阿氏圆最值模型(教师版)

名师点睛

圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【模型来源】拨开云雾开门见山

在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.【模型建立】如图1所示，⊙O的半径为R，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知R=连接PA、PB，则当“PA+2

PB”的值最小时，P点的位置如何确定？52

OB，5解决办法：如图2，在线段OB上截取OC使OC=故本题求“PA+2

PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、522

R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有PB=PC。55P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。【技巧总结】计算PAkPB的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得PAkPB的值最小，解决步骤具体如下：1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OBOP

kOBOCPC

k，即构造△POM∽△BOP，则k，PCkPB3.在OB上取一点C，使得OPPB

2.计算出这两条线段的长度比4.则PAkPB=PAPCAC，当A、P、C三点共线时可得最小值典题探究

1BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则PAPB的最小值为__________．2启迪思维探究重点

例题1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、1【分析】这个问题最大的难点在于转化PA，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CA=4，2连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，1连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=PA．2问题转化为PM+PB≥BM最小值，故当B，P，M三点共线时得最小值，直接连BM即可得13．变式练习>>>1．如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求①AP

11

BP，②2APBP，③APBP，④AP3BP的最小值.23[答案]：①=37，②=237，③=237，④=237.3例题2.如图，点C坐标为(2,5)，点A的坐标为(7,0)，⊙C的半径为10,点B在⊙C上一动点，OB

5AB5的最小值为________.[答案]：5.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，22为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为________.[答案]：10.例题3.如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为的最小值．上一动点，求PC+PD【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠PAB＝∠PBA＝45°，∴PA＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．∵DM⊥CO，∴此时变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∵∠PBE＝∠CBE，＝，∴PD+PC＝PD+PE，＝5，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝∴PD+PC的最小值为5．②连接DB，PB，在BD上取一点E，使得BE＝∵PB2＝4，BE•BD＝∴∴∴＝＝×4，连接EC，作EF⊥BC于F．＝4，∴BP2＝BE•BD，，∵∠PBE＝∠PBD，∴△PBE∽△DBP，＝，∴PE＝PD，PD+4PC＝4（PD+PC）＝4（PE+PC），，∵PE+PC≥EC，在Rt△EFC中，EF＝，FC＝，∴EC＝∴PD+4PC的最小值为10．故答案为5，10．1例题4.如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PDPC的2最大值为_______．31【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=3，根据题意要求构造PC，在BC上取M使得此时PM=，221则在点P运动的任意时刻，均有PM=PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，2PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值15．2变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵∴＝＝，＝＝＝，，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝故答案为，．＝．（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵∴＝＝2，＝＝＝2，，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝故答案为，．．例题5.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣1

x﹣62交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），x﹣6，∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=，AE=2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=，，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM=EH=∴=，∵=，∴==，，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=，∴5（p+2）2=，∴p=或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==，即：AM+CM=．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），＝，，解得，∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．达标检测

领悟提升强化落实

1.如图，在RT△ABC中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B为圆心作圆与AC相切，圆C的半径为2，点P为圆B上的一动点，求AP

2PC的最小值.2[答案]：5.2.如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA+PB的最小值为________.[答案]：25.3.如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.[答案]：37.24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C的半径为2，点P是C上的一动点，则AP的最小值为？1PB25.如图，在平面直角坐标系中，A2,0，B0,2，C4,0，D3,2，P是△AOB外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PDPC的最小值是多少？[答案]426.如图，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C为顶点的正方形CDEF（C、D、E、F四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C自由转动，且CD＝（1）求证：△BDC≌△AFC；，连接AF，BD（2）当正方形CDEF有顶点在线段AB上时，直接写出BD+（3）直接写出正方形CDEF旋转过程中，BD+AD的值；AD的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）．（2）解：①如图2中，当点D，E在AB边上时，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴AB＝2，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝+1．②如图3中，当点E，F在边AB上时．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+AD＝+．（3）如图4中．取AC的中点M．连接DM，BM．∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM•CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝AD，AD＝BD+DM，AD的值最小，，∴DM＝∴BD+∴当B，D，M共线时，BD+最小值＝＝．7.（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，PA＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．∵PA2＝9，AE•AD＝×6＝9，∴PA2＝AE•AD，∴＝，∵∠PAE＝∠DAP，＝＝，∴PE＝PD，∴△PAE∽△DAP，∴∴PC+PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，∴∴＝＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值为2．