数 学
一、选择题: 本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内, (1+3i)(3−i) 对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设集合 𝐴={0,−𝑎},𝐵={1,𝑎−2,2𝑎−2}, 若 𝐴⊆𝐵, 则 𝑎=（） A. 2 B. 1 C. 32
D. -1
3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况, 用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查, 拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生, 已知该校初中部和高中部分别有 400 名 和 200 名学生, 则不同的抽样结果共有（）
4515A. C400⋅C200 种
2040B. C400⋅C200 种
3030C. C400⋅C200 种
4020D. C400⋅C200 种 4. 若 𝑓(𝑥)=(𝑥+𝑎)lnA. -1 B. 0 C. 21
2𝑥−12𝑥+1
为偶函数, 则 𝑎=（）
D. 1
5. 已知椭圆 𝐶:
𝑥23
+𝑦2=1 的左、右焦点分别为 𝐹1,𝐹2, 直线 𝑦=𝑥+𝑚 与 𝐶 交于 𝐴,𝐵
两点, 若 △𝐹1𝐴𝐵 面积是 △𝐹2𝐴𝐵 面积的 2 倍, 则 𝑚=（） A. 32
B.
√2 3√2 32
C. −
D. −3 6. 已知函数 𝑓(𝑥)=𝑎e𝑥−ln𝑥 在区间 (1,2) 单调递增, 则 𝑎 的最小值为（）
A. e2
B. e C. e−1 D. e−2
7. 已知 𝛼 为锐角, cos𝛼=A. B. C. D.
3−√58
1+√54
, 则 sin=（）
2
𝛼
−1+√583−√54
−1+√54
8. 记 𝑆𝑛 为等比数列 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和, 若 𝑆4=−5,𝑆6=21𝑆2, 则 𝑆8=（） A. 120 B. 85 C. -85 D. -120
二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 全部选对的得5分, 部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 已知圆雉的顶点为𝑃,底面圆心为𝑂,𝐴𝐵为底面直径,∠𝐴𝑃𝐵=120∘,𝑃𝐴=2,点𝐶在底面圆周上,且二面角𝑃−𝐴𝐶−𝑂为45∘,则（） A.该圆锥的体积为𝜋 B.该圆雉的例面积为4√3𝜋 C.𝐴𝐶=2√2
D.△𝑃𝐴𝐶的面积为√3 10. 设𝑂为坐标原点,直线𝑦=−√3(𝑥−1)过抛物线𝐶:𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点,且与𝐶交于
𝑀,𝑁两点,𝑙为𝐶的准线,则（） A.𝑝=2 B.|𝑀𝑁|=3 C.以 𝑀𝑁 为直径的圆与 𝑙 相切 D.△𝑂𝑀𝑁 为等腰三角形
11. 若函数𝑓(𝑥)=𝑎ln𝑥++
𝑏𝑥
𝑐(𝑎𝑥28
≠0)既有极大值也有极小值,则（）
A. 𝑏𝑐>0 B. 𝑎𝑏>0
C. 𝑏2+8𝑎𝑐>0 D. 𝑎𝑐<0 三、填空题
12. 已知向量 𝐚,𝐛 满足 |𝐚−𝐛|=√3,|𝐚+𝐛|=|2𝐚−𝐛|, 则 |𝐛|=
13. 底面边长为 4 的正四棱雉被平行于其底面的平面所截, 截去一个底面边长为 2 , 高为 3 的正四棱雉, 所得棱台的体积为
14. 已知直线 𝑥−𝑚𝑦+1=0 与 ⊙𝐶:(𝑥−1)2+𝑦2=4 交于 𝐴,𝐵 两点, 写出满足
△𝐴𝐵𝐶面积为 ≥ 的 𝑚 的一个值
15. 已知函数 𝑓(𝑥)=sin(𝜔𝑥+𝜑), 如图, 𝐴,𝐵 是 直线 𝑦= 与曲线 𝑦=𝑓(𝑥) 的两
12
85
个交点, 若 |𝐴𝐵|=6, 𝑓(𝜋)=
𝜋
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