列方程解应用题

第六讲列方程解应用题

列方程解应用题是用字母代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，也就是方程，然后解出未知数。这样解答应用题的优点在于可以设未知数直接参与运算。

列方程解应用题的关键在于正确、合理地设未知数，找出等量关系从而建立方程。列方程解答应用题的一般步骤是：

1.根据题意，找出已知条件和所求问题。

2.依据题意找到等量关系，正确、合理地设未知数。 3.根据等量关系列出方程。 4.解答方程。 5.检验，写出答案。 第一课时 例1．父亲今年47岁，儿子今年11岁，多少年后父亲的年龄是儿子的3倍？ 分析：设x年后父亲的年龄是儿子的3倍。父亲现在47岁，x年后年龄应为（47＋x）岁；而x年后，儿子的岁数也增加了x岁，即（11＋x）岁。知道x年后各自的岁数，根据题意“父亲的年龄是儿子的3倍”，可以找到等量关系：“父亲的年龄=儿子的年龄×3。” 解：设x年后父亲的年龄是儿子的3倍，列方程得 47＋x=（11＋x）×3 47＋x=33＋3x 47－33=3x－x 14=2x x=7 答：7年后父亲的年龄是儿子的3倍。 例2．一条轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要8小时，逆水航行需要10小时，水流的速度是每小时2千米，求轮船在静水中的速度。 分析：顺水航行的船的实际速度是船在静水中的速度与水速之和，逆水航行的船的实际速度为船在静水中的速度与水速之差。船在两个码头之间往返，显然顺水行驶的路程与逆水行驶的路程相等，都是两个码头之间的距离，所以有等量关系：“顺水速度×顺水时间=逆水速度×逆水时间。”

解：设轮船在静水中的速度是每小时x千米，列方程得 8（x＋2）=10（x－2） 8x＋16=10x－20 10x－8x=16＋20 2x=36 x=18

答：轮船在静水中的速度是18千米/小时。

例3.五（1）班期中考试全班的平均成绩是87.5分，男生的平均成绩是86分，女生的平均成绩是90分。这个班共有56人，求男、女生各有多少人？

分析：已知男、女生人数的和是56，若设男生的人数是x，则女生的人数是（56－x）。知道男生、女生以及全班人数和他们各自的平均分，就可以表示出对应的总分，而分数之间，存在着“男生总分＋女生总分=全班总分”这一等量关系。

解：设这个班有男生x人，列方程得

80x＋（56－x）×90=87.5×56

x=35

女生人数：56－x=56－35=21 答：男生35人，女生21人。

第二课时

例1.甲、乙、丙、丁四人共有有45本书，如果甲的书减到2本，乙的书增加2本，丙的书增加1倍，丁的书减少一半，那么四人的书就一样多。求原来四个人各有多少本书？

分析：因为四个人书的本数发生了变化后才相等，所以设相等后本数为x本，比较后，甲、乙、丙、丁原来的本数依题意可表示为（x＋2）本，（x－2）本，（x÷2）本，2x本。

解：设相等的本数为x本。

（x＋2）＋（x－2）＋（x÷2）＋2x=45

x=10

甲原有书：10＋2=12本 乙原有书：10－2=8本 丙原有书：10÷2=5本 丁原有书：10×2=20本 答：甲原有书12本，乙原有书8本，丙原有书5本，丁原有书20本。 例2.有一首民谣：“火树银花楼七层，层层红灯倍加增，共有红灯三八一，试问四层几红灯”。这首民谣是一道应用题，问第四层有多少盏灯？ 分析：本题等量关系很明显，七层彩灯总和是381。若直接设第四层有彩灯x盏，则第三第二，以及第一层的彩灯数不好表示；若设第一层彩灯数为x，那么二到七层彩灯数依次为2x，4x，8x，16x，32x，64x，可很快列出方程并求解。 解：设第一层彩灯数为x，那么二到七层彩灯数依次为2x，4x，8x，16x，32x，64x，列方程得

x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x=381 x=3 第四层有彩灯：8x=8×3=24（盏） 答：第四层有彩灯24盏。 第三课时 例1.有一个两位数，其个位数字与十位数字之和是13。如果把这个两位数的个位数字与十位数字互换，得到的新数就比原数小9，求原来两位数。 分析：任何一个两位数ab，都可以表示为10a＋b，设原来两位数的个位数字为x，则十位上的数字为（13－x），原来两位数可表示为（13－x）×10＋x；互换后的新的个位是（13－x），十位上为x，新数可表示为10x＋（13－x）。 解：设原来数的个位数字是x，原来两位数可表示为（13－x）×10＋x，新数可表示为10x＋（13－x）。列方程得 （13－x）×10＋x－[10x＋（13－x）]=9 x=6

十位上的数字是13－6=7，原来的数字是76。 答：原来数字是76。

例2.如图，长方形ABCD的长是6厘米，线段CF=5厘米，且三角形ADE的面积比三角形EFG的面积小3平方厘米，求BC的长。

分析：本题若采取常规思路需要中间量的代换比较复杂。如果运用方程解答可以达到“直设直解”的目的。设BC的长为x厘米，那么BF的长可表示为（x＋5）厘米。然后将长方形的面积和三角形ABF的面积用x表示出来，因为“三角形ADE的面积比三角形EFG的面积小3平方厘米”即“长方形ABCD的面积比三角形EFG的面积小3平方厘米”这就是等量关系。

解：设BC的长为x厘米，那么BF的长可表示为（x＋5）厘米，列方程得 6（x＋5）÷2－6x=6

x=4

答：BC长为4厘米。

练习

1. 女儿今年12岁，母亲今年39岁，几年前母亲年龄是女儿的4倍？ 2. 一次数学考试有10道题，评分规则是对一题10分，错一题倒扣2分，小明回答了全部10道题，但只得了76分，问他回答对小几道题。

3. 男生和女生平均每人植树17棵。男生有20人，共植树460棵；女生平均植树12棵，女生有多少人？

4. 一辆汽车从甲地到乙地去，如果每小时行45千米，就要比计划迟到0.5小时；如果每小时行50千米，则要比计划早到30分钟，求甲、乙两地间的距离是多少千米？

5. 一只船往返于甲、乙两个港口之间，已知船从甲港开往乙港顺水用10小时到达；从乙港开往甲港逆水要多用2小时。已知水的流速是每小时2千米，求甲、乙两港之间的水路长多少千米？ 6. 如图，已知在直角三角形ABC中，AB=20厘米，BC=30厘米，EDFB为正方形，求三角形DFC的面积。 列方程解应用题 第一章：解方程 例1：7（3＋x）－2（x＋5）=8119x－3（5x－3）=73 解：7（3＋x）－2（x＋5）=8119x－3（5x－3）=73 21＋7x―2x―10=8119x－15x＋9=73 5x＋11=814x＋9=73 5x=704x=64 X=14x=16 巩固练习： 5（2x－3）＋9（10x－8）=113100－4（8－3x）=200 例2：8x－2=7x＋940－3x=52－6x 解：8x－7x=9＋26x－3x=52－40 X=113x=12 X=4 巩固练习：

4.1x＋221.4=4.25x＋21615（3x＋4）=100－35x 例3：28－（7＋5x）=4＋2（2＋4x）（x＋4）÷3=2x－7 解：28－7－5x=4＋4＋8x（x＋4）÷3×3=（2x－7）×3 28－7－4－4=8x＋5xx＋4=6x－21 13=13x4＋21=6x－x X=1x=5

巩固练习：

（19－2x）÷5=x＋143－2（5＋3x）=3＋6（x－1） 综合练习： 4x＋6=22－12x

2（3x－4）＋7（4－x）=4x 4（x－2）＋20x－4=5（1－2x）

第二章：解基本题型

例1、上学期，学校举行数学比赛。比赛共15道题，规定：答对一题得8分，答错一题扣4分，小名最后得84分，你知道他答错了几道题？ 分析：倒扣4分实际上就是从答对的得分中减去4分。数量关系：答对的总分－答错的总分=最后得分

解：设答错了x道题，则答对了（15－x）道题。 8×（15－x）－4x=84 X=3

答：小名答错了3道题。 例2、甲乙两桶油，甲桶油有60千克，乙桶油有24千克，问从甲桶倒多少千克油到乙桶，才能使甲桶中的油的质量是乙桶的2倍？ 分析：设甲桶倒出x千克油到乙桶，那么，现在甲桶的油是（60－x）千克，乙桶的油是（24＋x）千克。根据变动以后“甲桶中油的重量是乙桶的2倍”，可以列出等量关系式。 解：设从甲桶倒出x千克油到乙桶。 （24＋x）×2=60－x X=4

答：从甲桶倒4千克油到乙桶，才能使甲桶中的油的质量是乙桶的2倍。 例3、春季是植树树的黄金季节。李老师决定带同学们去植树。到了植树的现场，同学们发现：如果每人植5棵，还剩14棵；如果每人植7棵，就缺4棵。他们一共带了多少棵树？

分析：因为不管怎样，植树的人数和树苗的棵树是不变的。但如果直接假设树苗总数，求植树的人数比较麻烦，所以此题不便于直接设。

解：设一共有x人参加植树。 5x＋14=7x-4 X=9

树苗棵树：5×9＋14=59（棵）

答：他们一共带了59棵树苗。

例4、小军家离学校有4500米，早上六点半小军步行去学校。开始每分钟走70米，走了一段时间后，他怕迟到，改为每分钟走80米，结果早上七点半准时到学校。小军是在离家多少米的地方开始改变速度的？

分析：由于改变速度前和改变速度后所行驶的路程正好是小军家到学校的全程，所以只需要用算式表示出两段路程就可以列出方程。

解：设以70米/分的速度走了x分钟，则以80米/分的速度走了（60-x）分。 70x＋80×（60-x）=4500 X=30

30×70=2100（米） 答：小军是在离家2100米的地方开始改变速度的。 例5、学校举行了两次数学竞赛，第一次及格人数是不及格人数的3倍还多4人，第二次及格人数增加5人，正好是不及格人数的6倍，问参加竞赛的有多少人？ 分析：本题所求的参赛人数包括及格的人数和不及格的人数，而第一次，第二次的参赛人数不变。所以我们设第一次参赛的不及格人数为X人，那么第一次单赛及格的人数就可以用（3X＋4）人来表示；第二次参赛及格的人数是（3X＋4＋5）人，不及格的人数比第一次不及格的人数少5人即（X－5）人，根据第二次及格的人数正好是不及格人数的6倍这一等量关系，可以列方程。 解：设第一次参赛不及格的人数是X人，可得方程： 3X＋4＋5=（X－5）×6 X=13

答：参加竞赛的人数有56人。 练习： 1、三个数的平均数是13.5，甲是乙的4倍，丙比甲多4.5，求三个数各是多少？ 2、一个长方形的周长是240米，长是宽的1.5倍，这个长方形的面积是多少？ 3、有一分、二分、五分三种硬币共10元，已知每种硬币的个数相同，求三种硬币共有多少个？ 4、某工厂三个车间共有180人，第二车间人数是第一车间人数的3倍还多1人，第三车间是第一车间人数的一半少1人。这三个车间各有多少人？

5、在一条马路两旁植树，每隔3米植一棵，到头还剩3棵；每隔2.5米植一棵，要植树到头还缺少77棵。求这条马路的长。

6、小红玩套圈游戏，套中小兔一次得9分，套中小猴得5分，套中小狗得2分。小红一共套10次得61分，问：小红至多套中小兔几次？