等差数列

第8讲 等差数列

【专题精华】

把若干个数依次排成一列称为数列。如果一个数列从第二个数开始，每相邻的两个数之

间的差相等，这种数列称之为等差数列，如1、2、3、4、5、…999、1000，或2、5、8…98、 101等等。在等差数列中，数列的第一个数叫“首项”，数列的最后一个数叫“末项”，整个 数列总共有几个数叫“项数”，相邻数的差叫“公差”。如上面第一个数列中，首项是1，末

项是1000，项数是1000，公差是2－1=1。

本节我们学习等差数列求和的有关知识。在学习过程中我们要学习和掌握使用几个有关

的公式：

1、等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2

2、项数=（末项－首项）÷公差＋1

3、第N项的数=首项＋（项数－1）×公差

）×公差 4、首项=末项－（项数－1

【教材深化】

题1 一只小鸡在田里捡稻谷吃，第一天捡了1

【能力冲浪】 读一题，练3题，练就解题高手 1．计算下面等差数列的和：

1＋3＋5＋…＋97＋99

粒，第二天捡了2粒，第三天捡了3粒……,

如此下去，到第100天，这只小鸡总共捡了多

少粒稻谷？

敏捷思维 通过分析我们发现：这只小鸡从第2、计算下面等差数列的和： 二天开始捡的稻谷个数起，每一天都比前一天2＋5＋8＋…＋98＋101 多1，一直排列下去，就成了一个1，2，3…… 100的数列。也就是说，这个数列的首项是1， 末项是100，从1到100刚好是100个数，所 以项数是100. 3．（2007·第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛）计算 全解 依照等差数列求和公式可知： 1＋2＋…＋8＋9＋10＋9＋＋8＋…＋2＋1 1＋2＋3＋4＋…＋99＋100 的和。 =（100＋1）×100÷2 =5050（粒）

答：到第100天，这只小鸡总共捡了5050 粒稻谷。 题2 求100以内所有能被2整除的数的和。 拓展探究 从上题可以看出，等差数列求和需敏捷思维 我们把100以内所有能被2整除的要知道几个条件：首项、末项、项数。这些条数用数列的形式写出来：2、4、6、8、…、98、件有时并不能直接知道，需要动脑筋去找找、100，这是一个等差数列。它的首项是2、末项算算。 是 100 ， 公差是2，项数为（100－2）÷2＋1=50。 全解 2＋4＋6＋8＋…＋98＋100

=（100＋2）×50÷2 后每天比前一天多做2个。第15天做了48 =2550 个，正好做完，这批零件共有多少个？ 答：100以内所有能被2整除的数的和是 2550。 拓展探究 通过分析条件，我们首先把文字题 目简化为数字题目，再根据相关的知识来解决。

【能力冲浪】 读一题，练3题，练就解题高手 1．求自然数中所有两位数的和。

2．求100以内所有能被5整除的数的和。

3．求100以内所有个位是2的数的和。

【感受奥赛】

题4 （2005·小学数学奥林匹克预赛B卷）

2005＋2004－2003－2002＋2001＋2000－

1999－1998＋1997＋1996－…－7－6＋5＋4－3－2＋1= 敏捷思维 通过观察，可以发现从2005开始，都是先两个数相加，再连续减去两个数，因此，我们可以运用速算的方法，把每四个连续的数分为一组，每组运算的结果都是4，共可以分成2005÷4=501（组）……1（个） 全解 原式=4×501＋1=2005

拓展探究 我们要注意新旧知识的联系和区别，采用合适的方法来解决相应的题目。

【生活数学】

【能力冲浪】 读一题，练3题，练就解题高手 1．（第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛）

题3 猪八戒把一个大西瓜分成了许多小块， 计算：100－99＋98－97＋…＋4－3＋2－1 第一次吃了1小块，发现很好吃，以后每次以 前一次多吃3块，到了第8次，他一口气吃了 22块，正好把整个整个西瓜吃完，那么原来这 个西瓜被分成了多少块？ 2．（第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛）

敏捷思维 通过分析，用把文字简化成数字的 （2＋4＋6＋…＋2006）－（1＋3＋5＋…＋方法，把猪八戒每次吃的西瓜数一一排列出来：2005）= 。 1、4、7、10、13、16、19、22这是一个等差3．（2005·浙江省数学活动课夏令营）

数列。它的首项是1，末项是22，公差是3，2005＋2004＋2003－2002－2001－2000＋…＋项数是8. 7＋6＋5－4－3－2＋1= 。 全解 1＋4＋…＋22 题5 在1949，1950，1951，…，1997，1998 =(1＋22)×8÷2 这五十个自然数中，所有偶数之和比所有奇数 =92(块) 之和多多少？

答：原来这个西瓜被分成了92块。 敏捷思维 根据题意，先找到偶数有1950，拓展探究 应用上面的分析方法，比较每次的1952，1954，…，1998。然后求出它们的和；变化量都一样时，符合等差数列的特征，可以再找到奇数有1949，1951，1953，…，1997。用等差数列求和的方法解决问题。 然后求出它们的和；最后再用它们的和相减。

全解 （1950＋1952＋…＋1998）－（1949＋【能力冲浪】 读一题，练3题，练就解题高手 1．李师傅做一批零件，第一天做了20个，以1951＋…＋1997）×25÷2

=（1950＋1998）×25÷2－（1949＋1997）

×25÷2

=（1950＋1998－1949－1997）×25÷2 =2×25÷2 =25

拓展探究 通过分析条件，找到解决问题的方法，然后根据等差数列的公式进行计算。

【能力冲浪】 读一题，练3题，练就解题高手 2．有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，…，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一个起到第1993个数这1993个数之和。

3．九个连续偶数的和比期中最小的数多232，1．1995＋1994＋1993－1992－1991－1990＋1989＋1988＋1987－1986－1985－1984

＋…＋9＋8＋7－6－5－4＋3＋2＋1

这九个数中最大的数是多少？

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1．计算：11＋14＋17＋…＋101 8．若干人围成8圈,一圈套一圈,从外向内各圈 人数依次少4人.如果最内圈有32人,共有多 少? 2．计算：（2009＋2007＋…＋3＋1）－（2008 ＋2006＋2004＋…＋4＋2） 9．（第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛） 1＋2＋3＋…＋2006被7除，余数是 。 10．图中是一个堆放铅笔的V形架,如果最上面 一层放60支铅笔.问一共有多少支铅笔? 3．（2006·广东省育苗杯数学竞赛） 一个希望小学收到外地捐书800本，计划把 书分给二年级到六年级，每高一年级就多分 10本，按这个计划，分给五年级的图书有 本。 4．（第三届《小学生数学报》优秀小读者评选活动） 11．小刚练习口算，他按照自然数排列的顺序 1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋…＋2001＋从1开始一直往后加，当加到某数时，和是2002－2003－2004＋2005= 。 1300，在验算时发现计算时少加了一个数，5．把一堆苹果分给8个朋友,要使每个人都能少加的是哪个数？ 拿到苹果,而且每个人拿到苹果个数都不同 的话,这堆苹果至少应该有几个? 12．（2006·“我爱数学杯”数学竞赛初赛） 1＋2＋3＋…＋999＋1000＋1002＋10046．将自然数排列如下图，第10行第一个是几？＋……＋2004＋2006= 。 第10行所有数的总和是多少？ 13．（2006·“我爱数学杯”数学竞赛初赛） 1 1＋2＋3＋…＋2010＋30＋60＋90＋…＋

2 3 4 2010×= 。

5 6 7 8 9 14. （2006·浙江省数学活动课夏令营） 10 11 12 13 14 15 16 有一个由17个自然数组成的等差数列，和

…… 是2006。最大一项是 。

7．2009＋2008－2007－2006＋2005＋2004－ 2003－2002＋…－7－6＋5＋4－3－2＋1= 。

第8讲 等差数列提高卷