Ａ组 基础题组
1.(2021安徽,6,5分)下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是( ) A.x2
-=1 B.-y2
=1 C.x2
-=1 D.-y2
=1
2.(2022广东,4,5分)若实数k满足0 C.虚半轴长相等 D.离心率相等 3.(2021广东,7,5分)已知双曲线C:-=1的离心率e=,且其右焦点为F2(5,0),则双曲线C的方程为( ) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 4.(2021四川,5,5分)过双曲线x2 -=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|=( ) A. B.2 C.6 D.4 5.(2021课标Ⅰ,5,5分)已知M(x2 0,y0)是双曲线C:-y=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若·<0,则y0的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.(2021课标Ⅱ,11,5分)已知A,B为双曲线E的左,右顶点,点M在E上,△ABM为等腰三角形,且顶角为120°,则E的离心率为( ) A. B.2 C. D. 7.(2021浙江冲刺卷四,6)已知F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,A和B是以坐标原点O为圆心,以|OF2|为半径的圆与该双曲线的渐近线在y轴右侧的两个交点,且△AF1B是正三角形,则双曲线的离心率为( ) A. B. C.2 D. 8.(2021绍兴一模,6,5分)曲线x2 -3y2 =0与双曲线C:-=1(a>0,b>0)的四个交点与C的两个虚轴顶点构成一个正六边形,则双曲线C的离心率为( ) A. B. C. D. 9.(2021杭州二中仿真考,7,5分)已知点P为双曲线-=1(a>0,b>0)右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左,右焦点,且|F1F2|=,I为三角形△PF1F2的内心,若=+λ成立,则λ的值为( ) A. B.2-1 C.+1 D.-1 10.(2021浙江名校(柯桥中学)沟通卷三,6)若双曲线x2 -y2 =a2 (a>0)的左、右顶点分别为A、B,点P是第一象限内双曲线上的点,若直线PA,PB的倾斜角分别为α,β,则α+β的值是( ) A. B. C. D. 11.(2021浙江测试卷,6)已知双曲线x2 -=1,点A(-1,0),在双曲线上任取两点P,Q满足AP⊥AQ,则直线PQ恒过点( ) A.(3,0) B.(1,0) C.(-3,0) D.(4,0) 12.(2021哈三中二模)过双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F作一条直线,当直线斜率为2时,直线与双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为3时,直线与双曲线右支有两个不同交点,则双曲线离心率的取值范围为( ) A.(1,) B.(1,+1) C.(+1,) D.(,) 13.(2021江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2 -y2 =1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为 . 14.(2022领航高考冲刺卷五,15,4分)若等轴双曲线C的左,右顶点A,B分别为椭圆+y2 =1(a>0)的左,右焦点,点P是双曲线上异于A,B的点,直线PA,PB的斜率分别为kPA,kPB,则kPA·kPB= . 15.(2022超级中学原创猜测卷十,13,4分)设F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若双曲线的右支上存在一点P,使点P在以F1F2为直径的圆上,且|PF1|=|PF2|,则该双曲线的离心率为 . 16.(2021浙江镇海中学测试卷二,14)双曲线x2 -y2 =2021的左、右顶点分别为A1、A2,P为其右支上不同于A2的一点,且∠A1PA2=4∠PA1A2,则∠PA1A2= . B组 提升题组 1.(2021福建,3,5分)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线E上,且|PF1|=3,则|PF2|等于( ) A.11 B.9 C.5 D.3 2.(2021浙江名校(绍兴一中)沟通卷五,6)已知双曲线-=1的右焦点为F,左顶点为P,上,下虚轴端点为M,N,若FM与PN交于点A,已知|AF|=|AP|,则此双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 3.(2021杭州一模,7,5分)设F为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点,过点F且斜率为-1的直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于A,B两点,若=-3,则双曲线C的离心率e=( ) A. B. C. D. 4.(2022领航高考冲刺卷六,7,5分)设A1、A2分别为双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点,若在双曲线C上存在点M,使得·<2,则双曲线C的离心率的取值范围是( ) A.(,3) B.(1,) C.(,+∞) D.(1,3) 5.(2022山西八校联考,12,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( ) A. B. C.3 D.2 6.(2021温州二模,8,5分)如图所示,A,B,C是双曲线-=1(a>0,b>0)上的三个点,AB经过原点O,AC经过右焦点F,若BF⊥AC且|BF|=|CF|,则该双曲线的离心率是( ) A. B. C. D.3 7.(2021浙江六校联考,7,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,P为双曲线上任一点,且·最小值的取值范围是,则该双曲线的离心率的取值范围为( ) A.(1,] B.[,2] C.(1,2] D.[2,+∞) 8.(2021浙江名校(衢州二中)沟通卷二,7)过双曲线-=1(b>a>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)作圆x2 +y2 =a2 的切线,切点为E,延长FE交抛物线y2 =4cx于点P,O为坐标原点,若E为FP的中点,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 9.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1、F2,P为双曲线左支上一点,M为双曲线渐近线上一点(渐近线的斜率大于零),则|PF2|+|PM|的最小值为( ) A.2- B.2 C.2+ D.2+2 10.(2021湖北,8,5分)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度,得到离心率为e2的双曲线C2,则( ) A.对任意的a,b,e1>e2 B.当a>b时,e1>e2;当a 11.(2021浙江测试卷,10,5分)设动点A,B均在双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右支上,O为坐标原点,双曲线C的离心率为e,则( ) A.若e>,则·存在最大值 B.若1 D.|OA|与|OB|大小关系不确定 13.(2021湖南,13,5分)设F是双曲线C:-=1的一个焦点.若C上存在点P,使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为 . 14.(2021山东文,15,5分)过双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,则C的离心率为 . 15.(2022山东,15,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2 =2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为 . Ａ组 基础题组 1.A A选项中,渐近线方程为x2 -=0,即y=±2x.故选A. 2.A ∵0 故b=3,从而所求的双曲线方程为-=1,故选C. 4.D 双曲线x2 -=1的右焦点为F(2,0), 其渐近线方程为x±y=0. 不妨设A(2,2),B(2,-2),所以|AB|=4,故选D. 5.A 若·=0,则点M在以原点为圆心,半焦距c=为半径的圆上,则解得=.可知:·<0⇒点M在圆x2 +y2 =3的内部⇒<⇒y0∈.故选A. 6.D 设双曲线E的标准方程为-=1(a>0,b>0),则A(-a,0),B(a,0),不妨设点M在第一象限内,则易得M(2a,a),又M点在双曲线E上,于是-=1,解得b2 =a2 ,∴e==. 7.C 设点A(x,y)在第一象限, 由得即得A(a,b).同理得B(a,-b). 由|AB|=|AF2 2 2 2 1|,得2b=,即(c+a)=3b=3(c-a).又c+a≠0,从而c+a=3(c-a),即c=2a,故离心率e==2. 8.B 设曲线x2 -3y2 =0与双曲线C:-=1(a>0,b>0)在第一象限的交点为A(xA,yA),则正六边形的边长为2|yA|=b.又由曲线方程与双曲线方程联立消去x得|y2 2 2 2 A|=,所以|yA|==⇒5a=3b,所以=,所以双曲线C的离心率为==,故选B. 9.D 设△PF1F2的内切圆半径为r,由双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=2a,|F1F2|=2c,=r|PF1|,=r|PF2|,=r·2c=cr.由题意得r|PF1|=r|PF2|+λcr,所以λ==.由于|F1F2|=,所以2c==,即+-1=0,解得=-1或=--1(舍去),故选D. 10.D 双曲线的左顶点为A(-a,0),右顶点为B(a,0).设P(m,n)(m>a,n>0),则直线PA的斜率kPA=,直线PB的斜率k2 2 2 2 2 2 2 2 2 PB=,∴kPA·kPB=①.∵P(m,n)是双曲线x-y=a上的点,∴m-n=a,将n=m-a代入①式得kPA·kPB=1.∴α+β=.11.A 明显直线AP,AQ的斜率存在,且不为0,设直线AP的斜率为k,k≠±.则AP的方程为y=k(x+1). 由得(k2 -2)x2 +2k2 x+k2 +2=0,则-1·xP=,故xP=, 则有P. 以-代替k,得Q.当k≠±1且k≠±时,kPQ=,直线PQ的方程为y=(x-3),此时直线PQ过点(3,0). 当k=±1时,有xP=xQ=3,直线PQ的方程为x=3,此时,直线PQ也过点(3,0).故选A. 12.D 由题意可得2<<3,则双曲线的离心率e===∈(,),故选D. 13.答案 解析 双曲线x2 -y2 =1的一条渐近线为直线y=x,明显直线y=x与直线x-y+1=0平行,且两直线之间的距离为=.由于点P为双曲线x2 -y2 =1的右支上一点,所以点P到直线y=x的距离恒大于0,结合图形可知点P到直线x-y+1=0的距离恒大于,结合已知可得c的最大值为. 14.答案 1 解析 由题意得,等轴双曲线C的方程为x2 -y2 =a2 (a>0),∴双曲线的左顶点为A(-a,0),右顶点为B(a,0),设P(m,n),则直线PA的斜率为kPA=,直线PB的斜率为kPB=,∴kPA·kPB=①, ∵P(m,n)是双曲线x2 -y2 =a2 (a>0)上的点,∴m2 -n2 =a2 ,∴n2 =m2 -a2 ,代入①式得kPA·kPB=1. 15.答案 + 解析 由点P在以F1F2为直径的圆上,可知PF1⊥PF2.在Rt△F2 2 1PF2中,|PF1|+|PF2|=|F1F2 2 2|=4c.由已知 |PF1|=|PF2|,得|PF1|=c,|PF2|=c.由双曲线的定义知|PF1|-|PF2|=2a,即c-c=c=2a,所以双曲线的离心率e===+. 16.答案 解析 设∠PA1A2=α,则∠PA2x=5α. 又设P(x0,y0),则-=2021. tan5α==,tanα==, ∴tan5α·tanα=·==1, 从而sin5αsinα=cos5αcosα, 即cos6α=0,∴α=. B组 提升题组 1.B |PF1|=3 ⇒e=. 3.D F(c,0),直线l的方程为y=-x+c,而渐近线的方程是y=±x, 由得A, 由得B. ∴=, =. 由=-3,得=-,得5a=3b,结合c2 =a2 +b2 得c2 =a2 +a2 ,解得e=. 4.B 由题意知A2 2 1(-a,0),A2(a,0),设M(x,y),则=,=,∴·=(*).∵M(x,y)在双曲线-=1上,∴y=b,代入(*)式得,=,则<2,即=e2 -1<2,又e>1,故1 在△F2 2 2 1PF2中,由余弦定理得(a1+a2)+(a1-a2)-2(a1+a2)·(a1-a2)cos60°=4c, 整理得+3=4c2 , 所以+=4,即+=4. 设a=,b=, ∴+=a·b≤|a|·|b|=×=×=,故+的最大值是,故选A. 解法二:不妨设P在第一象限,|PF2 2 2 1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中,由余弦定理得m+n-mn=4c.设椭圆的长轴长为2a1,离心率为e1,双曲线的实轴长为2a2,离心率为e2,它们的焦距为2c,则+===.∴===,易知-+1的最小值为.故=.故选A. 6.A 如图所示,设左焦点为F',由OA=OB,OF=OF',BF⊥AC以及双曲线的对称性可知四边形AFBF'为矩形,设AF=m,则|FC|=|FB|=|AF'|=2a+m,|CF'|=4a+m.在Rt△ACF'中,|AF'|2 +|AC|2 =|CF'|2 ,即 (2a+m)2 +(2a+2m)2 =(4a+m)2 ,整理得m=a.在Rt△FAF'中,|AF|2 +|AF'|2 =|F'F|2 ,即a2 +(3a)2 =(2c)2 ,整理得4c2 =10a2,故e=,故选A. 当x1=x2=a时,·有最小值a. 故若1 22222222 7.B 设P(x,y),则·=(x+c,y)·(x-c,y)=x-c+y=x-c-b,|x|≥a,所以当|x|=a时,(·)min=a-c∈, 则即 2 |OA|=a,故有|OA|=|OB|=a,故选C. 13.答案 解析 不妨设F为左焦点(-c,0),点P在第一象限,由于线段PF的中点恰为双曲线C虚轴的一个端点,由中所以离心率e=∈[,2],故选B. 8.D 设右焦点为F2,连结F2P,OE,则F2P⊥FP,且|PF2|=2|OE|=2a,∴|EF|=b. ∴|PF|=2b. 过点P作直线x=-c的垂线,垂足为M,则|PM|=|PF2|=2a. ∴|MF|==2.在Rt△FPF2中,2=|PF|·|PF2|=|FF2|·|MF|, 即2b·2a=2c·2,平方整理得a2c2 =(c2 -a2 )b2 =(c2 -a2)2 ,即有ac=c2 -a2 , ∴e2 -e-1=0,∴e=,故选D. 9.C 由题意,知双曲线的焦点为F1(-4,0),F2(4,0),符合题意的渐近线方程为y=x,即x-y=0.作出符合题意的几何图形如图所示,连结PF1,F1M,由双曲线的定义,可知|PF2|-|PF1|=2,所以|PF2|+|PM|=|PF1|+|PM|+2.由图形可知|PF1|+|PM|≥|F1M|,所以当F1,P,M三点共线时,|PF1|+|PM|的值最小,即|F1M|最小,故依据点到直线的距离公式可得此时的最小值为d==,故所求的最小距离为2+. 10.D 依题意有e1==, e2= =. 而-=,∵a>0,b>0,m>0, ∴当a>b时,<,有e1 11.D 设A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1≥a,x2≥a, 则·=x1x2+y1y2=x1x2±. 若·=x1x2+,明显没有最大值, 而当x1=x2=a时,·有最小值a2 . 若·=x1x2-=x1x2-, 由+≥2x2 1x2,得·≥x1x2-·=x1x2-(x1x2-a), 即·≥x2 2 2 1x2+b,若a≥b,即1 =a2. 点坐标公式得P(c,2b),又P在双曲线C上,∴-=1,∴=5,∴e==. 14.答案 2+ 解析 如图,F1,F2为双曲线C的左,右焦点,将点P的横坐标2a代入-=1中,得y2 =3b2 , 不妨令点P的坐标为(2a,-b), 此时==, 得到c=(2+)a, 即双曲线C的离心率e==2+. 15.答案 x±y=0 解析 c2 =a2 +b2 ,① 由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c知, 双曲线过点,即-=1.② 由|FA|=c,得c2 =a2 +,③ 由①③得p2 =4b2.④ 将④代入②,得=2.∴=2,即=1, 故双曲线的渐近线方程为y=±x,即x±y=0. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容