±a2=ln(x+x2±a2)+Cπ2In=∫sinxdx=∫cosnxdx=00n−1In−2n∫∫∫x2a22x+adx=x+a+ln(x+x2+a2)+C22x2a2222x−adx=x−a−lnx+x2−a2+C22x2a2x222a−xdx=a−x+arcsin+C22a22三角函数的有理式积分：
2u1−u2x2du sinx=， cosx=， u=tg， dx=21+u21+u21+u2
一些初等函数： 两个重要极限：
ex−e−x双曲正弦:shx=2ex+e−x双曲余弦:chx=2shxex−e−x=双曲正切:thx=chxex+e−xarshx=ln(x+x2+1）archx=±ln(x+x2−1)11+xarthx=ln21−x三角函数公式： ·诱导公式：
函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α
sinx
=1limx→0 x 1lim(1+)x=e=2.718281828459045...x→∞ x
sin cos tg -tgα ctgα ctg -ctgα tgα -ctgα ctgα tgα -ctgα ctgα -sinα cosα cosα cosα sinα sinα -sinα -ctgα -tgα -cosα -tgα -sinα -cosα tgα -cosα -sinα ctgα -cosα sinα -sinα cosα sinα cosα -tgα tgα -ctgα -tgα
·和差角公式： ·和差化积公式：
sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβcos(α±β)=cosαcosβsinαsinβtgα±tgβtg(α±β)=1tgα⋅tgβctgα⋅ctgβ1ctg(α±β)=ctgβ±ctgα
sinα+sinβ=2sinα+β22α+βα−βsinα−sinβ=2cossin22α+βα−βcosα+cosβ=2coscos22α+βα−βcosα−cosβ=2sinsin22cosα−β
·倍角公式：
sin2α=2sinαcosαcos2α=2cos2α−1=1−2sin2α=cos2α−sin2αctg2α−1ctg2α=2ctgα2tgαtg2α=1−tg2α
·半角公式：
sin3α=3sinα−4sin3αcos3α=4cos3α−3cosα3tgα−tg3αtg3α=1−3tg2αsintgα2=±=±1−cosαα1+cosαcos=± 222sinα1−cosα1−cosαsinαα1+cosα1+cosα== ctg=±==1−cosαsinα1−cosα1+cosαsinα1+cosα2abc===2R ·余弦定理：c2=a2+b2−2abcosC sinAsinBsinCα2
·正弦定理：
·反三角函数性质：arcsinx=π2−arccosx arctgx=π2−arcctgx
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
(uv)
(n)
k(n−k)(k)
=∑Cnuvk=0
n
=u(n)v+nu(n−1)v′+n(n−1)(n−2)n(n−1)(n−k+1)(n−k)(k)
uv′′++uv++uv(n)
2!k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a)f(b)−f(a)f′(ξ)=柯西中值定理：F(b)−F(a)F′(ξ)曲率：
当F(x)=x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。弧微分公式：ds=1+y′2dx,其中y′=tgαK=平均曲率：∆α.∆α:从M点到M′点，切线斜率的倾角变化量；∆s：MM′弧长。∆sy′′dα∆α ==M点的曲率：K=lim.23∆s→0∆sds(1+y′)直线：K=0;1半径为a的圆：K=.a
定积分的近似计算：
b矩形法：∫f(x)≈abb−a(y0+y1++yn−1)nb−a1[(y0+yn)+y1++yn−1]n2b−a[(y0+yn)+2(y2+y4++yn−2)+4(y1+y3++yn−1)]3n
梯形法：∫f(x)≈ab抛物线法：∫f(x)≈a定积分应用相关公式：
功：W=F⋅s水压力：F=p⋅Amm引力：F=k122,k为引力系数
rb1函数的平均值：y=f(x)dx∫b−aa1f2(t)dt均方根：∫b−aa空间解析几何和向量代数：
b空间2点的距离：d=M1M2=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2向量在轴上的投影：PrjuAB=AB⋅cosϕ,ϕ是AB与u轴的夹角。Prju(a1+a2)=Prja1+Prja2a⋅b=a⋅bcosθ=axbx+ayby+azbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosθ=ic=a×b=axbxjaybyaxbx+ayby+azbzax+ay+az⋅bx+by+bz222222kaz,c=a⋅bsinθ.例：线速度：v=w×r.bzaybycyazbz=a×b⋅ccosα,α为锐角时， czax向量的混合积：[abc]=(a×b)⋅c=bxcx代表平行六面体的体积。
平面的方程：1、点法式：A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0，其中n={A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：Ax+By+Cz+D=0xyz3、截距世方程：++=1abc平面外任意一点到该平面的距离：d=Ax0+By0+Cz0+DA2+B2+C2x=x0+mtx−x0y−y0z−z0空间直线的方程：===t,其中s={m,n,p};参数方程：y=y0+ntmnpz=z+pt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：2+2+2=1bcax2y2=z（2、抛物面：+,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2+2−2=1abcx2y2z2双叶双曲面：2−2+2=（马鞍面）1abc
多元函数微分法及应用
全微分：dz=∂u∂u∂z∂z∂udx+dy du=dx+dy+dz∂y∂z∂x∂y∂x全微分的近似计算：∆z≈dz=fx(x,y)∆x+fy(x,y)∆y多元复合函数的求导法：dz∂z∂u∂z∂vz=f[u(t),v(t)] =⋅+⋅ dt∂u∂t∂v∂t∂z∂z∂u∂z∂vz=f[u(x,y),v(x,y)] = ⋅+⋅∂x∂u∂x∂v∂x当u=u(x,y)，v=v(x,y)时，du=∂u∂u∂v∂vdx+dy dv=dx+dy ∂x∂y∂x∂y隐函数的求导公式：FdyFFx∂dyd2y∂隐函数F(x,y)=0， =−， 2=(−x)＋(−x)⋅∂xFy∂yFydxdxFydxFyFx∂z∂z隐函数F(x,y,z)=0， =−， =−FzFz∂x∂y
∂FF(x,y,u,v)=0∂(F,G)∂uJ隐函数方程组： ==∂GGxyuv=(,,,)0uv∂(,)∂u∂u∂v1∂(F,G)1∂(F,G) =−⋅=−⋅∂xJ∂(x,v)∂xJ∂(u,x)∂u∂v1∂(F,G)1∂(F,G) =−⋅=−⋅∂yJ∂(y,v)∂yJ∂(u,y)微分法在几何上的应用：
∂F∂v=Fu∂GGu∂vFvGv
x=ϕ(t)x−xy−y0z−z0=空间曲线y=ψ(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0=′′()()ttϕψω′(t0)00z=ω(t)在点M处的法平面方程：ϕ′(t0)(x−x0)+ψ′(t0)(y−y0)+ω′(t0)(z−z0)=0FyFzFzFxFxF(x,y,z)=0,则切向量T={,,若空间曲线方程为：GGGxGG=(,,)0Gxyzyzzx曲面F(x,y,z)=0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n={Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}Fy}Gy2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(x−x0)+Fy(x0,y0,z0)(y−y0)+Fz(x0,y0,z0)(z−z0)=0y−y0z−z0x−x03、过此点的法线方程：==Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：
∂f∂f∂f函数z=f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：=cosϕ+sinϕ∂l∂x∂y其中ϕ为x轴到方向l的转角。∂f∂fi+j∂x∂y
∂f它与方向导数的关系是：=gradf(x,y)⋅e，其中e=cosϕ⋅i+sinϕ⋅j，为l方向上的∂l单位向量。∂f∴是gradf(x,y)在l上的投影。∂l函数z=f(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=多元函数的极值及其求法：
设fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0，令：fxx(x0,y0)=A, fxy(x0,y0)=B, fyy(x0,y0)=CA<0,(x0,y0)为极大值20ACB时，−>A>0,(x0,y0)为极小值2则：AC−B<0时， 无极值AC−B2=0时, 不确定
重积分及其应用：
∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(rcosθ,rsinθ)rdrdθDD′曲面z=f(x,y)的面积A=∫∫D∂z∂z1++dxdy∂yx∂22平面薄片的重心：x=Mx=M∫∫xρ(x,y)dσD∫∫ρ(x,y)dσDD, y=MyM=∫∫yρ(x,y)dσD∫∫ρ(x,y)dσDD
平面薄片的转动惯量：对于x轴Ix=∫∫y2ρ(x,y)dσ, 对于y轴Iy=∫∫x2ρ(x,y)dσ平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a>0)的引力：F={Fx,Fy,Fz}，其中：Fx=f∫∫Dρ(x,y)xdσ(x+y+a)2222， Fy=f∫∫3Dρ(x,y)ydσ(x+y+a)2222， Fz=−fa∫∫3Dρ(x,y)xdσ(x+y+a)22322柱面坐标和球面坐标：
x=rcosθf(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,θ,z)rdrdθdz,柱面坐标：y=rsinθ, ∫∫∫ΩΩz=z其中：F(r,θ,z)=f(rcosθ,rsinθ,z)x=rsinϕcosθ2球面坐标：y=rsinϕsinθ， dv=rdϕ⋅rsinϕ⋅dθ⋅dr=rsinϕdrdϕdθz=rcosϕ2π2
πr(ϕ,θ)2F(r,ϕ,θ)rsinϕdr∫0∫∫∫f(x,y,z)dxdydz=∫∫∫F(r,ϕ,θ)rsinϕdrdϕdθ=∫dθ∫dϕΩΩ00重心：x=1M∫∫∫xρdv, y=ΩΩ1M∫∫∫yρdv, z=ΩΩ1M∫∫∫zρdv， 其中M=x=∫∫∫ρdvΩΩΩ转动惯量：Ix=∫∫∫(y2+z2)ρdv， Iy=∫∫∫(x2+z2)ρdv， Iz=∫∫∫(x2+y2)ρdv曲线积分：
第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x=ϕ(t), (α≤t≤β),则：设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：y=ψ(t)∫Lx=t22′′f(x,y)ds=∫f[ϕ(t),ψ(t)]ϕ(t)+ψ(t)dt (α<β) 特殊情况：y=ϕ(t)αβ
第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x=ϕ(t)设L的参数方程为，则：ψ()yt=β∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy=α∫{P[ϕ(t),ψ(t)]ϕ′(t)+Q[ϕ(t),ψ(t)]ψ′(t)}dtL两类曲线积分之间的关系：∫Pdx+Qdy=∫(Pcosα+Qcosβ)ds，其中α和β分别为LLL上积分起止点处切向量的方向角。∂Q∂P∂Q∂P(−)=+(−)dxdy=∫Pdx+QdydxdyPdxQdy格林公式：格林公式：∫∫∫∫∫∂x∂y∂x∂yDLDL1∂Q∂P=2时，得到D的面积：A=∫∫dxdy=∫xdy−ydx当P=−y,Q=x，即：−∂x∂y2LD·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：∂Q∂P在＝时，Pdx+Qdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：∂x∂y(x,y)∂Q∂P＝。注意奇点，如(0,0)，应∂x∂y
u(x,y)=(x0,y0)∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy，通常设x0=y0=0。曲面积分：
22fxyzdsfxyzxyzxyz对面积的曲面积分：(,,)=[,,(,)]1+(,)+(x,y)dxdyxy∫∫∫∫∑Dxy对坐标的曲面积分：∫∫P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy，其中：∑∫∫R(x,y,z)dxdy=±∫∫R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正号；∑Dxy∫∫P(x,y,z)dydz=±∫∫P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正号；∑Dyz
∫∫Q(x,y,z)dzdx=±∫∫Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。∑Dzx两类曲面积分之间的关系：∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds∑∑高斯公式：
∫∫∫(Ω∂P∂Q∂R)dv=∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds++∂x∂y∂z∑∑高斯公式的物理意义——通量与散度：∂P∂Q∂R,即：单位体积内所产生的流体质量，若divν<0,则为消失...++散度：divν=∂x∂y∂z通量：∫∫A⋅nds=∫∫Ands=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)ds，因此，高斯公式又可写成：∫∫∫divAdv=∫∫AndsΩ∑∑∑∑斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
∫∫(∑∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P)dydz+(−)dzdx+(−−)dxdy=∫Pdx+Qdy+Rdz∂y∂z∂z∂x∂x∂yΓcosβ∂∂yQcosγ∂∂zR
cosαdydzdzdxdxdy∂∂∂∂=上式左端又可写成：∫∫∫∫xyz∂∂∂∂x∑∑PQRP∂R∂Q∂P∂R∂Q∂P空间曲线积分与路径无关的条件：=， =， =∂x∂y∂z∂x∂y∂zijk∂∂∂旋度：rotA=∂x∂y∂zPQR向量场A沿有向闭曲线Γ的环流量：∫Pdx+Qdy+Rdz=∫A⋅tdsΓΓ常数项级数：
1−qn
1+q+q++q=等比数列：
1−q(n+1)n
1+2+3++n=等差数列：
2
111
调和级数：1++++是发散的
23n
2
n−1
级数审敛法：
1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：ρ<1时，级数收敛
设：ρ=limnun，则ρ>1时，级数发散
n→∞
ρ=1时，不确定2、比值审敛法：
ρ<1时，级数收敛
U
设：ρ=limn+1，则ρ>1时，级数发散
n→∞Unρ=1时，不确定
3、定义法：
sn=u1+u2++un;limsn存在，则收敛；否则发散。
n→∞
交错级数u1−u2+u3−u4+(或−u1+u2−u3+,un>0)的审敛法——莱布尼兹定理： un≥un+1如果交错级数满足，那么级数收敛且其和s≤u1,其余项rn的绝对值rn≤un+1。limu=0n→∞n绝对收敛与条件收敛：
(1)u1+u2++un+，其中un为任意实数；(2)u1+u2+u3++un+如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1(−1)n调和级数：∑n发散，而∑n收敛；1 级数：∑n2收敛；ｐ≤１时发散1 p级数：∑np p>1时收敛幂级数：
1<1x时，收敛于1−x1+x+x2+x3++xn+ x≥1时，发散+a2x2++anxn+，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全对于级数(3)a0+a1x x ρ≠0时，R=求收敛半径的方法：设liman+1=ρ，其中an，an+1是(3)的系数，则ρ=0时，R=+∞n→∞anρ=+∞时，R=0ρ函数展开成幂级数： f′′(x0)f(n)(x0)2(x−x0)n+函数展开成泰勒级数：f(x)=f(x0)(x−x0)+(x−x0)++2!n!f(n+1)(ξ) (x−x0)n+1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn=0余项：Rn=n→∞(n+1)!f(n)(0)nf′′(0)2x++x+x0=0时即为麦克劳林公式：f(x)=f(0)+f′(0)x+2!n!一些函数展开成幂级数： m(m−1)2m(m−1)(m−n+1)nx++x+ (−1 a0∞f(t)=A0+∑Ansin(nωt+ϕn)=+∑(ancosnx+bnsinnx)2n=1n=1其中，a0=aA0，an=Ansinϕn，bn=Ancosϕn，ωt=x。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[−π,π]上的积分＝0。傅立叶级数： ∞ a0∞f(x)=+∑(ancosnx+bnsinnx)，周期=2π2n=1π1(n=0,1,2)an=∫f(x)cosnxdx π−π其中π1b=fxnxdx (n=1,2,3)nπ∫()sin−π11π21+2+2+=358 π2111+2+2+=224246π21111+2+2+2+=（相加）6234111π21−2+2−2+=（相减）12234f(x)sinnxdx n=1,2,3 f(x)=∑b∫π0 正弦级数：an=0，bn=余弦级数：bn=0，an=2πnsinnx是奇函数2ππ∫0f(x)cosnxdx n=0,1,2 f(x)=a0+∑ancosnx是偶函数2周期为2l的周期函数的傅立叶级数： a0∞nπxnπx+bnsin)，周期=2lf(x)=+∑(ancos2n=1lll1nπx=af(x)cosdx (n=0,1,2)n∫ll−l其中lb=1f(x)sinnπxdx (n=1,2,3)nl∫l−l 微分方程的相关概念： 一阶微分方程：y′=f(x,y) 或 P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy=f(x)dx的形式，解法： ∫g(y)dy=∫f(x)dx 得：G(y)=F(x)+C称为隐式通解。 dyy =f(x,y)=ϕ(x,y)，即写成的函数，解法： dxx ydydududxduy设u=，则=u+x，u+分离变量，积分后将代替u，=ϕ(u)，∴= dxxϕ(u)−uxxdxdx齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。 一阶线性微分方程： dy1、一阶线性微分方程：+P(x)y=Q(x)dx−P(x)dx当Q(x)=0时,为齐次方程，y=Ce∫−P(x)dxP(x)dx当Q(x)≠0时，为非齐次方程，y=(∫Q(x)e∫dx+C)e∫ dy2、贝努力方程：+P(x)y=Q(x)yn，(n≠0,1)dx全微分方程： 如果P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0中左端是某函数的全微分方程，即：∂u∂udu(x,y)=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0，其中：=P(x,y)，=Q(x,y) ∂x∂y∴u(x,y)=C应该是该全微分方程的通解。二阶微分方程： f(x)≡0时为齐次d2ydyPxQxyfx()()() ++=，2dxdxf(x)≠0时为非齐次二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： (*)y′′+py′+qy=0，其中p,q为常数；求解步骤：1、写出特征方程：(∆)r2+pr+q=0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y′′,y′,y的系数；2、求出(∆)式的两个根r1,r2 3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：r1，r2的形式 两个不相等实根(p2−4q>0) 两个相等实根(p−4q=0) 一对共轭复根(p2−4q<0) 2(*)式的通解 y=c1er1x+c2er2x y=(c1+c2x)er1x y=eαx(c1cosβx+c2sinβx) r1=α+iβ，r2=α−iβ4q−p2 pα=−，β=22二阶常系数非齐次线性微分方程 y′′+py′+qy=f(x)，p,q为常数f(x)=eλxPm(x)型，λ为常数；f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]型 线性代数公式大全——最新修订 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、Aij和aij的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij=Aij=(−1)i+jAij(−1)i+jMij 4. 设n行列式D： 将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2==(−1) n(n−1) 2 D； (−1)n(n−1)2D； 将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3=D； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4=D； 5. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积× (−1)n(n−1)2； ③、上、下三角行列式（ ◥◣ = ）：主对角元素的乘积； ④、 ◤ 和 ◢ ：副对角元素的乘积× (−1)⑤、拉普拉斯展开式： AOCBACOBn(n−1)2； CABOOABC(−1)mnAB AB、 ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值； 6. 对于n阶行列式A，恒有：λE−A=λ+∑(−1)kSkλn−k，其中Sk为k阶主子式； nk=1n7. 证明A=0的方法： ①、A=−A； ②、反证法； ③、构造齐次方程组Ax=0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A) 1. A是n阶可逆矩阵： ⇔A≠0（是非奇异矩阵）； ⇔r(A)=n（是满秩矩阵） = ⇔A的行（列）向量组线性无关； ⇔齐次方程组Ax=0有非零解； ⇔∀b∈Rn，Ax=b总有唯一解； ⇔A与E等价； ⇔A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ⇔A的特征值全不为0； ⇔ATA是正定矩阵； ⇔A的行（列）向量组是Rn的一组基； ⇔A是Rn中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于n阶矩阵A：AA*3. (A−1)*(AB)T(A*)−1BTATA*A(A−1)T(AB)*AE 无条件恒成立； (AT)−1B*A*(A*)T(AB)−1(AT)* B−1A−1 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆： ====若A=A1==A2，则： ==AsⅠ、A=A1A2As； A1−1Ⅱ、A−1=−1−1A2； As−1O；（主对角分块） B−1B−1；（副对角分块） O−A−1CB−1；（拉普拉斯） B−1O；（拉普拉斯） B−1A−1AO②、=OBOOOA③、=−1BOAA−1AC④、=OBO−1−1−1A−1AO⑤、=−1−1CB−BCA3、矩阵的初等变换与线性方程组 1. 一个m×n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F=rOEO； Om×n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B) ⇔ AB； 2. 行最简形矩阵： ①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1； ③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） ，则A可逆，且①、若(A , E) (E , X)=X=A−1； == ②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A−1B，即：(A,B) ∼ (E,A−1B)； ③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax=b，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且x=A−1b； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： ==①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； λ1②、Λ=rc rλ2=，左乘矩阵A，λ乘A的各行元素；右乘，λ乘A的各列元素； iiλn−1 11 ③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)−1=E(i,j)，例如：1=1； 11 11④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))−1=E(i())，例如：kk1k1E(ij(−k))，如：11−111k(k≠0)； 1−1⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))−15. 矩阵秩的基本性质： ①、0≤r(Am×n)≤min(m,n)； ②、r(AT)=r(A)； ③、若AB，则r(A)=r(B)； −k11(k≠0)； 1④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、maxr(A),r(B))≤r(A,B)≤r(A)+r(B)；（※） ⑥、r(A+B)≤r(A)+r(B)；（※） ⑦、r(AB)≤min(r(A),r(B))；（※） ⑧、如果A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB=0，则：（※） Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX=0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A)+r(B)≤n ⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)≥r(A)+r(B)−n； 6. 三种特殊矩阵的方幂： ①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）×行矩阵（向量）的形式，再采用结合律； ==1ac②、型如01b的矩阵：利用二项展开式； 001== 二项展开式：(a+b)nCa+Ca0nn1nn−11b++Camnn−mb++Cmn−11n−1nab+Cbnnnm=0∑Cnmnambn−m； 注：Ⅰ、(a+b)n展开后有n+1项； n(n−1)(n−m+1) m123 mnn−mnⅡ、Cnm n!m!(n−m)! mn+1mn0CnnCn 1 nnrr−1Ⅲ、组合的性质：C=CC=C+C 2rCnnCn=∑Cnr=−1； m−1nr=0③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： ①、伴随矩阵的秩：r(A*)=An=10 (AX r(A)n ==r(A)n−1； r(A) ②、伴随矩阵的特征值： A λλX)； ③、A*=AA−1、A*=An−1 矩阵秩的描述： 8. 关于A==== ①、r(A)=n，A中有n阶子式不为0，n+1阶子式全部为0；（两句话） ②、r(A) ①、m与方程的个数相同，即方程组Ax=b有m个方程； ②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax=b为n元方程； 10. 线性方程组Ax=b的求解： ①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程： a11x1+a12x2++a1nxnb1 ax+ax++axb 2nn2①、211222； bnam1x1+am2x2++anmxn=a11a②、21am1a12a22am2a1nx1a2nx2amnxmb1b2⇔Axbm= b（向量方程，A为m×n矩阵，m个方程，n个未知数） == ③、(a1a2b1x1xb2an)=β（全部按列分块，其中β=2）； bnxn④、a1x1+a2x2++anxn=β（线性表出） ⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,β)≤n（n为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性 1. m个n维列向量所组成的向量组A：α1,α2,,αm构成n×m矩阵A=(α1,α2,,αm)； β1TTβTTTm个n维行向量所组成的向量组B：β1,β2,,βm构成m×n矩阵B=2； βTm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. ①、向量组的线性相关、无关 ⇔Ax=0有、无非零解；（齐次线性方程组） ②、向量的线性表出 ⇔Ax=b是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 ⇔AX=B是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵Am×n与Bl×n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax=0和Bx=0同解；(P101例14) 4. 5. r(ATA)=r(A)；(P101例15) = n维向量线性相关的几何意义：①、α线性相关 ⇔α=0； ②、α,β线性相关 ⇔α,β坐标成比例或共线（平行）； ③、α,β,γ线性相关 ⇔α,β,γ共面； 6. 线性相关与无关的两套定理： 若α1,α2,,αs线性相关，则α1,α2,,αs,αs+1必线性相关； 若α1,α2,,αs线性无关，则α1,α2,,αs−1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上n−r个分量，构成n维向量组B： 若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r≤s(二版P74定理7)； 向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)≤r(B)；（P86定理3） 向量组A能由向量组B线性表示 ⇔AX=B有解； ⇔r(A)=r(A,B)（P85定理2） 向量组A能由向量组B等价⇔ r(A)r(B)r(A,B)（P85定理2推论） 8. 方阵A可逆⇔存在有限个初等矩阵P1,P2,,Pl，使A=P1P2Pl； == r①、矩阵行等价：A~B⇔PA=0与Bx=0同解 B（左乘，P可逆）⇔Ax=②、矩阵列等价：A~B⇔AQ=B（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~B⇔PAQ=B（P、Q可逆）； 9. 对于矩阵Am×n与Bl×n： ①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等； ②、若A与B行等价，则Ax=0与Bx=0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若Am×sBs×n=C== =m×n，则：①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； ②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置） 11. 齐次方程组Bx=0的解一定是ABx=0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明； ①、ABx=0 只有零解⇒ Bx=0只有零解； ②、Bx=0 有非零解⇒ ABx=0一定存在非零解； 12. 设向量组Bn×r:b1,b2,,br可由向量组An×s:a1,a2,,as线性表示为：（P110题19结论） (b1,b2,,br)=(a1,a2,,as)K（B=AK） c = 其中K为s×r，且A线性无关，则B组线性无关⇔r(K)=（B与K的列向量组具有相同线性相关r； r(B)r(AK)≤r(K),r(K)≤r,∴r(K)r；充分性：反证法） 性） （必要性：r 注：当r=s时，K为方阵，可当作定理使用； 13. ①、对矩阵Am×n，存在Qn×m，AQ=Em ⇔r(A)=m、Q的列向量线性无关；（P87） ②、对矩阵Am×n，存在Pn×m，PA=En ⇔r(A)=n、P的行向量线性无关； 14. α1,α2,,αs线性相关 ⇔存在一组不全为0的数k1,k2,,ks，使得k1α1+k2α2++ksαs=0成立；（定义） x1x⇔(α1,α2,,αs)2=0有非零解，即Ax=0有非零解； xs⇔r(α1,α2,,αs) 16. 若η*为Ax=b的一个解，ξ1,ξ2,,ξn−r为Ax=0的一个基础解系，则η*,ξ1,ξ2,,ξn−r线性无关；（P111题33结论） 5、相似矩阵和二次型 1. 正交矩阵⇔ATA=E或A−1=AT（定义），性质： ①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj10i=ji≠j(i,j1,2,n)； ②、若A为正交矩阵，则A−1=AT也为正交阵，且A=±1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,,ar) b1=a1； b2 a2− [b1,a2] b1 [b1,b1] [b1,ar][b,a][b,a]b1−2rb2−−r−1rbr−1; [b1,b1][b2,b2][br−1,br−1] br=ar−3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关； 对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 ⇔A经过初等变换得到B； ⇔PAQ=B，P、Q可逆； ⇔r(A)=r(B)，A、B同型； ②、A与B合同 ⇔CTAC=B，其中可逆； ⇔xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 ⇔P−1AP=B； 5. 相似一定合同、合同未必相似； 若C为正交矩阵，则CTAC=B⇒AB，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； =为对称阵，则A为二次型矩阵； 6. A7. n元二次型xTAx为正定： ⇔A的正惯性指数为n； ⇔A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC=E； ⇔A的所有特征值均为正数； ⇔A的各阶顺序主子式均大于0； ⇒aii>0,A>0；(必要条件) 考研概率论公式汇总 1．随机事件及其概率 A∪Ω=Ω吸收律：A∪∅=AA∩Ω=A A∩∅=∅ A∪(AB)=A A∩(A∪B)=AA−B=AB=A−(AB) 反演律：A∪B=AB AB=A∪B A=A A=A iiiii=1i=1i=1i=1nnnn 2．概率的定义及其计算 P(A)=1−P(A) 若A⊂B ⇒P(B−A)=P(B)−P(A) 对任意两个事件A, B, 有 P(B−A)=P(B)−P(AB) 加法公式：对任意两个事件A, B, 有 P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB) P(A∪B)≤P(A)+P(B) P(Ai)=∑P(Ai)−i=1i=1nn1≤i P(BA)= P(AB) P(A) 乘法公式 P(AB)=P(A)P(BA)(P(A)>0) P(A1A2An)=P(A1)P(A2A1)P(AnA1A2An−1)(P(A1A2An−1)>0) 全概率公式 P(A)=∑P(ABi) =∑P(Bi)⋅P(ABi) i=1i=1nn Bayes公式 P(BkA)=P(B)P(ABk)P(ABk) =nk P(A)∑P(Bi)P(ABi) i=1 4．随机变量及其分布 分布函数计算 P(a 5．离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布 P(X=k)=pk(1−p)1−k,k=0,1 (2) 二项分布 B(n,p) 若P ( A ) = p kkP(X=k)=Cnp(1−p)n−k,k=0,1,,n * Possion定理 limnpn=λ>0 n→∞有 n→∞limCp(1−pn)knknn−kk! k=0,1,2,=e−λλk (3) Poisson 分布 P(λ) P(X=k)=e −λλkk! ,k=0,1,2, 6．连续型随机变量 (1) 均匀分布 U(a,b) 1,a (2) 指数分布 E(λ) −λxλe,x>0 f(x)= 其他0, x<00, F(x)=−λx1−e,x≥0 (3) 正态分布 N (µ , σ 2 ) −1f(x)=e2πσ(x−µ)22σ2−∞ * N (0,1) — 标准正态分布 −1ϕ(x)=e2πx22−∞ 二维随机变量( X ,Y )的分布函数 F(x,y)=∫x−∞−∞∫yf(u,v)dvdu 边缘分布函数与边缘密度函数 FX(x)=∫x−∞−∞+∞∫+∞f(u,v)dvdu fX(x)=∫f(x,v)dv −∞yFY(y)=∫−∞−∞+∞∫+∞f(u,v)dudv fY(y)=∫f(u,y)du −∞ 8. 连续型二维随机变量 (1) 区域G 上的均匀分布，U ( G ) 1,(x,y)∈G f(x,y)=A其他0, (2) 二维正态分布 f(x,y)=12πσ1σ21−ρ2−×e(x−µ1)2(x−µ1)(y−µ2)(y−µ2)2ρ2−+2σ1σ22(1−ρ2)σ22σ11 −∞ f(x,y)=fX(x)fYX(yx) =fY(y)fXY(xy) +∞+∞fX(x)>0 fY(y)>0 fX(x)=∫f(x,y)dy=∫fXY(xy)fY(y)dy −∞−∞fY(y)=∫f(x,y)dx=∫fYX(yx)fX(x)dx −∞−∞+∞+∞ fYX(yx)fX(x)f(x,y) = fXY(xy) =fY(y)fY(y)fXY(xy)fY(y)f(x,y) = fYX(yx) =fX(x)fX(x) 10. 随机变量的数字特征 数学期望 E(X)=∑xkpk k=1+∞E(X)=∫xf(x)dx −∞+∞ 随机变量函数的数学期望 X 的 k 阶原点矩 E(Xk) X 的 k 阶绝对原点矩 E(|X|k) X 的 k 阶中心矩 E((X−E(X))k) X 的 方差 E((X−E(X))2)=D(X) X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩 E(XkYl) X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩 E(X−E(X))k(Y−E(Y))l X ,Y 的 二阶混合原点矩 () E(XY) X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差 E((X−E(X))(Y−E(Y))) X ,Y 的相关系数 (X−E(X))(Y−E(Y))=ρXY ED(X)D(Y) X 的方差 D (X ) = E ((X - E(X))2) D(X)=E(X2)−E2(X) 协方差 cov(X,Y)=E((X−E(X))(Y−E(Y))) =E(XY)−E(X)E(Y) =±1(D(X±Y)−D(X)−D(Y)) 2相关系数 ρXY=cov(X,Y) D(X)D(Y) 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容