----高等数学---- 第一章 函数、极限、连续
函数是微积分的研究对象，极限是微积分的理论基础，而连续性是可导性与可积性的重要条件。它们是每年必考的内容之一。
第一节 数列极限与函数极限
【大纲内容】数列极限与函数极限的定义以及它们的性质；函数的左极限与右极限；无穷小和无穷大的概念及其关系；无穷小的性质及无穷小的比较；极限的四则运算；极限存在的两个准则；单调有界准则和夹逼准则；两个重要极限：
洛必达（
；
）法则。
【大纲要求】理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系；掌握极限的性质及四则运算法则；掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限；掌握利用两个重要极限求极限的方法；理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限；掌握用洛必达（ 【考点分析】数列极限的考点主要包括：
）法则求未定式极限的方法。
定义的理解，极限运算法则的理解，单调有界
准则和夹逼准则求极限，利用定积分的定义求和式的极限等等。函数极限的考点主要包括：用洛必达法则求未定式的极限，由已知极限求未知极限，极限中的参数问题，无穷小量阶的比较等等。
一、数列的极限 1.数列的极限
无穷多个数按一定顺序排成一列：列的一般项或通项。设有数列 当n>N时，恒有
或
存在且唯一。
2.极限存在准则
（1）定理（夹逼定理）设在
的某空心邻域内恒有
，且有
称为数列，记为数列
，其中
称为数
，
和常数A。若对任意给定的，总存在自然数
收敛于A，记为
，则称常数A为数列的极限，或称数列
。没有极限的数列称为发散数列。收敛数列必为有界数列，其极限
， 则极限
有类似结论.
（2）定理：单调有界数列必有极限.
存在，且等于A .注对其他极限过程及数列极限，
3.重要结论：（1）若 （2）
，则。（3）
，其中为任意常数。
。
【考点一】（1）单调有界数列必有极限.
（2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递增且无上界的数列的极限为＋∞. （3）单调递减且有下界的数列必有极限，单调递减且无下界的数列的极限为－∞.
【评注】（1）在应用【考点一】进行证明时，有些题目中关于单调性与有界性的证明有先后次序之分，需要及时进行调整证明次序。 （2）判定数列 Ⅰ计算
的单调性主要有三种方法： . 若
，则
单调递增；若
，则
单调递减。
Ⅱ当调递减。 Ⅲ令调递增；当
时，计算. 若，则单调递增；若，则单
，将n改为x，得到函数时，
单调递减。
。若可导，则当时，单
【例1·证明题】设数列极限存在并求极限
.
满足证明数列的
【答疑编号911010101】
1.X0>0
∵X0>0 ,
假设 Xn>0 , n≥2 ∵ Xn>0 , ∴假设成立
∵ Xn>0 , ∴
, n≥1
，n≥1 时
∵
∴Xn+1≤Xn 且 令 因为
，
，由极限的保号性知
令n→∞， ↓
2
∵ ∴a=2
上单调减少且非负的连续函数，
【例2·证明题】设f（x）是区间
【答疑编号911010102】
例2 ∵f（x）↓且 f（x）≥0
，证明数列的极限存在。
＝
∵ f（x）↓
又∵ f（x）≥0
≥0
≤0 ∴ an≥0 ， 且an+1≤an ↓
存在
，当
时，
【考点二】（夹逼准则）设有正整数则
.
，且，
【评注】在使用夹逼准则时，需要对通项进行“缩小”和“放大”，要注意：“缩小”应该是尽可能地大，而“放大”应该是尽可能地小，在这种情况下，如果仍然“夹”不住，那么就说明夹逼准则不适用于这个题目，要改用其他方法。
【例3·计算题】计算极限： 【答疑编号911010103】
例3
∵
∴ SinX≥0 ,
∴
∴
。
根据积分的不等式定理若在[a ，b] f（x）≥g（x），则
∴
∴
↓ ↓ ↓ 令n→∞0 0 0
（取右端点）
（取左端点）
【考点三】用定积分的定义计算和式的极限：由定积分的定义知，当
连续时，有
，
【例4·计算题】求下列极限： 【答疑编号911010104】
【例5·选择题】
【答疑编号911010105】
等于（ ）
【考点四】设为连续变量，令
，则
。也就是说，将数列中的正整数改
，则数列的极限等于相应的函数的极限。综合题也很重要。
【例6·解答题】设
在x=0某邻域内可导，且
.求极限
.
【答疑编号911010201】
6.∵ f（0）=1 ，f′（0）=2
令
1∞
再利用重要极限
【例7·选择题】设, 则极限等于（ ）
【答疑编号911010202】
而
【例8·证明题】设
，
证明：（1）对于任何自然数n，方程在区间中仅有一根。
（2）设
【答疑编号911010203】
要证:有根
令
（1）令
，
∴至少存在
∴F（x）在严格单减 则F（xn）=0 且 xn 唯一 8.（2）∵
使F（xn）=0
在内
∴在上严格单减
∵
∴
∴
二、函数的极限 【考点五】
也就是说，函数极限存
在且等于A的充分必要条件是，左极限 ① ②
【评注】在求极限
和
否存在。
时，如果函数
中包含
或
项，则立即讨论左右极限
是
与右极限
都存在，并且都等于A。
，再根据【考点五】判断双侧极限
【例9·解答题】确定常数a的值，使极限 【答疑编号911010204】
存在。
不存在
X<0
X→0 ,
x>0
令a=3-a
【考点六】使用洛必达（）法则求型未定式的极限之前，一定要将所求极限尽可
能地化简。化简的主要方法：
（1）首先用等价无穷小进行代换。注意：等价无穷小代换只能在极限的乘除运算中使用，而不能在极限的加减运算中使用，但在极限的加减运算中高阶无穷小可以略去； （2）将极限值不为零的因子先求极限；
（3）利用变量代换（通常是作倒代换，令）
（4）恒等变形：通过因式分解或根式有理化消去零因子，将分式函数拆项、合并或通分达到化简的目的。
（5）常见的等价无穷小代换： 当X→0时，我们有：
未定式极限：
∞
∞－∞ ， 0×∞
0
0
1 ，0 ，∞
【例10·解答题】求极限 【答疑编号911010205】
.
x→0,
～x[ln（2＋cosx）－ln3]
【例11·解答题】求极限 【答疑编号911010206】
解：
x→0 ln（1+x）～x
，函数
【例12·解答题】设函数f（x）在x=0处可微，又设
，
求极限
【答疑编号911010207】
①
②
③
【考点七】求型未定式极限的方法： （1）分子、分母同时除以最大的无穷大 （2）使用洛必达（
）法则
【例13·解答题】求极限 【答疑编号911010301】
.
13.
【考点八】化和型未定式为型和型的方法是：
（1）通分法 （2）提因子法 （3）变量代换法 ∞－∞，0×∞
.
【例14·解答题】求极限 【答疑编号911010302】 14.
（∞，-∞）
2
x→0 ,（1+x）-1～2x
【例14】求极限
.
【例15·解答题】求极限： 【答疑编号911010303】
【例16·解答题】求极限 【答疑编号911010304】
.
【例17·解答题】求极限 【答疑编号911010305】
.
17.
【考点九】（1）求幂指函数型不定式
的极限
，常用“换底法”或“用
e抬起法”，化为型后再使用洛必达法则，即
（2）计算
型极限的最简单方法是使用如下的 型极限计算公式：
。推导如下（为简便，略去自变
量 ）：
【例18·解答题】（北京大学，2002年）求极限 【答疑编号911010306】
.
【例19·解答题】计算.
【答疑编号911010307】
19.（1）当a＞1时，
19.当0＜a＜1时
【考点十】（1）已知 ＝，则有：
（2）已知
，若
，则
.
【评注】在已知函数的极限求未知的参数问题时，【考点十】是主要的分析问题与解决问题的方法。
若 且 则
【例20·解答题】设 【答疑编号911010401】
，则.
【例21·选择题】设为两实常数，且有，则的值分别为（ ）
【答疑编号911010402】
（A）， （B） ，
（C）， （D），
【考点十一】在已知条件或欲证结论中涉及到无穷小量阶的比较的话，则“不管三七二十一”，先用无穷小量阶的比较的定义处理一下再说。
【评注】无穷小量阶的比较，是一个重要考点。其主要方法是将两个无穷小量相除取极限，再由定义比较阶的高低。 设
是同一过程下的两个无穷小，即
。
若
若 则称是比低阶的无穷小；
若
若则称与是等价无穷小。
若＝C≠0,＞0,则称是的阶无穷小。 【例22·解答题】已知当无穷小，求常数
和。
时，与是等价无穷小，与是等价
【答疑编号911010403】
（k＞0）
【例23·选择题】当是关于
时，
和
都是关于
的n阶无穷小量，而
的m阶无穷小，则（ ）。
【答疑编号911010404】
（A）必有m=n （B）必有
（C）必有
（D）以上几种情况都有可能
若
时，则
时，
是
的n阶无穷小量；
若A+B=0则是比还高阶的无穷小；
，
【例24·证明题】设函数f（x）在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且
。证明：存在唯一的一组实数
是比
【答疑编号911010405】
，使得当
时，
高阶的无穷小。
证明方程组有唯一解
第二节 函数的连续性
【考点分析】主要考点包括：函数连续的充要条件，间断点的类型及其判断，闭区间连续函数的性质定理及其应用等。
一、函数的连续性与间断点 Ⅰ.函数连续性概念 连续： 定义1 设函数处连续，并称
在
点的某邻域内有定义，若
，则称函数
在
点
为连续点。
在点
的某个左（右）邻域内有定义，并且
，则称函数
在点在
处左（右）连续。 点既左连续又右连续。 内每点都连续；在闭区间
上连续，连续的
定义2 若函数
显然，函数 定义3 函数是指在开区间区间，称为
在点处连续的充要条件是
内连续，是指在
在开区间
内连续，并且在左端点处右连续，在右端点处左连续。使函数的连续区间。
Ⅱ.函数的间断点及其分类
定义 函数不连续的点称为函数的间断点，即在点 （1）在点 （2） （3）为函数
与的间断点。
为函数
与，则称
的间断点，间断点的分类是以
都存在，则称
点的左、右极限来划分的。
附近函数不存在；
都存在，但
，则称
在点
处不连续，或称
有定义，但在点
处有下列三种情况之一出现：
无定义；
间断点的分类：设 第一类间断点：若 （1）若点的跳跃度； （2）若在
为第一类间断点：
为
为跳跃型间断点，并称
存在（即=
，则
在与
），则称
在
为可去间断点。此时，当连续；当
存在，但
在
连续。
无定义时，可以补充定义
时，可以改变
的定义，定义极限值为该点函数值，则
中至少有一个不存在，则称
第二类间断点：若其中若
与
为第二类间断点，
为摆动
中至少有一个为无穷大，则称为无穷型间断点；否则称
型间断点。
【例25·解答题】设函数
问a为何值时，
在x=0处连续；a为何值时，x=0是
的可去间断点？
【答疑编号911010501】
在
处连续
【例26·解答题】设数
在间断点处的左、右极限。
，其中试求的表达式，并求函
【答疑编号911010502】
由于
【例27·解答题】试确定和去间断点
.
的值，使有无穷间断点，且有可
【答疑编号911010503】
二、闭区间上连续函数的性质定理
定理1:（有界性定理） 闭区间[a,b]上的连续函数 必在[a,b]上有界。 定理2:（最大值最小值定理） 闭区间[a,b]上的函数即在[a,b]上，至少存在两点
与
，必在[a,b]上有最大值和最小值，
.此处
，使得对[a,b]上的一切x，恒有
就是 在[a,b]上最小值与最大值。
在闭区间[a,b]连续，m与M分别为 在[a,b]上的最小值与
，使
。
，则
定理3:（介值定理） 设函数
最大值，则对于任一实数c（m≤c≤M），至少存在一点 定理4:（零点定理或根的存在定理） 若至少存在一点
，使
。
在[a,b]上连续，且
，使
在闭区间[a,b]上连续，且
【例28·解答题】设函数性质，证明存在一点
【答疑编号911010504】 补充知识： ① ②若
在[a,b]上连续，且
，则
＞
。利用闭区间上连续函数的。
，则
≥
【例29·解答题】设有三个实根，它们分别位于区间 【答疑编号911010505】 将方程左端进行通分,
为正常数，证明方程
内。
有且仅
∵ ∴
是一个三次多项式,最多有3个零点 有且仅有3个零点
经验证零点均为方程的根
∴原方程有且仅有3个实根
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