优美性质抛物线C在点D处的切线为m,和直线m平行的直线l与抛物线C相交于A、B两点,则直线l与抛物线所围封闭图形的面积和△DAB面积的比值为4∶3.
为证明此性质,先证明性质1.
性质1 直线l:y=kx+m与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则直线与抛物线所围成封闭图形的面积为:线段AB在x轴上投影的立方的六分之一乘以二次项系数的绝对值,即∫x1x2(kx+m-ax2-bx-c)dx=ax1-x236或∫x1x2(kx+m-ax2-bx-c)dx= a(x1+x2)2-4x1x236.(利用韦达定理) 所以结论成立.
优美性质证明仅以抛物线x2=2py(p>0)为例证明,其它情况同理可证.
设直线l:y=kx+m,D(x0,y0),则由导数知识得x0p=k,所以D(pk,pk22),记D到直线l的距离为d. 由性质1得直线l与抛物线所围成封闭图形面积为112px1-x23,显然直线l与抛物线所围成封闭图形面积与△DAB面积比值为4∶3.
通过上述性质的证明过程可以看出,利用定积分求面积
时,有时并不需要把交点坐标具体求出来,只要充分利用两曲线联立后的方程就可以进行整体代换,这样就把设而不求的方法运用得恰到好处.由此性质可以看出,不规则图形总可以转化为规则图形求面积,其它曲线也理应如此.
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