梅县区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

梅县区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f（x）=

被称为狄利克雷

函数，其中R为实数集，Q为有理数集，则关于函数f（x）有如下四个命题：①f（f（x））=1；②函数f（x）是偶函数；③任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对任意的x=R恒成立；④存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．其中真命题的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2． 已知函数f（x）=2ax3﹣3x2+1，若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（ ） A．（1，+∞） B．（0，1） C．（﹣1，0）

3． 下列计算正确的是（ ）

2313D．（﹣∞，﹣1）

A、xxx B、(x)x C、xx4． 如图可能是下列哪个函数的图象（ ）

45545445x D、xx0

4545

A．y=2x﹣x2﹣1 B．y=C．y=（x2﹣2x）ex

D．y=

5． 若f（x）=x2﹣2x﹣4lnx，则f′（x）＞0的解集为（ ） A．（0，+∞） B．（﹣1，0）∪（2，+∞） 6． 设集合Ax|（ ）

A．a1 B．1a2 C.a2 D．1a2

C．（2，+∞）

D．（﹣1，0）

x30,集合Bx|x2a2x2a0,若 AB,则的取值范围 x1第 1 页，共 15 页

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7． 已知lga+lgb=0，函数f（x）=ax与函数g（x）=﹣logbx的图象可能是（ ）

A． B． C． D．

8． 有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（ ） A．3，6，9，12，15，18 B．4，8，12，16，20，24 C．2，7，12，17，22，27 D．6，10，14，18，22，26

9． 函数f（x）=sinωx（ω＞0）在恰有11个零点，则ω的取值范围（ ） A． C． D．时，函数f（x）的最大值与最小值的和为（ ）

A．a+3 B．6 C．2 D．3﹣a

10．已知在平面直角坐标系xOy中，点A(0,n)，B(0,n)（n0）.命题p：若存在点P在圆

(x3)2(y1)21上，使得APB2，则1n3；命题：函数f(x)4log3x在区间 x(3,4)内没有零点.下列命题为真命题的是（ ）

A．p(q) B．pq C．(p)q D．(p)q 11．在△ABC中，AB边上的中线CO=2，若动点P满足•

的最小值是（ ）

B．﹣1 C．﹣2 D．0

A．1

=（sin2θ）

+（cos2θ）

（θ∈R），则（

+

）

12．已知z113i，z23i，其中i是虚数单位，则A．1 B．

z1的虚部为（ ） z244 C．i D．i 55【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.

二、填空题

13．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为 小时．

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14．已知tan()3，tan(15．设全集

4)2，那么tan . ______.

=Sn．则数列{an}的通项公式an= ．

16．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣1，

17．已知集合M={x||x|≤2，x∈R}，N={x∈R|（x﹣3）lnx2=0}，那么M∩N= ． 18．已知直线5x+12y+m=0与圆x﹣2x+y=0相切，则m= ．

2

2

三、解答题

19．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．

（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

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（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．

20．求函数f（x）=

21．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面三角形ABC为正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=2，AA1=4，E为AA1的中点，F为BC的中点 （1）求证：直线AF∥平面BEC1 （2）求A到平面BEC1的距离．

22．已知△ABC的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC的面积．

﹣4x+4在[0，3]上的最大值与最小值．

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23．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=3，且2Sn=an+1+2n． （1）求a2；

（2）求数列{an}的通项公式an；

（3）令bn=（2n﹣1）（an﹣1），求数列{bn}的前n项和Tn．

24．已知函数f（x）=lg（2016+x），g（x）=lg（2016﹣x） （1）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以证明． （2）求使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合．

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梅县区三中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】 D

【解析】解：①∵当x为有理数时，f（x）=1；当x为无理数时，f（x）=0 ∴当x为有理数时，f（f（x））=f（1）=1； 当x为无理数时，f（f（x））=f（0）=1

即不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，故①正确； ②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数， ∴对任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正确；

③若x是有理数，则x+T也是有理数； 若x是无理数，则x+T也是无理数

∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立，故③正确； ④取x1=﹣∴A（

，x2=0，x3=

，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0

，0），B（0，1），C（﹣

，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．

故选：D．

【点评】本题给出特殊函数表达式，求函数的值并讨论它的奇偶性，着重考查了有理数、无理数的性质和函数的奇偶性等知识，属于中档题．

2． 【答案】D

2

【解析】解：若a=0，则函数f（x）=﹣3x+1，有两个零点，不满足条件． 2

若a≠0，函数的f（x）的导数f′（x）=6ax﹣6x=6ax（x﹣），

若 f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，

若a＞0，由f′（x）＞0得x＞或x＜0，此时函数单调递增， 由f′（x）＜0得0＜x＜，此时函数单调递减，

故函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），若x0＞0，此时还存在一个小于0的零点，此时函数有两个零点，不满足条件． 若a＜0，由f′（x）＞0得＜x＜0，此时函数递增， 由f′（x）＜0得x＜或x＞0，此时函数单调递减，

即函数在x=0处取得极大值f（0）=1＞0，在x=处取得极小值f（），

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若存在唯一的零点x0，且x0＞0，

32

则f（）＞0，即2a（）﹣3（）+1＞0， 2

（）＜1，即﹣1＜＜0，

解得a＜﹣1， 故选：D

【点评】本题主要考查函数零点的应用，求函数的导数，利用导数和极值之间的关系是解决本题的关键．注意分类讨论．

3． 【答案】B 【解析】 试题分析：根据aa可知，B正确。

考点：指数运算。 4． 【答案】 C

x2x2

【解析】解：A中，∵y=2﹣x﹣1，当x趋向于﹣∞时，函数y=2的值趋向于0，y=x+1的值趋向+∞， x2

∴函数y=2﹣x﹣1的值小于0，∴A中的函数不满足条件；

B中，∵y=sinx是周期函数，∴函数y=∴B中的函数不满足条件；

的图象是以x轴为中心的波浪线，

C中，∵函数y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，当x＜0或x＞2时，y＞0，当0＜x＜2时，y＜0； 且y=e＞0恒成立，

x

2x

∴y=（x﹣2x）e的图象在x趋向于﹣∞时，y＞0，0＜x＜2时，y＜0，在x趋向于+∞时，y趋向于+∞；

∴C中的函数满足条件； D中，y=

的定义域是（0，1）∪（1，+∞），且在x∈（0，1）时，lnx＜0，

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∴y=＜0，∴D中函数不满足条件．

故选：C．

【点评】本题考查了函数的图象和性质的应用问题，解题时要注意分析每个函数的定义域与函数的图象特征，是综合性题目．

5． 【答案】C

【解析】解：由题，f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=2x﹣2﹣令2x﹣2﹣

2

＞0，整理得x﹣x﹣2＞0，解得x＞2或x＜﹣1，

，

结合函数的定义域知，f′（x）＞0的解集为（2，+∞）． 故选：C．

6． 【答案】A 【解析】

考

点：集合的包含关系的判断与应用.

【方法点晴】本题主要考查了集合的包含关系的判定与应用，其中解答中涉及到分式不等式的求解，一元二次不等式的解法，集合的子集的相关的运算等知识点的综合考查，着重考查了转化与化归思想、分类讨论思想的应用，以及学生的推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中正确求解每个不等式的解集是解答的关键. 7． 【答案】B

【解析】解：∵lga+lgb=0 ∴ab=1则b=

x

从而g（x）=﹣logbx=logax，f（x）=a与

∴函数f（x）与函数g（x）的单调性是在定义域内同增同减

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结合选项可知选B， 故答案为B

8． 【答案】C

【解析】解：从30件产品中随机抽取6件进行检验， 采用系统抽样的间隔为30÷6=5， 只有选项C中编号间隔为5， 故选：C．

9． 【答案】A

【解析】A． C． D．恰有11个零点，可得5π≤ω•求得10≤ω＜12， 故选：A． 10．【答案】A 【解析】

试题分析：命题p：APB＜6π，

2,则以AB为直径的圆必与圆x3y11有公共点,所以

22n12n1,解得1n3,因此,命题p是真命题.命题：函数fx4f41log30,f34xlog3，x4log330,且fx在3,4上是连续不断的曲线,所以函数fx在区间3,43内有零点，因此,命题是假命题.因此只有p(q)为真命题．故选A．

考点：复合命题的真假．

【方法点晴】本题考查命题的真假判断,命题的“或”、“且”及“非”的运算性质,同时也考查两圆的位置关系和函数零点存在定理,属于综合题.由于点P满足APB2,因此在以AB为直径的圆上,又点P在圆

(x3)2(y1)21上，因此P为两圆的交点,利用圆心距介于两圆半径差与和之间,求出的范围.函数

4f(x)log3x是单调函数,利用零点存在性定理判断出两端点异号,因此存在零点.

x11．【答案】 C 【解析】解：∵∴即可得

=（sin2θ）+（cos2θ）﹣

），

+（cos2θ）=

（θ∈R），

﹣

），

22

且sinθ+cosθ=1，

=（1﹣cos2θ）﹣

=cos2θ•（

，

=cos2θ•

+cos2θ•（

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2

又∵cosθ∈[0，1]，∴P在线段OC上，

由于AB边上的中线CO=2， 因此（可得（故选C．

【点评】本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．

12．【答案】B

【解析】由复数的除法运算法则得，

++

）•）•

=2 +

•）•

，设|

|=t，t∈[0，2]，

=﹣2t（2﹣t）=2t2﹣4t=2（t﹣1）2﹣2，

的最小值等于﹣2．

∴当t=1时，（

4zz113i(13i)(3i)68i34i，所以1的虚部为.

5z23i(3i)(3i)1055z2二、填空题

13．【答案】 0.9

【解析】解：由题意，故答案为：0.9

14．【答案】【解析】

试题分析：由tan( =0.9，

4 34)1tan1tan()tan2得tan， tantan[()]

1tan31tan()tan134． 131333考点：两角和与差的正切公式． 15．【答案】{7，9}

【解析】∵全集U={n∈N|1≤n≤10}，A={1，2，3，5，8}，B={1，3，5，7，9}， ∴（∁UA）={4，6，7，9 }，∴（∁UA）∩B={7，9}， 故答案为：{7，9}。 16．【答案】

．

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【解析】解：Sn是数列{an}的前n项和，且a1=﹣1，∴Sn+1﹣Sn=Sn+1Sn， ∴∴{∴

=﹣1，

=﹣1，

=Sn，

}是首项为﹣1，公差为﹣1的等差数列， =﹣1+（n﹣1）×（﹣1）=﹣n．

∴Sn=﹣，

n=1时，a1=S1=﹣1， n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=﹣+∴an=

．

=

．

故答案为：．

17．【答案】 {1，﹣1} ．

【解析】解：合M={x||x|≤2，x∈R}={x|﹣2≤x≤2}， N={x∈R|（x﹣3）lnx2=0}={3，﹣1，1}， 则M∩N={1，﹣1}， 故答案为：{1，﹣1}，

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

18．【答案】8或﹣18

【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质可知圆心直线的距离为半径，先把圆的方程整理的标准方程求得圆心和半径，在利用点到直线的距离求得圆心到直线的距离为半径，求得答案．

22

【解答】解：整理圆的方程为（x﹣1）++y=1 故圆的圆心为（1，0），半径为1 直线与圆相切

∴圆心到直线的距离为半径 即

=1，求得m=8或﹣18

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故答案为：8或﹣18

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人， 所以该考场有10÷0.25=40人，

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为： 40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；

（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：

×=2.9；

（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A， 所以还有2人只有一个科目得分为A，

设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，

则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：

Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．

设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个， 则P（B）=

．

【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．

20．【答案】

【解析】解：∵∵x∈[0，3]，∴x=2，

当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表： x 0 （0，2） 2 （2，3） f′（x） ﹣ 单调递减 0 极小值 + 单调递增 f（x） 4 3 1 2

，∴f′（x）=x﹣4，

2

由f′（x）=x﹣4=0，得x=2，或x=﹣2，

由上表可知， 当x=0时，f（x）max=f（0）=4，

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当x=2时，

21．【答案】

．

【解析】解：（1）取BC1的中点H，连接HE、HF， 则△BCC1中，HF∥CC1且HF=CC1

又∵平行四边形AA1C1C中，AE∥CC1且AE=CC1 ∴AE∥HF且AE=HF，可得四边形AFHE为平行四边形， ∴AF∥HE，

∵AF⊄平面REC1，HE⊂平面REC1 ∴AF∥平面REC1．… （2）等边△ABC中，高AF=

=

，所以EH=AF=

由三棱柱ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，得C1到平面AA1B1B的距离等于∵Rt△A1C1E≌Rt△ABE，∴EC1=EB，得EH⊥BC1 可得S△

=BC1•EH=×

×

=

，

而S△ABE=AB×BE=2

由等体积法得VA﹣BEC1=VC1﹣BEC， ∴S△即×

×d=S△ABE××d=×2×

，（d为点A到平面BEC1的距离）

．…

，解之得d=

∴点A到平面BEC1的距离等于

【点评】本题在正三棱柱中求证线面平行，并求点到平面的距离．着重考查了正三棱柱的性质、线面平行判定定理和等体积法求点到平面的距离等知识，属于中档题．

22．【答案】 【解析】解：由题意设a=n、b=n+1、c=n+2（n∈N+），

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∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A， 由正弦定理得∴

，则，得cosA=

=

=

，

，

，

，

．

由余弦定理得，cosA=∴

化简得，n=4，

∴a=4、b=5、c=6，cosA=， 又0＜A＜π，∴sinA=∴△ABC的面积S=

=

=

，

=

【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．

23．【答案】 ∴a2=4…1；

（2）当n≥2时，2an=2sn﹣2sn﹣1=an+1+2n﹣an﹣2（n﹣1）=an+1﹣an+2， ∴an+1=3an﹣2，

∴an+1﹣1=3（an﹣1）…4， ∴

，

【解析】解：（1）当n=1时，2S1=2a1=a2+2，

∴{an﹣1}从第二项起是公比为3的等比数列…5， ∵∴∴（3）∴

，

， ；

…8

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∴∴

①﹣②得：=

=（2﹣2n）×3n﹣4，…11 ∴

力，属于中档题． 24．【答案】 2016）；

…12

，

①…9 ②

，

【点评】本题考查等比数列的通项公式，数列的递推公式，考查“错位相减法”求数列的前n项和，考查计算能

【解析】解：（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lg（2016+x）﹣lg（2016﹣x），h（x）的定义域为（﹣2016，h（﹣x）=lg（2016﹣x）﹣lg（2016+x）=﹣h（x）； ∴f（x）﹣g（x）为奇函数； 即lg（2016+x）＜lg（2016﹣x）； ∴

；

（2）由f（x）﹣g（x）＜0得，f（x）＜g（x）；

解得﹣2016＜x＜0；

∴使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合为（﹣2016，0）．

【点评】考查奇函数的定义及判断方法和过程，对数的真数需大于0，以及对数函数的单调性．

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