《高等数学》考试大纲

一、基本要求：

考生应按本大纲的要求，了解或理解“高等数学”中函数、极限和连续、一元函数微分学、一元函数积分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程的基本概念与基本理论；学会、掌握或熟练掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系；应具有一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力；有运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明，准确地计算；能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。

本大纲对内容的要求由低到高，对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次；对方法和运算分为“会”、“掌握”和“熟练掌握”三个层次。 二、考试方法和时间：

考试方法为闭卷考试，考试时间为90分钟。 三、考试题型大致比例：

选择题：100%，试卷满分：100分。 四、考试内容和要求：

第一章 函数、极限和连续

（一）函数 考试内容：

（1）函数的概念：函数的定义 函数的表示法 分段函数； （2）函数的简单性质：单调性 奇偶性 有界性 周期性； （3）反函数：反函数的定义 反函数的图象； （4）函数的四则运算与复合运算；

（5）基本初等函数：幂函数 指数函数 对数函数 三角函数 反三角函数； （6）初等函数。 考试要求：

（1）理解函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值；会求分段函数的定义域、函

数值，并会做出简单的分段函数图象；

（2）理解和掌握函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，会判断所给函数的类别； （3）了解函数y=ƒ（x）与其反函数y=ƒ（x）之间的关系（定义域、值域、图象），会求单

调函数的反函数；

（4）理解和掌握函数的四则运算与复合运算，熟练掌握复合函数的复合过程； （5）掌握基本初等函数的简单性质及其图像象； （6）了解初等函数的概念；

（7）会建立简单实际问题的函数关系式。 （二）极限 考试内容：

-1

（1）数列极限的概念：数列 数列极限的定义；

（2）数列极限的性质：唯一性 有界性 四则运算定理 夹逼定理 单调有界数列 极限

存在定理；

（3）函数极限的概念：函数在一点处极限的定义 左、右极限及其与极限的关系x趋于无

穷（x→∞，x→+∞，x→-∞）时函数的极限 函数极限的几何意义； （4）函数极限的定理：唯一性定理 夹逼定理 四则运算定理；

（5）无穷小量和无穷大量：无穷小量与无穷大量的定义 无穷小量与无穷大量的关系 无

穷小量与无穷大量的性质 两个无穷小量阶的比较； （6）两个重要极限 lim基本要求：

（1）理解极限的概念（对极限定义中“ε- N”、“ε- δ”、“ε- M”的描述不作要求），能

根据极限概念分析函数的变化趋势。会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件；

（2）了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则；

（3）理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系 会

进行无穷小量阶的比较（高阶、低阶、同阶和等阶） 会运用等价无穷小量代换求极限；

（4）熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。 （三）连续 考试内容：

（1）函数连续的概念：函数在一点连续的定义 左连续和右连续 函数在一点连续的充分

必要条件 函数的间断点及其分类；

（2）函数在一点处连续的性质：连续函数的四则运算 复合函数的连续性 反函数的连续性； （3）闭区间上连续函数的性质：有界性定理 最大值和最小值定理 介值定理（包括零点

定理）；

（4）初等函数的连续性。 基本要求：

（1）理解函数在一点连续与间断的概念，掌握判断简单函数（含分段函数）在一点的连续

性，理解函数在一点连续与极限存在的关系； （2）会求函数的间断点及确定其类型；

（3）掌握在闭区间上连续函数的性质，会运用介值定理推证一些简单命题； （4）理解初等函数在其定义区间上连续，并会利用连续性求极限。

sinx11 lim(1)xe

x0xxx第二章 一元函数微分学

（一）导数与微分 考试内容：

（1）导数概念：导数的定义 左导数与右导数 导数的几何意义与物理意义 可导与连续

的关系；

（2）求导法则与导数的基本公式：导数的四则运算 反函数的导数 导数的基本公式； （3）求导方法：复合函数的求导法 隐函数的求导法 对数求导法 由参数方程确定的函

数的求导法 求分段函数的导数；

（4）高阶导数的概念：高阶导数的定义 高阶导数的计算；

（5）微分：微分的定义 微分与导数的关系 微分法则 一阶微分形式不变性。 基本要求：

（1）理解导数的概念及其几何意义，了解可导性与连续性的关系，会用定义求函数在一点

处的导数；

（2）会求曲线上一点处的切线方程与法线方程；

（3）熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法，会求反函数的导

数；

（4）掌握隐函数的求导法、对数求导法以及由参数方程所确定的函数的求导方法，会求分

段函数的导数；

（5）理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数；

（6）理解函数的微分概念，掌握微分法则，了解可微与可导的关系，会求函数的一阶微分。 （二）中值定理及导数的应用 考试内容：

（1）中值定理：罗尔（Rolle）中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理； （2）洛必达（L’Hospital）法则； （3）函数增减性的判定法；

（4）函数极值与极值点 最大值与最小值； （5）曲线的凹凸性、拐点；

（6）曲线的水平渐近线与垂直渐近线。 考试要求：

（1）了解罗尔中值定理、拉格朗日中值定理及它们的几何意义。会用罗尔中值定理证明方

程根的存在性。会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式；

（2）熟练掌握洛必达法则求“0/0”、“∞/ ∞”、“0•∞”、“∞-∞”、“1”、“0”和“∞”

型未定式的极限方法；

（3）掌握利用导数判定函数的单调性及求函数的单调增、减区间的方法，会利用函数的增

减性证明简单的不等式；

（4）理解函数极值的概念，掌握求函数的极值和最大（小）值的方法，并且会解简单的应

用问题；

（5）会判定曲线的凹凸性，会求曲线的拐点； （6）会求曲线的水平渐近线与垂直渐近线； （7）会作出简单函数的图形。

∞

0

0

第三章 一元函数积分学

（一）不定积分

考试内容：

（1）不定积分的概念：原函数与不定积分的定义 原函数存在定理 不定积分的性质； （2）基本积分公式；

（3）换元积分法：第一换元法（凑微分法） 第二换元法； （4）分部积分法；

（5）一些简单有理函数的积分。 基本要求：

（1）理解原函数与不定积分概念及其关系，掌握不定积分性质，了解原函数存在定理； （2）熟练掌握不定积分的基本公式；

（3）熟练掌握不定积分第一换元法，掌握第二换元法（限于三角代换与简单的根式代换）； （4）熟练掌握不定积分的分部积分法； （5）会求简单有理函数的不定积分。 （二）定积分 考试内容：

（1）定积分的概念：定积分的定义及其几何意义 可积条件； （2）定积分的性质；

（3）定积分的计算：变上限的定积分 牛顿一莱布尼茨（Newton - Leibniz）公式 换元

积分法 分部积分法； （4）无穷区间的广义积分；

（5）定积分的应用：平面图形的面积 旋转体的体积 物体沿直线运动时变力所作的功。 基本要求：

（1）理解定积分的概念与几何意义，了解可积的条件； （2）掌握定积分的基本性质；

（3）理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握对变上限定积分求导数的方法； （4）掌握牛顿—莱布尼茨公式；

（5）掌握定积分的换元积分法与分部积分法； （6）理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法；

（7）掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转所生成的

旋转体体积；会用定积分求沿直线运动时变力所作的功。

第四章 向量代数与空间解析几何

（一）向量代数 考试内容：

（1）向量的概念：向量的定义 向量的模 单位向量 向量在坐标轴上的投影 向量的坐标表示法 向量的方向余弦；

（2）向量的线性运算：向量的加法 向量的减法 向量的数乘； （3）向量的数量积二向量的夹角 二向量垂直的充分必要条件； （4）二向量的向量积 二向量平行的充分必要条件。 基本要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴

上的投影；

（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法； （3）掌握二向量平行、垂直的条件。 （二）平面与直线 考试内容：

（1）常见的平面方程：点法式方程 一般式方程；

（2）两平面平行的条件 两平面垂直的条件 点到平面的距离；

（3）空间直线方程：标准式方程（又称对称式方程或点向方程） 一般式方程 参数式方程； （4）两直线平行的条件 两直线垂直的条件 直线在平面上的条件。 基本要求：

（1）会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行； （2）会求点到平面的距离；

（3）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程会判定两直线平行、垂

直；

（4）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。 （三）简单的二次曲面 考试内容：

球面 母线平行于坐标轴的柱面 旋转抛物面 圆锥面 椭球面； 基本要求：

了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。

第五章 多元函数微积分

（一）多元函数微分学 考试内容：

（1）多元函数：多元函数的定义 二元函数的定义域 二元函数的几何意义

二元函数极限与连续的概念；

（2）偏导数与全微分：偏导数 全微分 二阶偏导数； （3）复合函数的偏导数； （4）隐函数的偏导数；

（5）二元函数的无条件极值及条件极值。 基本要求：

（1）了解多元函数的概念、二元函数的几何意义及二元函数的极限与连续概念（对计算不

作要求）。会求二元函数的定义域；

（2）理解偏导数概念，了解全微分概念，知道全微分存在的必要条件与充分条件； （3）掌握二元函数的一、二阶偏导数计算方法； （4）掌握复合函数一阶偏导数的求法； （5）会求二元函数的全微分；

（6）掌握由方程F（x，y，z）=0所确定的隐函数z=z（x，y）的一阶偏导数的计算方法；

（7）会求二元函数的无条件极值及条件极值。 （二）二重积分 考试内容：

（1）二重积分的概念：二重积分的定义 二重积分的几何意义； （2）二重积分的性质； （3）二重积分的计算； （4）二重积分的应用。 基本要求：

（1）理解二重积分的概念及其性质；

（2）掌握二重积分在直角坐标系及极坐标系下的计算方法；

（3）会用二重积分解决简单的应用问题（限于空间封闭曲面所围成的有界区域的体积、平

面薄板质量）。

（三）第一类曲线积分与第二类曲线积分 考试内容：

第一类曲线积分与第二类曲线积分的概念及其计算方法； 格林（Green）公式；

平面曲线积分与路径无关条件。 基本要求：

（1）理解第一类曲线积分与第二类曲线积分的概念及其性质； （2）掌握第一类曲线积分与第二类曲线积分的计算方法； （3）掌握格林（Green）公式；

（4）掌握平面曲线积分与路径无关条件。

第六章 无穷级数

（一）数项级数 考试内容：

（1）数项级数：数项级数的概念 级数的收敛与发散 级数的基本性质 级数收敛的必要

条件；

（2）正项级数敛散性的判别法：比较判别法 比值判别法；

（3）任意项级数：交错级数 绝对收敛 条件收敛 莱布尼茨判别法。 考试要求：

（1）理解级数收敛、发散的概念。掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质； （2）掌握正项级数的比值判别法。会用正项级数的比较判别法；

11（3）掌握几何级数r、调和级数与p级数p的收敛性；

n0n1nn1nn（4）了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法。 （二）幂级数 考试内容：

（1）幂级数的概念：收敛半径 收敛区间； （2）幂级数的基本性质；

（3）将简单的初等函数展开为幂级数。 考试要求：

（1）了解幂级数的概念；

（2）了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）； （3）掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间（不要求讨论端点）的方法； （4）会运用e，sinx，cosx，ln(1x)，

x1的麦克劳林（Maclaurin）公式，将一些1x简单的初等函数展开为x或xx0的幂级数。

第七章 常微分方程

（一）一阶微分方程 考试内容：

（1）微分方程的概念：微分方程的定义 阶 解 通解 初始条件 特解； （2）可分离变量的方程； （3）一阶线性方程。 考试要求：

（1）理解微分方程的定义，理解微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解； （2）掌握可分离变量方程的解法； （3）掌握一阶线性方程的解法。 （二）可降价方程

考试内容： （1）y(n)f(x)型方程

（2）yf(x,y)型方程 考试要求： （1）会用降价法解y(n)f(x)型方程

（2）会用降价法解yf(x,y)型方程 （三）二阶线性微分方程 考试内容：

（1）二阶线性微分方程解的结构 （2）二阶常系数齐次线性微分方程 （3）二阶常系数非齐交线性微分方程 考试要求：

（1）了解二阶线性微分方程解的结构。 （2）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。

ax（3）掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法（自由项限定为f(x)Pn(x)e，其中

Pn(x)为x的n次多项式。a为实常数；f(x)eax(Acosx+

。 Bsinx)，其中、、A、B为实常数）

参考书目：《高等数学》（第四、五版） 同济大学数学教研室主编 高等教育出版社

《高等数学》考试样卷

一、选择题（单选题，2×50=100分） 1、下列各对函数中，相等的是（ ）

A、y2lgx，ylgx B、yx，yC、yx(x0)，ye2lnx2x2

D、ysinx，y1cos2x 2、函数yx，x(,0)的反函数是（ ） A、yx，x0 B、yx，x0

C、yx，x0 D、yx，x0

3、设a是一个常数，且limf(x)a，则函数f(x)在点x0处（ ）

xx0A、可以有定义，也可无定义 B、一定有定义

C、一定无定义 D、有定义，且f(x0)a 4、当x0时，2sinxcosx与x比较是（ ）无穷小量

A、等价的 B、同阶的 C、较高阶的 D、较低阶的

2exx05、设函数f(x)，如果f(x)在x0处存在极限，则a（ ）

xax0A、0 B、1 C、2 D、3

x26、lim1（ ）

xxA、e B、e C、e D、e

122tan3x2（ ） 7、limx01cos2xA、3 B、

33 C、 D、0 248、函数yf(x)在xx0处有定义是yf(x)在xx0处连续的（ ）

A、必要条件 B、充分条件 C、充要条件 D、无关条件 9、方程x2xx20在(3,2)内（ ）

A、恰有一实根 B、至少有一实根 C、恰有两实根 D、无实根

3210、x0是函数f(x)sinx的（ ） xA、可去、第二类间断点 B、可去、第一类间断点 C、跳跃、第一类间断点 D、跳跃、第二类间断点 11、yf(x)在闭区间[a,b]上不连续，则（ ）

A、一定没有最值 B、一定有最值 C、一定没有极值 D、可能有最值 12、设y3，则y（ ）

x3xx1xA、3 B、 C、x3 D、3ln3

ln3x13、设ysinx，则y（ ）

A、cosx B、cos2x C、2xcosx D、2xcosx 14、设曲线yxx2在点M处的斜率为3，则点M的坐标为（ ）

A、(1,0) B、(0,2) C、(2,4) D、(1,2) 15、曲线方程为3yx(x1)，在点(2,2)处的切线的斜率为（ ）

A、

2222221421 B、 C、 D、

333216、设一质点的运动规律为yAsinwx，则该质点的加速度为（ ）

A、Awcoswx B、Awsinwx C、Awcoswx D、Awsinwx 17、求函数yx当x2，x0.02时的微分为（ ）

A、0.12 B、0.12 C、1.2 D、1.2 18、下列函数中在区间[2,2]上满足罗尔定理条件的是（ ）

A、f(x)1x B、f(x)x1 C、f(x)

19、下列函数中在区间[1,e]上满足拉格朗日中值定理条件的是（ ）

A、f(x)ln(1x) B、f(x)lnx C、f(x)lnx D、f(x)lnlnx

22222213 D、f(x)x1 x120、函数f(x)ln(1x)在[0,1]上满足拉格朗日中值定理的（ ）

A、ln21 B、ln21 C、21、lim111 D、1 ln2ln2xsinx（ ） 3x0x1111A、 B、 C、 D、

3636x022、limxlnx（ ）

A、1 B、0 C、2 D、1 23、函数f(x)ex1的单调递减区间是（ ）

A、(,0) B、(,1) C、(0,) D、(1,) 24、函数f(x)exxx1（ ）

A、有极小值 B、无极小值 C、有极大值 D、无极大值

25、函数f(x)exx1的极小值是（ ）

A、1 B、0 C、2 D、1 26、函数f(x)exx在区间[1,1]上的最小值是（ ）

A、1 B、0 C、2 D、1 27、函数f(x)x12x1的凸区间是（ ）

A、(,0) B、(,1) C、(0,) D、(1,) 28、函数f(x)x12x1的凹区间是（ ）

A、(,0) B、(,1) C、(0,) D、(1,) 29、函数f(x)x12x1的拐点是（ ）

A、(0,1) B、(1,10) C、(1,12) D、无拐点 30、函数f(x)arctanx（ ）

A、无水平渐近线 B、有一条平渐近线 C、有两条平渐近线 D、有垂直渐近线

31、下列等式中成立的是（ ）

A、df(x)dxf(x) B、df(x)dxf(x)dx

333C、

ddxf(x)dxf(x)c D、ddxf(x)dxf(x)dx

32、函数ysinx的原函数是（ ）

A、cosxC B、cosxC C、cosx D、cosx 33、设

f(x)dxx2exC，则f(x)（ ）

A、2xex B、2xex C、2xexex D、2xexx2ex 34、xxdx（ ）

35A、233x2C B、x2C C、14x4C D、25x2C

35、

R20Rx2dx（ ）

A、R2 B、22R2 C、

3R D、

4R2

36、设f(x)2x0etdt，则f(x)（ ）

A、e2x B、2e2x C、2ex D、ex

37、若y1，y2是某个二阶齐次线性方程的解，则c1y1c2y2（c1、c2R）是方程的（A、通解 B、特解 C、解 D、全部解 38、方程yy0的通解为（ ）

A、yexC B、yeCx C、yCex D、yex

39、已知向量(1,1,1)，与平行且6，则（ ）

A、(1,1,1) B、(1,1,1) C、(2,2,2) D、(2,2,2) 40、设向量(1,2,1)，(0,2,3)，则（ ）

A、(8,3,2) B、(8,3,2) C、1 D、1 41、过点M(1,1,2)且与平面x2y3z0平行的平面是（ ）

A、x2y3z50 B、x2y3z9 C、x2y3z30 D、x2y3z7 42、设f(x,y)x3yy3x，则fx(x,y)（ ）

）

23A、3xyxy3xy B、3xyy C、3xyy D、3xy

2332232343、设zuv，uxy，vxy，则

22z（ ） x2222A、2x2y B、2x2y C、2xy2y D、2xy2y 44、球面xyz14在点(1,2,3)处的法线方程是

222x1y2z3x1y2z3 B、 111123x1y2z3x1y2z3C、 D、 112223A、

45、球面xyz14在点(1,2,3)处的切平面方程是

A、x2y3z58 B、x2y3z14 C、x2y3z12 D、x2y3z4 46、函数f(x,y)4(xy)xy的极大值是（ ）

A、5 B、6 C、7 D、8 47、若正项级数

22222un满足（ ），则其必收敛

A、limun0 B、limnun1uu1 C、n11 D、limn11

nunuunnn(1)n1xn148、级数的收敛域是（ ）

nn1A、(1,1) B、[1,1) C、(1,1] D、[1,1] 49、设D是由直线x2，y1和xy所围的区域，则

A、

50、二重计分

A、

xydxdy（ ）

D9999 B、 C、 D、

5847D21x2y2dxdy，D:1x2y24化为极坐标形式后的积分为（ ）

22222220drdr B、dr2dr C、drrdr D、drrdr

010100