椭圆小题(含答案)

2

x23p+y2p=1的一个焦点，则p=

D．8

A．2 B．3 C．4

2px2y2+=1的一个答案：D [解析] 因为抛物线y=2px(p0)的焦点(,0)是椭圆

23pp焦点，所以3p−p=()2，解得p=8，故选D．

p22. 离心率为

2，长轴长为6的椭圆的标准方程是 3x2y2x2y2答案：+=1或+=1

9559x2y23.已知椭圆C：2+2=1(ab0)的左右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P为第一

ab象限内椭圆上的一点，且F1PF2=圆的离心率为（ ）

A．3 34，直线PF1交y轴于点M，若F1F2=2OM，则该椭

2+1 3B．10 4C．2−1 D．答案：C

x2y22=1上的动点，B是圆C1:(x−1)+y2=1上的动点，4.已知点A(2,−1)，P为椭圆C:+43则PB−PA的最大值为（ ）

A．5 答案：D

B．2+1 C．3 D．5−10

22xy5.已知F1，F2是椭圆C：+=1(ab0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在22ab过A且斜率为（ ） A．

3的直线上，△PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，则C的离心率为6211 B． C． 323D．

1 4答案：所以|PF2|=|F1F2|=2c，D [解析] 因为△PF1F2为等腰三角形，F1F2P=120，由AP的斜率为

3可得3，所

tanPAF2=66sinPAF2=PF2sinPAF2112=，cosPAF2=，由正弦定理得， AFsinAPF13221312c2113===，所以所以a=4c，e=，故选D． a+csin(π−PAF)5312114−23213213x2y22=1的右焦点，点P为椭圆与圆(x+2)+y2=16的一个交点，6.已知点F为椭圆C:+95则PF=（ ）

113 A．2 答案：A

B．4 C．6 D．25 x2y2+=1的右焦点为F，P是椭圆上一点，点A0,23，则△APF的周长7.已知椭圆95()最大值为（ ）

A．10 【答案】C

B．12 C．14 D．15

x2y28.已知椭圆2+2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，若△AF1F2ab的面积为3，且F1AF2=4AF1F2，则椭圆的方程为（ ）

x2+y2=1 A．3【答案】C

x2y2x2+=1 C．+y2=1 B．324x2y2+=1 D．43x2y2y22=1有公共的焦点，C2的一条9.已知椭圆C1:2+2=1(a＞b＞0)与双曲线C1:x−ab4渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则( ) （A）a=【答案】C

x2y2→→→→

10.在椭圆＋＝1上任意一点P，Q与P关于x轴对称，若有F1P·F2P≤1，则F1P与F2Q的

42夹角余弦值的范围为________． 1

－1，－ 答案：3

2131222 （B）a=13 （C）b= （D）b=2 2211.以(−1,0)与(1,0)为两个焦点，经过点(1−cos2,2cos)的椭圆的离心率的最大值为 ；当离心率取最大值时，椭圆方程为 。

2x2y2830，

倾斜角为60°的直线与椭圆分别交于A、12.已知椭圆B两点且AB=+=1，

1069点C是椭圆上不同于A、B一点，则△ABC面积的最大值为_____． 【答案】1630 9【解析】

由题意，设直线AB的方程为y=3x+m，点 A（x1，y1），B（x2，y2），

y=3x+m联立方程组x2y2，整理得18x2+103mx+5m2﹣30＝0，

=1+1065m2−30−53m所以x1+x2=，x1x2=． 189因为AB=830，即9(1+3)[(x1+x2)2−4x1x2=830，

9代入整理得m2=4，解得m=2，

不妨取：m＝2，可得直线AB的方程为y=3x+2， 设与直线AB平行且与椭圆相切的直线方程为y=3x+t，

y=3x+t联立方程组x2y2，整理得18x2+103tx+5t2﹣30＝0，

=1+106由△＝300t2﹣72×（5t2﹣30）＝0，解得：t＝±6．

取t＝﹣6时，与直线AB平行且与椭圆相切的直线与直线AB的距离d=81+(3)2=4，

所以△ABC面积的最大值S=118301630， dAB=4=2299故答案为：1630．

9x2y222213.已知椭圆C:2+2=1 (ab0)和圆O:x+y=b，若椭圆C上存在点P，使得

ab过点P引圆O的两条切线，切点分别为A,B.若四边形POAB的面积为3b，则椭圆C的离心率的取值范围是

23答案： ，12x2y214.如图：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2+2=1 (ab0)的

ab左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若BAO+BFO=90，则椭

圆的离心率是 答案：-1+5 2x215.已知F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，P是C1，C2的公共点，

3若OP=OF1，则C2的渐近线方程为______. 【答案】y=x

x2y2+=1的左焦点为F，点P在椭圆上且在x轴的上方，若线段PF的中点16.已知椭圆95在以原点O为圆心，OF为半径的圆上，则直线PF的斜率是___________．

如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知|OF|=|OM|=c=2，答案：15 [解析] 方法1：

由中位线定理可得PF1=2|OM|=4，设P(x,y)，可得(x−2)2+y2=16，与方程

321x2y2（舍），又点P在椭圆上且在x轴的上方，求得+=1联立，可解得x=−,x=2295315P−2,2，所以kPF15=2=15.

12

方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|OF|=|OM|=c=2，由中位线定理可得

3153−,PF1=2|OM|=4，即a−exp=4xp=−，从而可求得P，所以222kPF15=2=15.

12

x2y217.设F1，F2为椭圆C:+=1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F23620为等腰三角形，则M的坐标为___________.

答案：3,15 [解析]

由已知可得a2=36,b2=20,c2=a2−b2=16,c=4，

()MF1=F1F2=2c=8，∴MF2=4．

设点M的坐标为(x0,y0)(x00,y00)，则S△MF1F2=又S△MF1F2=1F1F2y0=4y0， 21482−22=415,4y0=415，解得y0=15， 22x+3620(15)20， =1，解得x0=3（x0=−3舍去）

M的坐标为3,15．

x2+y2=1的焦点，18.（2011年理）设F1,F2分别为椭圆点A,B在椭圆上，若F1A=5F2B;3则点A的坐标是 ▲ 【答案】(0,1)。

【考点】椭圆的简单性质。

【分析】设直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B，又∵F1A=5F2B，由椭圆的对称性可

得F1A=5BF1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)， 又∵|F1A|=()632632x1+，|F1B|=x2+， 3232632632(x1+)=5(x2+)∴3解之得x1=0。∴点A的坐标为(0,1)。 232，x+2=5−2−x21()x22

+y=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则当19.(2018年T17)已知点P(0，1)，椭圆4m=___________时，点B横坐标的绝对值最大． 【答案】5 【解析】

分析:先根据条件得到A,B坐标间的关系，代入椭圆方程解得B的纵坐标，即得B的横坐标关于m的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值取法. 详解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由AP=2PB得

−x1=2x2,1−y1=2(y2−1),−y1=2y2−3,

x12x2222因为A,B在椭圆上,所以+y1=m,+y2=m,

444x22x223m2+(2y2−3)=m,+(y2−)2=，

44243+m212x222y=,x=−(m−10m+9)4，当且仅当m=5时与对应相减得+y2=m22444取最大值.