2017年苏州市基本功竞赛吴江选拔素养试卷

高中数学

2017．10

注意事项：

本试卷共25题，满分100分，考试用时90分钟．

第一部分（20分）

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．教育改革的核心是( )．

A．内容改革 B．方法改革 C．课程改革 D．途径改革 2．把课程用于教育科学的专门术语，始于教育家( )．

A．洛克 B．斯宾塞 C．赫尔巴特 D．杜威 3．决定教育领导权的是( )．

A．生产力 B．科学技术 C．政治经济制度 D．文化

4．按照事物的本来面目予以揭示而不是凭臆测加以歪曲，教育心理学研究中应遵循的这一原则是( )．

A．客观性原则 B．系统性原则 C．教育性原则 D．发展性原则

5．按照加涅的学习层次分类的观点，学生将“猫”“狗”“鼠”等概括为“动物”的学习属于( )．

A．信号学习 B．言语联结学习 C．辨别学习 D．概念学习

6．数学核心素养包括：数学抽象、（ ）、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．

A．逻辑推理 B．数学文化 C．数学思想 D．数学审美

7．数学运算是解决数学问题的基本手段．数学运算是一种（ ）推理，是计算机解决问题的基础．

A．合情 B．类比 C．归纳 D．演绎

8． 数据分析是研究（ ）的重要数学技术，是大数据时代数学应用于“互联网+”等领域的主要方法．

A．计算机

B．现代生活 C．随机现象 D．生产实践

9．“四基”是的是：基础知识、基本技能、基本思想、（ ）．

A．基本方法 B．基本活动经验 C．基本事实 D．基本技巧

10． 高中数学课程是义务教育阶段后普通高级中学的主要课程，具有基础性、（ ）和

发展性．

A．选择性 B．适应性C．时代性 D．应用性

第二部分（80分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 11．集合论的创始人是 ．

12．被托马斯“近代数学思想之花”的是 ． 13．狄利克雷函数是 ． 14． 直线的两点式方程是 ．

15． 已知奇函数f(x)在R上是增函数，g(x)xf(x)．若ag(log25.1)，bg(20.8)，cg(3)，则a，b，c的从小到大的顺序为 ．

x2x3,x1,x16． 已知函数f(x)设，若关于x的不等式aRf(x)|a|在R上恒22x,x1.x成立，则a的取值范围是 ．

17．三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3．

①记Q1为第i名工人在这一天中加工的零件总数， 则Q1，Q2，Q3中最大的是_________．

②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的 零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________．

18．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．则下列各数中与

（参考数据：lg3≈0．48）

19．如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、

MN最接近的是10k (kZ)，则k ．

P2、P3、P4以及四个标记为“”的点在正方形的顶

点处，设集合{P1,P2,P3,P4}，点P，过P作直

线lP，使得不在lP上的“”的点分布在lP的两侧． 用D1(lP)和D2(lP)分别表示lP一侧和另一侧的“”的点到lP的距离之和． 若过P的直线lP中有且只有一条满足D1(lP)D2(lP)，则中所有这样的P为 ．

x2y2y221和C2:x1． P为C1上的20．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1:3649动点，Q为C2上的动点，w是OPOQ的最大值． 记{(P,Q)|P在C1上，Q在C2上，且OPOQw}，则中元素个数为 ． 三、解答题（本大题共5小题，共60分） 21．写出并证明“点到直线的距离”公式．

22． 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知ab，a5,c6，

3sinB ．

5（1）求b和sinA的值；（2）求sin(2A

23．根据预测，某地第n(nN*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an和b（单位：辆）， n45n15,1n3其中an，bnn5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的

10n470,n4π)的值． 4累计投放量与累计损失量的差．

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn4(n46)28800（单位：辆）． 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

x2y2124． 设椭圆221(ab0)的左焦点为F，右顶点为A，离心率为 ．已知A是

2ab抛物线y2px(p0)的焦点，F到抛物线的准线l的距离为（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为

21． 26 ，求直线AP的方程． 225． 设a,bR，|a|1．已知函数f(x)x36x23a(a4)xb，g(x)exf(x)． （1）求f(x)的单调区间；

（2）已知函数yg(x)和yex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f(x)在xx0处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式g(x)ex在区间[x01,x01]上恒成立，求b的取值范围．

2017年苏州市基本功竞赛吴江选拔素养试卷

高中数学答案

一、选择题

1－10 CBCAD ADCBA 二、填空题 11.康托尔

12.函数概念

13.f(x)0， x是无理数；

x是有理数.1，14.

yy1xx147 15．bac 16．[,2] 17. Q1p2

；y2y1x2x116

336118. 设两边取对数，lgxlg80lg3361lg1080361lg38093.28，x80 ，

10N10M所以x1093.28，即19． P1、P3 20．无穷个 三、解答题

1.（本题满分10分） 2．（本题满足分10分）

3361M最接近1093. N

（Ⅱ）由（Ⅰ）及ac，得cosA21312，所以sin2A2sinAcosA， 1313cos2A12sin2A

3．（本题满分10分）

πππ725．故sin(2A)sin2Acoscos2Asin．

4442613（1）(a1a2a3a4)(b1b2b3b4)96530935

（2）10n470n5n42，即第42个月底，保有量达到最大

(a1a2a3a4)(b1b2b3b4)[965(42050)38(647)42]878222S424(4246)288008736，∴此时保有量超过了容纳量．

4．（本题满分15分）

解析：（Ⅰ）解：设F的坐标为(c,0)．依题意，

1c1p解得a1，，a，ac，2a224y21322221，抛物线的方c，p2，于是bac．所以，椭圆的方程为x324程为y4x．

2

5． （本题满分15分）

（1）递增区间为(,a)，(4a,)，递减区间为(a,4a)．（2）（ⅰ）f(x)在xx0处的导数等于0．（ⅱ）的取值范围是[7,1]．

【解析】（I）由f(x)x6x3a(a4)xb，可得

32

（ii）因为g(x)e，x[x01,x01]，由ex0，可得f(x)1． 又因为f(x0)1，f'(x0)0，故x0为f(x)的极大值点，由（I）知x0a． 另一方面，由于|a|1，故a14a，

由（I）知f(x)在(a1,a)内单调递增，在(a,a1)内单调递减，

故当x0a时，f(x)f(a)1在[a1,a1]上恒成立，从而g(x)e在

xx[x01,x01]上恒成立．

由f(a)a6a3a(a4)ab1，得b2a36a21，1a1．

2令t(x)2x6x1，x[1,1]，所以t'(x)6x12x，

3232令t'(x)0，解得x2（舍去），或x0．

因为t(1)7，t(1)3，t(0)1，故t(x)的值域为[7,1]． 所以，的取值范围是[7,1]．