数学物理方法考题汇总

一．简述偏微分方程，阶，线性非线性，齐次非齐次的概念

答：（1）含有未知函数关于自变量的偏导数的等式称为偏微分方程，简称PDE(Partial Differential Equation)

（2）偏微分方程的阶：出现在偏微分方程中未知函数偏导数的最大阶数。

（3）方程中各项关于未知函数及其各阶偏导数都是一次的，称为线性；否则称为非线性方程。

（4）不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项，自由项为零的方程称为齐次方程，否则称为非齐次方程。

二．P24(8) 指出下列微分方程的阶、线性、齐次性：

①(Tricomi方程): yuxxuyy0 （2阶线性齐次）

22②(Klein-Gordon方程): uttyucu0（2阶线性齐次）

③(激波方程): utuux0 （1阶非线性齐次） ④(KdV方程 ): ut6uuxuxxx0 （3阶非线性齐次）

m⑤(多空介质方程): utku （2阶非线性齐次）

三．简述二阶线性偏微分方程的分类方法，P24(9) 对方程a11uxx2a12uxya22uyyb1uxb2uycuf

0 双曲型(弦振动)2a12a11a22=0 抛物型(热传导)

<0 椭圆型(Laplace,Poisson)（1）uxx4uxy3uyy2ux6uy0：双曲线型

22（2）(1x)uxx(1y)uyyxuxyuy0：椭圆型

四．何谓发展方程？何谓位势方程？何谓叠加原理？

(1) 发展方程: 所描述的物理过程随时间而演变,如:波动方程、

热传导方程等；

(2) 位势方程：所描述的自然现象是稳恒的，即与时间无关，

如：静电场、引力场等。

(3) 几种不同原因综合产生的效果等于这些原因单独产生效果

的累加.叠加原理适用于线性方程所描述的物理现象.

五．试推导一维波动方程。

（1） 设u(x,t)表示弦上x点在时刻t沿垂直于x方向的位

移

（2） 弦上任取一小段NM

y F MN x o 2. 基本假设

x x+ΔxL(l,0)

(1) 弦为曲线,线密度为常数

(2) 弦在一平面内作微小振动 (3) Hooke定律 3. 方程的建立

NM弧长: （1）

xx sxu1dx xxxx2 s=NM受力分析： （2）

dxx

X轴方向: T2conθ2 —T1conθ1=0 （T2= T1=T） Y轴方向:

作用在M点的张力T，在y轴方向的分力为Tsin2 作用在N点的张力T，在y轴方向的分力为Tsin1 作用在NM点上，垂直于x轴外力为F(x,t)x （3） Newton第二定律

Tsin2Tsin1Fxxutt因: tgux,故sintg1tg2ux21ux

弦作微小振动时,变形很小, ux2与1相比可忽略不计:

sin1ux(x,t)sin2ux(xx,t)代入上式得: Tux(xx,t)ux(x,t)Fxxutt

利用中值定理得:TuxxxFxxutt*（4） 弦强迫横振动方程:

utta2uxxf其中:a2T f2F

（5） 弦的自由振动方程：utt

auxx

六．简述泛定方程、定解条件、定解问题、偏微分方程古典解、定解问题的适定性的基本概念

1. 泛定方程:

描述某些物理运动或社会现象变化的普遍规律的微分方程 2. 定解条件:

微分方程满足的特定条件称为定解条件, 常见的定解条件有初始条件和边界条件。

3. 定解问题: 一个微分方程(组)和相应的定解条件合在一起就构成了一个定解问题.

4. 古典解：如果存在一个函数u(x,t),具有所需要的各种连续偏导数,将它们代入方程时能使方程成为恒等式,则称该函数为该方

程的(古典解)解。

5. 定解问题的适定性：存在性、唯一性、稳定性的统称 (1) 解的存在性: 所给定的定解问题至少存在一个解 (2) 解的唯一性: 所给定的定解问题至多存在一个解

(3) 解的问题性: 当给定条件以及方程中的系数有微小变动时,相应的解也只有微小的变动.

七．教材（P23）1.4习题1

解： 设t时刻弦上x点处位移为u(x,t)，弦的线密度为ρ, 根据动量守恒定律可知：

uK,2htt00,则定解问题为：

xchxch

utta2uxx(0xl,t0)0,xchuK(h0)ut00,tt0,xch2hux0uxl0

八．教材（P23）1.4习题3

设：t时刻弦上x点处位移为u(x,t)；均匀细杆的原长为l， x=l端自由，即应力为0，

u0.xl0∴

设：u(x,0)kxbee,b0,kl

已知：u(x,0)x00,u(x,0)xleu(x,0)xl则定解问题为：

ua2u(0xl,t0)ttxxeu0ut0x,ltt0

u0ux00,xtl九．教材（P23）1.4习题4

解：设t时刻杆上x点处温度为： u(x,t)

根据傅里叶定律可知：t时刻x处单位时间内沿x轴方向通过横截面单位面积的热量q（x,t）与温度的下降率成正比，即：

u(x,t)u(xx,t)q(x,t)Klimx0x uK(K0)x则定解问题为：

ua2u(0xl,t0)txxx(lx)x,ut02

uqux00;Kxxl

第二章： 复习思考题与作业

一． 何谓波动方程的特征值与特征函数、何谓Sturm-Liouville问题？ P(26)

二． 简述三角函数系的正交性。

1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…cosnx，sinnx，构成了一个三角函数系,其中任意两个不同的函数的乘积在[-π,π]上的积分必为零.

三． 用变量分离法求解齐次线性偏微分方程定解问题的基本步骤。 1.思路：

(1) 放弃先求通解，再找特解的办法（放弃普通微分方程的解法）

(2) 直接探求满足定解条件的特解

(3) 求解偏微分方程→分离变量→化成求解常微分方程 (4) 启示: 机械的、电磁的振动，总可分解为具有各种频率和振幅的简谐振动的叠加，而每个简谐振动具有形式：

Asinkxsin(wt)，该函数具有变量分离的形式

2. 具体步骤：P33

四． 简述付氏解的物理意义。

1. 傅氏解的表达形式

ananu(x,t)CcostDsinnn

lln1ntsinx

l2. 傅氏解的化简:

nx lna 221dn其中: Ancndn;nctg;ncnlun(x,t)Ancosntnsin3. 分析:

(1) 先固定时间t, 看看在任意指定时刻波的形状; 当时间取定t0时:

nx l 其中: A'nAncos(nt0n);un(x,t0)A'nsin 表明: 波u(x,t)在任意时刻的形状是正弦曲线,只是振幅 随着时间的改变而改变.

(2) 然后固定弦上一点,看看该点的振动规律.

nun(x0,t)Ansinx0cos(ntn)

l① 弦上x点作 cosntn表示一种谐和振动,振幅为:

nAnsinx0

l② 弦上各点的园频率、初相位都相同 ③ 节点：点xkkl, (k0,1,2,....n)在任何时刻都使nun(x,t)0，这些点称为节点，说明un(x,t)是分段振动的. ④ 驻波: 有节点的振动波

2k1l, (k0,1,2,....n1)在任何时刻都使⑤ 腹点: 点xk2n都是振幅达到最大值,称为腹点

4. 基波与谐波:

(1) 由于解为: u(x,t)un(x,t)，因此是由无穷多个振

n1幅、频率、初相不相同的驻波叠加而成。 (2) 在所有驻波频率：

nnall 其他驻波的频率是基频的整数倍,称为第n级谐音中,1n最小,称为基频(3) 固有频率：园频率nnalnT与初始条件无关, l只与弦的长度、密度成反比，和张力的平方根成正比

五． 求解2.1.2(P30)

六． P65: 2.7习题1

第三章 复习与思考题

一．推导一维热传导方程 1. 问题：

（1）考察一根均匀细杆内热量传播的过程 （2）热量沿x轴一维传播,侧面绝热 （3）设u(x,t)表示x点在时刻t的温度

A

O x x+Δx

2 方程的建立

（1）分析：考察在时间间隔t到Δt内,细杆上x到x+Δx微元段的热量流动情况 （2）热平衡方程式:

① 引起温度变化所吸收的热量ΔQ=流入的热量ΔQ’ ② 在时间Δt内微元段的温度升高为:

u(x,tt)u(x,t)utt

③ 升高上述温度所需的热量:

Qc(Ax)(utt)cAutxt

④ 热传导Fourier实验定律: 流入微元段的热量: Q1kux(x,t)At

流出微元段热量: Q2kux(xx,t)At 留在微元段的热量:

Q'Q1Q2 =kux(x,t)Atkux(xx,t)At =kAux(xx,t)ux(x,t)t = kAuxx(x,t)xt

k 利用热量平衡方程得：utauxx 其中: a=c22

二．简述与热传导方程相似的物理问题

1. 海底电缆电压方程

2. 导电线圈在所围柱体内的磁场方程 3. 扩散物质的浓度方程

三．何谓Poisson 方程和Laplace 方程，何谓位势方程？

1. 热传导中温度分布稳定时所满足的方程为Poisson 方程：

uf0

2. 特别地f=0时为Laplace 方程：u0 3. Poisson 方程和Laplace 方程统称为位势方程 四．解2.2.1 (P38)

uta2uxx 00u(0,t)u,t=0 ux,0=sinx2sin3x

五．解2.2.2 (P39) ：求解细杆导热问题，杆长为L，两端保持为

bx(Lx2)ut=0=2L零度，初始温度分布为： 六 P66习题(4)（?）

第4章 Fourier 变换

1. 何谓傅氏变换？简述其物理意义。

（1）若f(x) 满足傅氏积分定理条件，则称表达式

Ff(x)eixdx 为f(x)Fourier 变换

（2）物理意义：

2. 简述Fourier 变换求解偏微分方程的基本步骤

（1） 根据自变量的变化范围及定解条件的情形,确定关于那个变量作变换,对方程两边施以Fourier 变换,使偏微分方程转化为关于未知函数的Fourier 变换(像函数)的常微分方程

（2）对定解条件进行相应的变换,导出常微分方程的定解条件 （3）解常微分方程定解问题,求得原定解问题解的像函数

（4）对所得像函数进行逆变换,得偏微分方程定解问题形式解 （5）必要时,验证在一定条件下,形式解就是所求问题的古典解 3. 推导无限长弦的d’Alembert公式

2uauxx, -ˆd2u22ˆ0au2dt

uF(), uˆtt=0F(); t0（3）求特征方程、特征值

22ˆu''au0ria222ra0ˆ ,t1eit;u ,t2 =eitu（4）代入初值条件，求得常微分方程的解

uˆ(,t)etC1costC2sintˆ() ˆC(), C; 12a（5）作关于λ的Fourier逆变换

ˆˆcosatˆ(,t)usinataˆiat 11iatiatiateeee22aii（6）求得原偏微分方程的解(无限长弦的d’Alembert公式)

11xatu(x,t)(xat)xatd 22axat4. 试用Fourier变换求解波动方程的Cauchy问题 书P79例3.2.2（同上一题）

5. 求解热传导方程的初值问题：书93页习题3.6：（6）

2utauxx0, -1. 简述Laplace变换及存在定理

（1）若f(x) 在[0,+∞]上有定义，对于复数p, 则称表达式

Fp（2）P81

0f(x)epxdx 为f(x) Laplace变换

2. 简述Laplace 变换求解偏微分方程的基本步骤

（1） 根据自变量的变化范围及定解条件的情形,确定关于那个变量作变换,对方程两边施以Laplace变换,使偏微分方程转化为关于未知函数的Laplace变换(像函数)的常微分方程

（2）对定解条件进行相应的变换,导出代数方程或常微分方程的定解条件

（3）解常微分方程定解问题,求得原定解问题解的像函数 （4）对所得像函数进行逆变换,得偏微分方程定解问题形式解 （5）必要时,验证在一定条件下,形式解就是所求问题的古典解

3. 用Laplace积分变换法求解下列定解问题: 书93页习题3.6：（12）

uxy1 x0,y0ux0y1uy01

第六章 数学物理方程的差分解法

1. 试写出导数的前差、后差和中央差商近似差分格式。

(1) u''(xh)2. 写出

(2) u(xh) 的中央差分格式

''3. 写出二维Laplace方程的差分方程 4.写出一维波动方程的差分格式

5. 设区域Ω是边长为1,中心在原点的正方形,用差分解法(取步长h=0.1)求Laplace方程的解的第一次近似值Ui,j:(取零次近似值为

Ui(0),j0,采用同步迭代法)

2u2u2=0 2xyu11,u11

yx22

6. 用差分方法求下列定解问题的近似解

2u2u0x4220 D:y0y2xux0y(2y), ux40 usinx, uy20y04