常微分方程解的折线逼近法

维普资讯 http://www.cqvip.com ２００７芷　６月　龙岩学院学报　Ｊｕｎｅ　２００７　第２５卷　第３期　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＬＯＮＧＹＡＮ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　Ｖｏ１．２５　Ｎｏ．３　常微分方程解的折线逼近法　秦松喜　（龙岩学院数学与计算机科学学院福建龙岩３６４０００）　摘要：通过对区间的特殊分解法，构造图象是折线的分段线性函数列　（・）｝，使它的极限函数是一个给定常　微分方程柯西问题的解，并不要求方程右边的函数满足“ｐｓｃｈ　条件。　关键词：柯西１－３￣；等度连续；等度振荡；近似解　中图分类号：Ｏ１７５．１４　文献标识码：Ａ　文章编号：１６７３－－４６２９（２００７）０３—０００１－０３　常微分方程（组）及其柯西问题的一般形式为　性而增设的充分条件之一：但添进了它又可使存在性的证　，（￡）＝，（ｔ，ｘ（ｔ）），　（Ｏ）　ｏ　（１）　明变得更为简单（如文献【１】，［２１）。也就是说，在证明解的存　其中厂（ｔ，　）是从某个开区域ｎｃ砸ｘ蕊ＩＩ到鼢的连续函数，　在性时也用到后一个条件是一种便宜之举，而不是必由　（０，　０）∈ｎ。　之路。　在常微分方程或泛函分析教程中，人们总是通￣ｃａｒｄ　１预备知识　逐步逼近法或积分算子的不动点来证明问题（１）的解的存　设Ｂ（　）表示从风中闭区间，到Ｈｉｌｂｅｒｔ空间　的有　在唯一性。这两种方法的优点是：第一、将解的存在性和唯　界函数所成的空间，每个　（・）∈Ｂ（，，Ｘ）的范数是ｌｌ　ＩＩ＝　一性问题同步解决；第二、逼近过程所出现的每个近似解　ｓｕｐ　ｌ　ｌ（ｔ）ｌｌ。显然，Ｂ（，，　）是一个完备线性赋范空间，而连　ｆＥ，　都是光滑的。也就是说。这两种方法都是光滑逼近法。它们　续空间ｃ（ｔ，　）是它的一个完备子空间。Ｂ（，，　）中序列的　的不尽人意之处也有两点：第一、要求．厂（￡，　）关于满足难　收敛是点态一致收敛。　以验证的Ｌｉｐｓｃｈｎｚ条件（如文献【１】，【２】），或者要求积分算　我们用尺（，，　）表示由简单函数（值域只含　中有限　子是从紧凸集到自身的紧算子（如文献［３１）；第二、近似解　个向量．而且每个向量的原象是，的可测子集）所成向量空　的几何意义不明显．人们唯一可以从几何上直接看出的是　间的闭包。　（，，Ｘ）中的函数是简单函数的一致极限。由简　每个近似解的轨道与精确解的轨道有相同的起始点，在其　单函数与可测函数的关系及可测函数与连续函数的关系　它时刻就只能断言“相去不远”．经常会发生出发后永不相　知ｃ（ｔ，Ｘ）ＣＲ（ｔ，Ｘ）ｃＢ（，，Ｘ）。　交的现象。　引理１（Ａｒｚｅｌａ—Ａｓｅｏｌｉ定理）设　是一个Ｂａｎａｃｈ空　本文将Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件去掉，只保留，（‘　）的连续性，　间，，是盈中一个闭区间，ｃ（ｔ，　）是从，到　的连续函数作　直接用折线序列来逼近柯西问题的解。称为折线逼近法。　成的空间，日是ｃ（ｔ，Ｘ）的一个子集，满足：　目前国内出版的教材尚未介绍这种方法。虽然用这种方法　（ｉ）　是等度连续；　得到的每个近似解只是逐段光滑的，但是它们的极限作为　（ｉｉ）Ｖｔ∈，，ｎ（ｔ）垒｛ｘ（ｔ）ｌｘ（・）∈Ｈ）在Ｘ中列紧。　精确解是光滑的。折线逼近法的好处是几何意义直观，近　则日在ｃ（ｔ，Ｘ）中列紧。　似解与精确解的轨道的公共点随着逼近的加紧而逐步增　读者可以从文献［３】中找到引理１的证明思路，也可以　加。最终趋于重合。唯一不能令人满意的是对区间的分解　仿照下面引理２的证明过程作平行推演。　方法有讲究．否则就难以证明近似解序列收敛于一个精确　我们称（　）＝ｓｕｐ　ｌ　ｌｘ（ｔ，）－ｘ（ｔ２）ｌ　ｌ解。至于解的唯一性尚未解决，那就不是本法留下的遗憾　ｒＩ　Ｅ　Ｊ　了，因为只有ｆ（ｔ，　）的连续性作前提，解一般不是唯一的。　为有界函数　（・）在区间．，上的振幅。　这样的例子可以顺手拈来。我们也就没有必要去求证一个　Ｂ（，。Ｘ）的一个子集日称为是等度振荡的，如果Ｖ　ｅ＞０，　子虚乌有的结论了。　，的一个有限分解　除了介绍折线逼近法以外。本文的另一个目的是想让　（１≤　≤ｒ）使Ｖ　∈Ｈ，ｋ∈｛１，２，…，ｒｌ有‘１）　（　）≤ｓ。　初学微分方程的读者明白：厂（‘　）在ｎ上连续已经是柯西　引理２设日是Ｂ（，。Ｘ）的一个子集，满足下面两条：　问题有解的充分条件。只有在要求解唯一的情况下，才不　（ｉ）日是等度振荡的；　得不增加别的条件限制。Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ条件就是为求解的唯一　（ｉｉ）Ｖｔ∈，，ｎ（ｔ）垒｛　（ｔ）ｋ（・）∈日｝在　中歹４紧。　收稿日期：２０ｏ６一～１２—１９　作者简介：秦松喜（１９５７一），男，广西桂林人，教授，主要研究方向：泛函分析。　维普资讯 http://www.cqvip.com 则Ｈ在Ｂ（，，　）中歹０紧。　证明任意取定ｅ＞Ｏ，先将，分成一些互不相交的子　区间的并，－Ｕ　，使Ｈ中每个函数在每个子区间的振幅　＾＝ｌ　不超过ｅ／３，再取定ｔ。∈　，作从Ｈ到　的算子　Ｌ＂－Ｘ（・）一（　（ｔ　），…，ｘ（ｔ　）），　（・）∈Ｈ，　则由（ｉｉ）知三（Ｈ）是　中列紧集，从而存在有限￡一网。在　这里我们规定　中的范数为　ＩＩ口ＩＩ＝ｓｕｐ　ｌｌ　ａｋ　ｌｌ，０＝（Ⅱ　一，珥）∈Ｘ　ｌ　＾　ｒ　所以Ｖｅ＞Ｏ存在Ｈ中有限个函数　（・），…，％（・）使Ｖ　（・）　∈Ｈ，　南∈｛１，…，ｎ｝满足　ｌ　ｌＬ（ｘ）－Ｌ（ｘ‘）ＩＩ＝ｓｕｐ　ｌ　Ｉ（　）一　（　）ＩＩ≤ｅ／３　Ｊ％　因为Ｖｔ∈，，　ｋ∈｛１，…，ｒ｝使ｔ∈　，所以由Ｈ的等度振　荡性得　Ｉ　Ｉ（ｔ）　（ｔ）ｌｌ≤ｌ　ｌｘ（ｔ）－ｘ（ｔｔ）ＩＩ＋ＩＩ　（　）　（　）ｌｌ　＋Ｉ　。（　）　。。（ｔ）ｌ　ｌｅ／３＋ｅ／３＋ｅ／３＝ｅ　从而　ｌＪ　ｌＪ＝　ｚ）　（ｚ）ｌＪ≤ｓ　这就证明了　。（・），…，　・）构成Ｈ的ｅ－网。因此Ｈ是＝歹０紧的。　２主要结论和方法　定理１设Ｑｃ碾×鼢是一个包含（０，　的开集　是从　Ｑ到　的连续函数，则存在Ｔ＞０及定义在【０，　】上绝对连　续函数　（・）是微分方程（组）柯西问题　（ｔ）＝厂（‘　（ｔ）），ｘ（Ｏ）＝ｘｏ　（１）　的解。而且解的导数可表为简单函数列的极限函数。　证明第一步，确定　和对区间，＝［０，刀的分解方法：　设　＝｛（ｔ，ｘ）ｌｌｔｌ≤口，ｌｌ￣－－Ｘ０　ｌｌ≤６｝ｃＱ，ｍａｘ　ＩＩｆ（ｔ，　）ｌ　ｌ‘‘．　ＪＥ＾　≤　（常数），取ｒ＝ｍｍ｛ｏ，ｂ／Ｍ｝，则定义在，上满足　（０）　。　的任意一个以　为Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数　（・）　的图象不会跑出　。　我们的思路是定义一个导数的模不超过　的等度振　荡的分段线性逼近序列　・）｝，这样由引理１知，要忙　・）｝　是Ｂ（ｔ，鼢）的列紧子集，我们还得给出，的一个有限分解　，使每个　・）在每个　上的振幅不超过某个正数ｅ，（与　ｍ无关），数列｛ｅ，｝还必须收敛于零，才能保证存在，的分　解，使每个　・）在每个子区间上的振幅可以任意小。　令　＝２　。由厂在　上一致连续知，存在８　使当Ｉｔ－ｔ　ｌ＜　８‘，ＩＩ　ｌｌ≤　时　ｄ（厂【ｔ，　）　ｔ　））≤　取定一个正数２　＜８　使　是整数，定义，的第１次分　解为：　厶１＝【　（ｉ＋１）２　），ｉ＝０，１，…，　一２；　＝【（　－１）ｔ－，　）。　继续分解下去，在第ｍ次分解时，选取２　＜８　使１．＿Ｊｌ　为大于１的整数，每个子区间的长度为２　，除了最后一个子　区间是闭区间外，其余均为左闭右开区间，各子区间的端　点表为ｎ　，ｉ－Ｏ，１，…，　。　２　因为每次分解都是在上一次分解基础上的细化，所以　至少有一个分点同时是上一次分解的分点。当　是一个分　点时，用０（　）ｅＮ表示　恰好在第０（　）次分解时第一次成　为分点。当０（Ｔ）＞１时，用ｓ（Ｔ）表示第０（Ｔ）一１次（即Ｔ不是　分点的最后一次）分解后包含ｔ的子区间的左端点。对第ｍ　次分解后的第１个子区间的右端点来说一定有ｏ（１　）＝ｍ。　第二步，作出折线近似解序列　（・）｝：　第一条折线　。（・）是定义在，上的以（０，粕）为起点的连　续函数，它在第１次分解后的每个子区　订　，（ｉ＋１）Ｉｉ）上是　线性的，其导数（在左、右端点为右、左导数）是常向量，￣－－ｆ　【／／　，　。（ｉｌ。）】，则　。是一个　。近似解，意义为　ｄ　－（ｔ），Ａｔ，　－（ｔ）】｝≤　ｌ，　这是因为当ｔ∈【ｉｌ　，（ｉ＋１）２ｌ】时Ｉｔ—ｉｌｌＩ≤２　，ｌ　ｌ（ｔ）　ｌ（　）ｌｌ≤　．，所以　ｄ｛ｘ＇ｌ（ｔ），Ａｔ，　－（ｔ）］｝－－ｄ｛／［ｉｆＪ，　－（ｉｌ－）】，Ａｔ，　－（ｔ）】｝≤　－　而　（・）在每个子区间【　。，　１）ｆ。）】上的振幅都是零。　类似地，对第ｍ次分解，我们可以作出　近似解　（・）使：　ｉ）　（・）在【０，７］上连续，　（０）　，　（・）在每个子区　间上是一个常向量；　ｉｉ）当Ｔ≠Ｔ是分点时　（Ｔ）　Ｔ，　（Ｔ）］；　ｉｉｉ）当Ｔ≠Ｔ是分点时ｄ　（Ｔ），　（Ｔ）】｝≤　卜】。　我们必须证明这样的　的存在性：　１ｏ在第１个子区间【０，　）上定义　（ｔ）　向　，其中口　厂（０，‰），并定义　（２　）　２　；　在第２个子区间　，２　）上定义　（ｔ）　（　）＋（ｔ一２　）　：，其中　：　，　（２　）】使　：，　（０）】　≤　ｍ＿ｌ　０（　卜ｌｏ　这是缁碍到的，因为Ｉ　旬Ｉ一－　，砸　（　），　（０）】≤Ｊ】Ｉｆ２　，所以　ｄＶｆｔ　，　（２　）】，ｉｒＯ，　（０）】｝≤　ｍ．－，即ｄ忙　（２　），　（２　）】｝　≤　０（　卜】．　在第２个左闭右开区间右端点定义　（２　（　）＋　。　２ｏ假定在第Ｐ个子区间以前的各个子区间上适合要　求的　已经定义好。设第ｐ－１个子区间的右端点（即第Ｐ　个子区间的左端点）为　，定义　（ｔ）　（Ｔ）＋（ｔ—Ｔ）　，其中　（Ｔ）　（Ｔ一２　）＋２　，　亏　，　（Ｔ）】。　贝１Ｉ￣ｔｌ＇ｖ－ｓ（＇ｖ）ｌ＜ｌ　）一ｌ，ｄ｛ｘ　（Ｔ），ｊ“ｓ（Ｔ）】｝≤Ｍ２　ｌ，得　ｄ｛，【Ｔ，ｊ　（Ｔ）】／Ｉｓ（Ｔ），　［ｓ（Ｔ）］｝≤　ｏ（　）一－，即ｄ忸　（Ｔ），ｘ＇ｍ［ｓ　（Ｔ）】｝≤　。（　）　规定　在第Ｐ个子区间的右端点的值为　（Ｔ＋２　）　（Ｔ）＋２　。　这样我们就得到了　在整个【０，７］上的定义。它满足条　件ｉ）、ｉｉ）、ｉｉｉ），而且是问题（１）的　近似解。　第三步，计算　（・）在第ｒ次分解后的子区间　ｔ　２　上的振幅：　维普资讯 http://www.cqvip.com 设ｔ．∈．，是第ｍ次分解的一个分点，则ｏ（ｔ。）≥０（ｔ，），当　函数分别为　（・）和口（・），则　（ｔ）点态一致收敛于ｘ（ｔ），　且仅当ｔ　，时取等号；当ｄ＝Ｏ（ｔ。）＿ｏ（ｔ，）＞０时，ｓ（ｔ．）∈Ｊ而且　存在．，中一个递减序列：ｔ￣－．ｓ。（ｔ．），ｓ　（ｔ．），…，ｓ　（ｔ．）　，．　现在用上面的结果来计算　（・）在．，中的振幅。由于　（・）在第ｍ次分解后的每个子区间上的振幅是０。我们　只需考虑ｍ＞ｒ的情况。固定ｔ∈．，，设Ｉｔ．，ｔ．＋　是第ｍ次分解　后含有ｔ的子区间．则　ｄ　（ｔ・），　（ｔ，）］≤ｄ恤　（ｔ・），ＸＰｍ［￥　（ｔ・）］｝＋ｄ｛　．　（ｔ．）］，　（ｔ・）］｝＋…＋ｄ恤＇Ｉｓ　（ｔ・）］，　（ｔ　）｝　≤１１吣．Ｈ＋＇ｑｏｅ．卜１＋…＋　ｒ＜１／２Ｈ。　（ｔ）点态一致收敛于ｖ（ｔ）。　令ｍ一。ｏ，对（２）式两边取极限得　ｒ‘　（ｔ）　Ｊ　（　）　，ｔ∈【０，刀　（３）　因为，作为恤　（・）｝的一致极限，　（・）是连续的。再由／　的连续性知　ｔ，　（ｆ））连续。下面只要证明口（ｔ）　（ｔ，　（ｆ）），ｔ∈　【０，刀，由（３）式就可断定　（ｔ）是问题（１）的绝对连续解。　Ｖｔ。∈【０，刀，设第ｍ次分解后含有ｔ。的子区间的闭包　是‘．＝　，　，由于每次分解对子区间的长度来说是平均　的，而且分解一次比一次细，【０，刀的总长度又有限，所以，子　区间列满足下列三条性质：　由　（・）在．，上分段等于有限个常数容易推出Ｏ￣．ｊ（ＸＰｍ）＜１／　２　（与ｍ无关），从而Ｏ￣（ＸＰｍ）一０（广＿．。ｏ）。　第四步，证明Ｖｔ∈【０，刀和Ｖｉｎ∈Ｎ有　①，１］，１］…］Ｌ］…；　②ｔ０∈Ｌ，ｍ＝ｌ，２，…；　③ｌｉａ１ｒ．＝０。　由区间套定理得ｌｉｍａ￣＝ｔｏ，由　（・）｝的构造法有　（ｔ）　＋ｆ　（　）　（２）　（ｔ０）　（　）　（　，　（　）。　由｛　（・）｝和｛　（・）｝的构造法知，这只要证明当ｔ是第　ｍ次分解的分点时结论成立就够了。当ｔ－０时。（２）式不证　令ｍ一。ｏ对上式两端取极限得　口（　）＝ｌｉｍｆ（ａｍ，　））。　自明。当ｔ－／．时，（２）式左边　（ｆ　）　０＋ｆ　；由积分对积分　区域的可加性和积分的绝对连续性得　由／的连续性，下面只要证明ｌｉｍｘ　（　）　（ｔ。）就有口　（２）式右边　０＋Ｊ　成立。　Ｊ　＝左边。　（ｔｏ）＿－ｆ（ｔｏ，ｘ（ｔ０）），结论也就得证了。　同样地，我们可以证明。当ｔ＝２／．…３ｌ…，Ｔ时，（２）式都　第五步，证明恤　（・）｝的极限函数是问题（１）的绝对连续　解。　因为　是以　为ＩＡｐｓｅｈｉｔｚ常数的Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ函数。而　ｌｉａｘ　（ｒ　）　（ｔ０），所以由　ＩＩ　（　）　（ｔ０）ｌｌ≤ＩＩ　（　）　（ｔ０）ＩＩ＋ＩＩ　（ｔ０）　（ｔ０）ｌ　ｌ≤　Ｉ口　ｔ０　Ｉ＋Ｉ　（Ｉｔ０）　（ｔ０）ｌ　ｌ由恤　（・）｝和　（・）｝的构造知，它们具有下列性质：　（ｉ）恤　（・）｝中的每个函数都是以　为Ｌｉｐｓｃｈｉｔｚ常数的　ＩＡｐｓｅｈｉｔｚ函数，因而｛　（・）｝Ｃｃ（ｏ，Ｔ；ＩＩ￣　）是等度连续函数　即知ｌｉｍｘ　（　）　（　）。　族；而当ｍ充分大以后恤　（・）｝ＣＢ（０，Ｔ；ＩＤ）中的函数是等　度振荡的。　参考文献：　【１］程其襄，张奠宙．实变函数与泛函分析基础【Ｍ］．２　版．北京：高等教育出版社，２００３．　【２］ｚＥ高雄，周之铭，朱思铭，等．常微分方程【Ｍ］．２版．　北京：高等教育出版社，１９８４．　【３］张恭庆，郭懋正．泛函分析讲义【Ｍ］．北京：北京大学　出版社．２００３．　（ｉｉ）Ｖｔ∈【０，刀，　（ｔ）｝和　（ｔ）｝都是有限维欧氏空间　皿ｎ中的有界集，因而都是列紧集。　所以由引理１和引理２，恤　（・）｝和恤　（・）｝都有一个收　敛子列，我们还可以取到两个子列的下标对应相同的情　况，不妨仍用｛　（・）｝和　（・）｝表示。设这两个子列的极限　（责任编辑：邱维敦）　Ｐｏｌｙｇｏｎａｌ　Ｌｉｎｅ　Ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔｏ　Ｏｒｄｉｎａｒｙ　Ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ＱＩＮ　Ｓｏｎｇ—ｘｉ　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｐａｒｔｉｉｔｏｎｓ　ｔｏ　ａｎ　ｉｎｔｅｒｖａｌ，ａ　ｓｅｑｕｅｎｃｅ　ｏｆ　ｐｉｅｃｅｗｉｓｅ　ｌｉｎｅａｒ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｗｈｏｓｅ　ｇｒａｐｈｓ　ａｒｅ　ｐｏｌｙｇｏｎａｌ　ｌｉｎｅｓ　ｉｓ　ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄ，ｍａｋｉｎｇ　ｉｔｓ　ｌｉｍｉｔ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ａ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｔｏ　ｔｈｅ　Ｃａｕｃｈｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ　ｏｆ　ａ　ｇｉｖｅｎ　ｏｒｄｉｎａｒｙ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎ，ｗｉｔｈｏｕｔ　ｒｅｑｕｉｉｎｇ　ｔｔｈｅ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｔｉｇｈｔ　ｓｉｄｅ　ｏｆｔｈｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｂｅ　Ｌｉｐｓｃｈｉ￣ｅａｎ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｃａｕｃｈｙ　ｐｒｏｂｌｅｍ；ｅｑｕｉｃｏｎｔｉｎｕｏｕｓ；ｅｑｕｉｏｓｉｃｉＬｌａｔｉｎｇ；ａｐｐｒｏｘｉｍａｔｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　３