2019-2020学年湖北省咸宁市咸安区八年级（下）期末数学试卷
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请将所选项的字母代号写在题后的括号里）
1．（3分）下列式子为最简二次根式的是（ ） A．
B．
C．
D．
2．（3分）下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ） A．32，42，52
B．
，
，
C．1，
，3
D．3，4，5
3．（3分）下列计算正确的是（ ） A．
B．3
C．
D．
＝
4．（3分）下表是校女子排球队12名队员的年龄分布：
年龄（岁） 人数（名）
13 1
14 4
15 5
16 2
则关于这12名队员的年龄的说法正确的是（ ） A．中位数是14 C．众数是15
B．中位数是14.5 D．众数是5
5．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点（2，0），且y随自变量x的增大而减小，则关于x的不等式kx+b≥0的解集是（ ） A．x≥2
B．x≤2
C．x＞2
D．x＜2
6．（3分）下列命题中，真命题是（ ） A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．四个角相等的菱形是正方形
D．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
7．（3分）如图，在▱ABCD中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（ ）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
8．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点（不与B、D重合），作PE⊥BC于点E，作PF⊥CD于点F，设BE的长为x，四边形PECF的周长为y，能大致表示y与x之间的函数图象的是（ ）
A． B．
C． D．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请把答案直接写在题中的横线上） 9．（3分）计算：
＝ ．
，面积为 ．
10．（3分）正方形ABCD的对角线长为
11．（3分）某公司招聘一名公关人员甲，对甲进行了笔试和面试，其面试和笔试的成绩分别为80分和90分，面试成绩和笔试成绩的权分别是6和4，则甲的最终成绩为 分．
12．（3分）将直线y＝2x+3向下平移6个单位，所得直线的解析式是 ． 13．（3分）数据﹣2，﹣1，0，3，5的方差是 ．
14．（3分）如图，一次图数y＝﹣x+3与一次函数y＝2x+m图象交于点A（﹣2，n），则关于x的不等式组的解集为 ．
，
15．（3分）如图，菱形ABCD的边长为2，∠D＝120°，点Q是BC的中点，点P是对角线AC上一动点，则PB+PQ最小值为 ．
16．（3分）如图，▱ABCD中，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于EF两点，CE、BF交与点G，若AB＝3，BC＝4，则EG2+FG2＝ ．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（7分）计算：|2
|﹣（
）2+
﹣
．
18．（7分）如图，在∠AOC中，OA＝OC，点B在OC边上，四边形ABCD是矩形．请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOC的平分线（请保留画图痕迹），并证明所画射线为∠AOC的平分线．
19．（8分）如图，函数y1＝2x和y2＝kx+4（k为常数，且k≠0）的图象都经过点A（m，3）． （1）求点A的坐标及k的值；
（2）结合图象直接写出）y2≥y1时x的取值范围．
20．（9分）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式，两项成绩的原始分均为100分，前6名选手的得分如下：
序号项目 笔试成绩/分 面试成绩/分
1 85 90
2 92 88
3 84 86
4 90 90
5 84 80
6 80 85
根据规定，笔试成绩和面试成绩按一定的百分比折合成综合成绩．
（1）这6名选手笔试成绩的平均数是 分，中位数是 分，众数是 分． （2）现已知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩的百分比各为多少？
21．（9分）如图，在▱ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过点A作AG∥DB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G＝90°，求证：四边形DEBF是菱形．
22．（10分）盘锦红海滩景区门票价格80元/人，景区为吸引游客，对门票价格进行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，设游客为x人，门票费用为y元，非节假日门票费用y1（元）及节假日门票费用y2（元）与游客x（人）之间的函数关系如图所示． （1）a＝ ，b＝ ；
（2）直接写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（3）导游小王6月10日（非节假日）带A旅游团，6月20日（端午节）带B旅游团到红海滩景区旅游，两团共计50人，两次共付门票费用3040元，求A、B两个旅游团各多少人？
23．（10分）问题背景：
我们知道：如果一个三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，类似地，我们定义：如果一个三角形两边的平方和等于第三边平方的2倍，那么这个三角形就叫美妙三角形． 理解判断：
（1）根据美妙三角形的定义，下列三角形一定是美妙三角形的是 ． A．直角三角形； B．等腰三角形； C．等腰直角三角形； D．等边三角形． （2）在△ABC中，AC＝探索证明：
（3）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠ADC＝90°．E是四边形ABCD内一点，且AE＝AB，DE＝DC．求证：△AED是美妙三角形．
，BC＝
，AB＝1，试判断△ABC是否为美妙直角三角形，并说明理由；
24．（12分）已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：
（1）直接写出线段AP、AQ的长（含t的代数式表示）：AP＝ ，AQ＝ ； （2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；
（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．
2019-2020学年湖北省咸宁市咸安区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题给出的4个选项中只有一个符合题意，请将所选项的字母代号写在题后的括号里） 1．【答案】C 【解答】解：A、B、C、D、
＝2
＝
，不是最简二次根式，不合题意；
，不是最简二次根式，不合题意；
是最简二次根式，符合题意； ＝2
，不是最简二次根式，不合题意；
故选：C． 2．【答案】D
【解答】解：A、（32）2+（42）2≠（52）2，不能构成直角三角形，故本选项错误； B、（
）2+（
）2≠（
）2，不能构成直角三角形，故本选项错误；
C、12+（）2≠32，不能构成直角三角形，故本选项错误；
D、32+42＝52，能构成直角三角形，故本选项正确； 故选：D． 3．【答案】B
【解答】解：A、原式＝B、原式＝2C、原式＝2
+3，所以A选项错误；
，所以B选项正确； ，所以C选项错误；
D、原式＝1，所以D选项错误． 故选：B． 4．【答案】C
【解答】解：观察图表可知：人数最多的是5人，年龄是15岁，故众数是15． 共12人，中位数是第6，7个人平均年龄，因而中位数是15． 故选：C． 5．【答案】B
【解答】解：∵y随自变量x的增大而减小， ∴当x≤2时，y≥0，
即关于x的不等式kx+b≥0的解集是x≤2． 故选：B． 6．【答案】C
【解答】解：A、两邻边相等的平行四边形是菱形，所以A选项错误； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以B选项错误； C、四个角相等的菱形是正方形，所以C选项正确；
D、两条对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以D选项错误． 故选：C． 7．【答案】A
【解答】解：根据平行四边形的性质得AD∥BC， ∴∠EDA＝∠DEC， 又∵DE平分∠ADC， ∴∠EDC＝∠ADE， ∴∠EDC＝∠DEC， ∴CD＝CE＝AB＝6， 即BE＝BC﹣EC＝8﹣6＝2． 故选：A． 8．【答案】A
【解答】解：由题意可得：△BPE和△PDF都是等腰直角三角形．
∴BE＝PE，PF＝CE，那么矩形PECF的周长等于2个正方形的边长．则y＝2x+2（2﹣x）＝4， 故选：A．
二、细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分，请把答案直接写在题中的横线上） 9．【答案】见试题解答内容 【解答】解：故答案为：6． 10．【答案】1．
＝|﹣6|＝6．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AC＝BD＝
，AC⊥BD，
×AC×BD＝
＝1，
∴正方形ABCD的面积＝故答案为：1．
11．【答案】84．
【解答】解：甲的最终成绩为故答案为：84． 12．【答案】y＝2x﹣3．
【解答】解：直线y＝2x+3向下平移6个单位长度后：y＝2x+3﹣6，即y＝2x﹣3． 故答案为：y＝2x﹣3． 13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：这组数据﹣2，﹣1，0，3，5的平均数是（﹣2﹣1+0+3+5）÷5＝1， 则这组数据的方差是：
[（﹣2﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（3﹣1）2+（5﹣1）2]＝故答案为：
．
；
＝84（分）．
14．【答案】见试题解答内容
【解答】解：当y＝0时，﹣x+3＝0，解得x＝3，则一次函数y＝﹣x+3与x轴的交点坐标为（3，0）， ∵一次图数y＝﹣x+3与一次函数y＝2x+m图象交于点A（﹣2，n）， ∴关于x的不等式组故答案为﹣2＜x＜3． 15．【答案】
．
的解集为﹣2＜x＜3．
【解答】解：如图所示，连接DP，BD， ∵点P是菱形对角线AC上一动点，
∴BP＝DP， ∴BP+QP＝DP+PQ，
当D，P，Q在同一直线上时，DP+PQ的最小值等于线段DQ的长， ∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°， ∴BC＝DC，∠BCD＝60°， ∴△BCD是等边三角形， 又∵Q是BC的中点， ∴DQ⊥BC，
∴Rt△CDQ中，∠CDQ＝30°， ∴CQ＝∴DQ＝
∴PB+PQ最小值为故答案为：
． CD＝1，
＝，
＝
，
16．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠AGB＝∠CBG，∠DEC＝∠BCE，
∵∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E，G两点， ∴∠ABG＝∠CBG，∠BCE＝∠DCE， ∴∠ABG＝∠AGB，∠DCE＝∠DEC， ∴AG＝AB，DE＝CD， ∴AG＝DE；
∵在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4， ∴AD＝BC＝4，AF＝DE＝AB＝3，
∴EF＝AF+DE﹣AD＝2，
∵∠ABC+∠DCE＝180°，∠BCD和∠ABC的平分线分别交AD于E，F两点， ∴∠CBF+∠ECB＝90°， ∴∠EGF＝∠BGC＝90°， ∴EG2+FG2＝EF2＝4． 故答案为：4．
三、专心解一解（本大题共8小题，满分72分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【答案】0．
【解答】解：原式＝4﹣2＝0．
18．【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，OP平分∠AOC． 理由如下：∵四边形ABCD为矩形， ∴AP＝CP， ∴OA＝OC， ∴OP平分∠AOC．
﹣4+2
19．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）把A（m，3）代入y1＝2x得2m＝3，解得m＝∴A（把A（
，3），
，3）代入y2＝kx+4得3＝
k+4，解得k＝﹣
；
，
（2）当x≤
时，y2≥y1．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）笔试成绩的平均数：（85+92+84+90+84+80）÷6＝85把这组数据从小到大排列为：80，84，84，85，90，92， 最中间两个数的平均数是（84+85）÷2＝84.5（分）， 则这6名选手笔试成绩的中位数是84.5分；
84出现了2次，出现的次数最多，则这6名选手笔试成绩的众数是84分；
（2）设笔试成绩占的百分比是x，面试成绩占的百分比是y，根据题意得：
，
解得：
．
（分）；
故笔试成绩占的百分比是40%，面试成绩占的百分比是60%． 故答案为：85
，84.5，84．
21．【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD．
∵点E、F分别是AB、CD的中点， ∴BE＝
AB，DF＝
CD．
∴BE＝DF，BE∥DF， ∴四边形DFBE是平行四边形， ∴DE∥BF；
（2）∵∠G＝90°，AG∥BD，AD∥BG， ∴四边形AGBD是矩形， ∴∠ADB＝90°， 在Rt△ADB中
∵E为AB的中点， ∴AE＝BE＝DE，
∵四边形DFBE是平行四边形， ∴四边形DEBF是菱形．
22．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由y1图象上点（10，480），得到10人的费用为480元， ∴a＝
×10＝6；
由y2图象上点（10，800）和（20，1440），得到20人中后10人费用为640元， ∴b＝
（2）设y1＝k1x，
∵函数图象经过点（0，0）和（10，480）， ∴10k1＝480， ∴k1＝48， ∴y1＝48x；
0≤x≤10时，设y2＝k2x，
∵函数图象经过点（0，0）和（10，800）， ∴10k2＝800， ∴k2＝80， ∴y2＝80x，
x＞10时，设y2＝kx+b，
∵函数图象经过点（10，800）和（20，1440）， ∴
， ×10＝8；
∴，
∴y2＝64x+160； ∴y2＝
（3）设B团有n人，则A团的人数为（50﹣n）， 当0≤n≤10时，80n+48×（50﹣n）＝3040， 解得n＝20（不符合题意舍去），
当n＞10时，80×10+64×（n﹣10）+48×（50﹣n）＝3040， 解得n＝30，
则50﹣n＝50﹣30＝20． 答：A团有20人，B团有30人． 23．【答案】（1）D；
（2）△ABC是美妙直角三角形；说明理由见解答； （3）证明过程见解答．
【解答】解：（1）设等边三角形的边长为a， ∵a2+a2＝2a2，
∴等边三角形一定是美妙三角形； 故答案为：D．
（2）△ABC是美妙直角三角形；理由如下： ∵
∴AB2+BC2＝AC2， ∴△ABC是直角三角形， 又∵
∴AB2+AC2＝2BC2，
∴△ABC是美妙直角三角形． （3）证明：连接AC，
＝4，
＝2，
＝3，
＝3，
；
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴△ABC和△ADC均为直角三角形， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2， ∵AB＝BC， ∴AB2+AB2＝AC2， 即2AB2＝AC2，
在Rt△ADC中，AD2+DC2＝AC2， ∴AD2+DC2＝2AB2， ∵DE＝DC，AE＝AB， ∴AD2+DE2＝2AE2， ∴△AED是美妙三角形． 24．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm， ∴AC＝6，
∴由题意知：AP＝2t，AQ＝6﹣t，
（2）如图①过点P作PH⊥AC于H． ∵∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝12cm， ∴∠B＝30°， ∴∠HPA＝30°， ∵AP＝2t，AH＝t， ∴PH＝∴S＝
t， ×AQ×PH＝
×
t×（6﹣t）＝﹣
t2+3
t；
（3）当t＝4时，四边形PQP′C是菱形， 证明：如图②过点P作PM⊥AC于M， ∵CQ＝t，由（2）可知，AM＝
AP＝tcm，
AC＝2时，
∴QC＝AM，当PC＝PQ时，即CM＝MQ＝AQ＝∴四边形PQP′C是菱形，
即当t＝4时，四边形PQP′C是菱形．
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