抛物线切线的一个优美性质
作者：杨尧伟
来源：《中学数学杂志(高中版)》2014年第03期
优美性质抛物线C在点D处的切线为m，和直线m平行的直线l与抛物线C相交于A、B两点，则直线l与抛物线所围封闭图形的面积和△DAB面积的比值为4∶3. 为证明此性质，先证明性质1.
性质1 直线l：y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，则直线与抛物线所围成封闭图形的面积为：线段AB在x轴上投影的立方的六分之一乘以二次项系数的绝对值，即∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx=ax1-x236或∫x1x2（kx+m-ax2-bx-c）dx= a（x1+x2）2-4x1x236.（利用韦达定理） 所以结论成立.
优美性质证明仅以抛物线x2=2py（p>0）为例证明，其它情况同理可证.
设直线l：y=kx+m，D（x0，y0），则由导数知识得x0p=k，所以D（pk，pk22），记D到直线l的距离为d.
由性质1得直线l与抛物线所围成封闭图形面积为112px1-x23，显然直线l与抛物线所围成封闭图形面积与△DAB面积比值为4∶3.
通过上述性质的证明过程可以看出，利用定积分求面积时，有时并不需要把交点坐标具体求出来，只要充分利用两曲线联立后的方程就可以进行整体代换，这样就把设而不求的方法运用得恰到好处.由此性质可以看出，不规则图形总可以转化为规则图形求面积，其它曲线也理应如此.
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