函数的单调性 知识点与题型归纳

●高考明方向 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

★备考知考情

1.函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参数的取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用． 2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇 命题，则以解答题的形式出现.

一、知识梳理《名师一号》P15 注意：

研究函数单调性必须先求函数的定义域， 函数的单调区间是定义域的子集 单调区间不能并！

知识点一 函数的单调性 1.单调函数的定义

1

2.单调性、单调区间的定义

若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间.

注意： 1、《名师一号》P16 问题探究 问题1 关于函数单调性的定义应注意哪些问题？

(1)定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值． (2)函数的单调区间必须是定义域的子集； (3)定义的两种变式：

设任意x1，x2∈[a，b]且x1f(x1)f(x2)f(x)在[a，b]上是增函数； 0⇔

x1x22

f(x1)f(x2)f(x)在[a，b]上是减函数． 0⇔

x1x2②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

2、《名师一号》P16 问题探究 问题2

单调区间的表示注意哪些问题？

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．

知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法 《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法 (1) 定义法:

利用定义证明函数单调性的一般步骤是： ①任取x1、x2∈D，且x1(“分解因式”、配方成同号项的和等)； ③依据差式的符号确定其增减性． (2) 导数法:

设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f ′(x)>0，则f(x)在区间D内为增函数；如果f ′(x)<0，则f(x)在区间D内为减函数． 注意：(补充)

（1）若使得f ′(x)=0的x的值只有有限个，

3

则如果f ′(x)0，则f(x)在区间D内为增函数； 如果f ′(x) 0，则f(x)在区间D内为减函数． （2）单调性的判断方法：

《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法

定义法及导数法、图象法、 复合函数的单调性(同增异减)、 用已知函数的单调性等

(补充)单调性的有关结论

1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数， 则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数． 2．若f(x)为增(减)函数，

则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0， 则

1为减(增)函数，fxfx为增(减)函数．

3．互为反函数的两个函数有相同的单调性． 4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数， 若f(x)与g(x)的单调性相同，

则其复合函数f[g(x)]为增函数； 若f(x)、g(x)的单调性相反，

则其复合函数f[g(x)]为减函数． 简称”同增异减”

5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同； 偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．

4

函数单调性的应用

《名师一号》P17 特色专题 (1)求某些函数的值域或最值．

(2)比较函数值或自变量值的大小． (3)解、证不等式．

(4)求参数的取值范围或值． (5)作函数图象．

二、例题分析：

（一) 函数单调性的判断与证明 例1.（1）《名师一号》P16 对点自测 1 判断下列说法是否正确

(1)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( )

1

(2)函数f(x)＝x在其定义域上是减函数．( )

(3)已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域上是增函数．( )

答案： √ × √

例1.（2）《名师一号》P16 高频考点 例1（1）

5

(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )

A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)2 C．y＝2－x D．y＝log0.5(x＋1) 答案：A.

例2.（1）《名师一号》P16 高频考点 例1（2）

ax

判断函数f(x)＝在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．

x＋1

法一：定义法

设－1ax1ax2

则f(x1)－f(x2)＝－

x1＋1x2＋1

ax1x2＋1－ax2x1＋1＝

x1＋1x2＋1ax1－x2

＝ x1＋1x2＋1∵－1∴x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0.

6

∴当a>0时，f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增． 同理当a<0时，f(x1)－f(x2)>0， 即f(x1)>f(x2)，

∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．

法二：导数法

注意：《名师一号》P17 高频考点 例1 规律方法 1.判断函数的单调性应先求定义域；

2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为： 取值—作差—变形—判号—定论， 其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等； 3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视

（二）求复合函数、分段函数的单调性区间 例1.《名师一号》P16 高频考点 例2（1） 求函数y＝x－|1－x|的单调增区间；

1，x≥1，

y＝x－|1－x|＝

2x－1，x<1.

作出该函数的图象如图所示．

7

由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．

例2.（1）《名师一号》P16 高频考点 例2（2） 求函数y＝log1 (x2－4x＋3)的单调区间．

3

解析:令u＝x2－4x＋3，

原函数可以看作y＝log1 u与u＝x2－4x＋3的复合函数．

3

令u＝x2－4x＋3>0.则x<1或x>3.

∴函数y＝log1 (x2－4x＋3)的定义域为

3

(－∞，1)∪(3，＋∞)．

又u＝x2－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上， ∴u＝x2－4x＋3在(－∞，1)上是减函数， 在(3，＋∞)上是增函数．

而函数y＝log1 u在(0，＋∞)上是减函数，

3

8

∴y＝log1 (x2－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，

3

单调递增区间为(－∞，1)．

注意：《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法

求函数的单调区间的常用方法 (1)利用已知函数的单调性，

即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．

(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的 图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间． (4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间． 例2.（2）(补充)ylog1x4log1x

222

答案：增区间：,；减区间：0,

练习:ylog2xlog2x 答案：增区间：

214142,；减区间：0,2

9

（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小 例1.（1）《名师一号》P17 特色专题 典例(1)

1

已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，

1－x

则( )

A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0 C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0

1

【规范解答】 ∵函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为

1－x

增函数，且f(2)＝0，

∴当x1∈(1,2)时，f(x1)f(2)＝0， 即f(x1)<0，f(x2)>0.

例1.（2）《名师一号》P17 特色专题 典例(2)

x2－4x＋3，x≤0，

已知函数f(x)＝则不等式 2－2x＋3，x>0，－x

f(a2－4)>f(3a)的解集为( )

A．(2,6) B．(－1,4) C．(1,4) D．(－3,5)

10

【规范解答】作出函数f(x)的图象， 如图所示，则函数f(x)在R上是 单调递减的．由f(a2－4)>f(3a)，

可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0， 即(a＋1)(a－4)<0，解得－1注意:本例分段函数的单调区间可以并!

（四）已知单调性求参数的值或取值范围

例1.(1)《名师一号》P17 特色专题 典例(3)

a2x,x2已知函数fx1x满足对任意的实数

1,x22f(x1)f(x2)x1≠x2，都有0成立，则实数a的取值范

x1x2围为( )

1313

A．(－∞，2) B.－∞，8 C．(－∞，2] D.8，2



11

【规范解答】函数f(x)是R上的减函数，

a－2<0，13

于是有由此解得a≤， 1282≤2－1，a－2×

13

即实数a的取值范围是－∞，8.



例2.(1) （补充）如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间 (－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．

1

[答案] [－，0]

4

[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；

1

(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－a，

1

因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－a≥4，解

12

11

得－≤a<0.综上所述－≤a≤0.

44

例2.(2) （补充）若f(x)＝x3－6ax的单调递减区间是(－2,2)，则a的取值范围是( )

A．(－∞，0] B．[－2,2] C．{2} D．[2，＋∞)

[答案] C

[解析] f ′(x)＝3x2－6a，

若a≤0，则f ′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；

若a>0，则由f ′(x)＝0得x＝±2a，当x<－2a和x>2a时，f ′(x)>0，f(x)单调增，当－2a∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2， ∴a＝2.

变式：若f(x)＝x3－6ax在区间(－2,2)单调递减， 则a的取值范围是？

13

[点评] f(x)的单调递减区间是(－2,2)

和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分． 本例亦可用x＝±2是方程f ′(x)＝3x2－6a＝0的两根 解得a＝2.

例2.(3) （补充）

3f(x)log(xax)在(3,2)上单调递减， 1若函数

2则实数a的取值范围是 （ ）

A．[9，12] B．[4，12] C．[4，27] D．[9，27]

答案：A

温故知新P23 第9题

若函数fxlog1xax3a在区间

222,上单调递减，则实数a的取值范围是

《计时双基练》P217 基础7

《计时双基练》P217 基础8、10

14

8、设函数fxax1在区间2,上是增函数,

x2a那么a的取值范围是

答案: 1,

10、设函数fxxxaxa （2）若a0且fx在区间1,内单调递减, 求a的取值范围.

答案: 1,

（五）抽象函数的单调性

例1.（补充）已知f(x)为R上的减函数，那么满足 f(|

1x|)C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

答案：C

15

解析：因为f(x)为减函数，f(|

11|)1，则|x|<1xx且x≠0，即x∈(－1,0)∪(0,1)．

练习：yf(x)是定义在1,1上的增函数， 解不等式f(1x)f(1x)

答案：0,1

温故知新 P12 第8题 注意：

解抽象函数的不等式通常立足单调性定义 或借助图像求解

例2. 《计时双基练》P216 培优4

函数f(x)的定义域为0,，且对一切x0,y0

2x都有f()f(x)fy，当x1时，有f(x)0。

y（1） 求f(1)的值；

16

（2） 判断f(x)的单调性并加以证明； （3） 若f(4)2，求f(x)在1,16上的值域.

答案:单调增; 0,4

注意：有关抽象函数单调性的证明通常立足定义

练习: 《计时双基练》P218 培优4

函数f(x)的定义域为0,，且对一切x,yR都有f(x)fyf(xy)，当x0时，有

f(x)0,f123.

(1)求证: f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在3,3上的最大值与最小值.

答案: 2;2

课后作业

一、 计时双基练P217 基础1-10

课本P16-17变式思考1、2；

17

二、 计时双基练P217 基础11、培优1-4

课本P18对应训练1、2、3

预习 第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性 补充： 练习1：

－x＋3a， x<0

函数f(x)＝x(a>0且a≠1)

a， x≥0

是R上的减函数，则a的取值范围是( )

112

A．(0,1) B．[，1) C．(0，] D．(0，] 333

分析：f(x)在R上为减函数，故f(x)＝ax(x≥0)为减函数，可知0解析：∵f(x)在R上单调递减， 033a≥1.

答案：B

18

练习2：

3－ax－4a x<1

已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上

logax x≥1

的增函数，那么a的取值范围是( )

A．(1，＋∞) B．(－∞，3)

3

C．[，3) D．(1,3)

5

[答案] D

[解析] 解法1：由f(x)在R上是增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上单增，由对数函数单调性知a>1 ①，又由f(x)在(－∞，1)上单增，∴3－a>0，∴a<3 ②，又由于f(x)在R上是增函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(－∞，1]上的最大值3－5a要小于等于f(x)在[1，＋∞)上的最小值

3

0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a≤0，即a≥ ③，

5由①②③可得13

解法2：令a分别等于、0、1，即可排除A、B、C，

5故选D.

[点评] f(x)在R上是增函数，a的取值不仅要保证f(x)在(－∞，1)上和[1，＋∞)上都是增函数，还要保证x1<1，

19

x2≥1时，有f(x1)练习3：

若函数f(x)＝2x2－lnx在其定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取．．值范围是( )

3

A．[1，＋∞) B．[1，) 23

C．[1,2) D．[，2)

2

[答案] B

[解析] 因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f ′(x)11＝4x－x，由f ′(x)＝0，得x＝. 2

1k－1<2据题意，，

k－1≥0

20

3

解得1≤k<，选B.

2

练习4:

已知函数y2x3ax12x

(1) 若函数在R上是单调增函数，则a的取值范围是 .

解析:若函数在R上是单调增函数

32Rxf(x)0

因为y6x6ax12开口方向向上， 所以0,即36a420,即

2222a22时条件成立；

32（2）已知函数y2x3ax12x，若函数的单调递

减区间是1,2，则a的值是 .

解析:若函数的单调递减区间是

1,2(1,2)xf(x)0

y6x26ax12

2所以1,2是方程6x6ax120的两个实数根,由韦达

21

定理，12a,a3

(3)若函数在[2,)上是单调增函数，则a的取值范围

是 .

解析:若函数在[2,)上是单调增函数 2,xf(x)0

分类讨论：

① 当0,即36a2420,即

22a22 条件成立； 0a22或a② 当a2222a4，f(2)0a3即 3a22或a22条件成立；

综上，a3条件成立，a3为所求.

22