考研数学（数学一）模拟试卷468 (题后含答案及解析)
题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题
选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1． 若函数f(x)在点x0处的左导数f’(x)和右导数f’+(x0)都存在，则( ) A．函数f(x)在点x0处必可导
B．函数f(x)在点x0处不一定可导，但必连续
C．函数f(x)在点x0处不一定连续．但极限(x)必存在 D．极限f(x)不一定存在
正确答案：B
解析：由f’—(x0)存在，即f(x)=f(x0)，即f(x0一0)=f(x0)； 由f’+(x0)存在，即f(x)=f(x0)，即f(x0+0)=f(x0)， 从而f(x0—0)=f(x0+0)=f(x0)，即f(x)在x=x0处连续，而左右导数存在函数不一定可导，应选(B)．
2． 设平面π平行于两直线及2x—y=z且与曲面z=x2+y2+1相切，则平面π的方程为( )．
A．4x+2y—z=0 B．4x一2y+z+3=0
C．16x+8y一1 6z+11=0 D．16x一8y+8z一1=0
正确答案：C
解析：平面π的法向量为 n={2，一2，1)×{1，2，2}=一3{2，1，一2}． 设平面丌与曲面z=x2+y2+1相切的切点为(x0，y0，z0)，则曲面在该点处的法向量为{2x0，2y0，一1}，整理得 16x+8y一16z+11=0，选(C)．
3． y=的渐近线的条数为( )． A．2 B．3 C．4 D．5
正确答案：C
解析： 故曲线共有4条渐近线，应选(C)．
4． 设D为xOy平面上的有界闭区域，z=f(x，y)在D上连续，在D内可偏导，且满足=一z，若f(x，y)在D内没有零点，则f(x，y)在D上( )．
A．最大值和最小值只能在边界上取到 B．最大值和最小值只能在区域内部取到 C．有最小值无最大值
D．有最大值无最小值
正确答案：A
解析：因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上．定取到最大值与最小值．不妨设f(x，y)在D上的最大值M在D内的点(x0，y0)处取到，即f(x0，y0)=M≠0，此时=一z≠0矛盾，即f(x，y)在D上的最大值M不可能在D内取到，同理f(x，y)在D上的最小值m不可能在D内取到，选(A)．
5． A=，其中以a1，a2，a3，a4两两不等，下列命题正确的是( )． A．方程组AX=0只有零解 B．方程组ATX=0有非零解 C．方程组ATAX=0只有零解 D．方程组AATX=0只有零解
正确答案：D
解析：由a=(a3一a1)(a3一a2)(a2一a1)≠0，得r(A)=3．由r(A)=3＜4，得方程组Ax=0有非零解，不选(A)；由r(AT)=r(A)=3，得方程组ATX=0只有零解，不选(B)；由r(A)=r(ATA)=3＜4，得方程组ATAX=0有非零解，不选(C)；由r(A)=r(AAT)=3，得方程组AATX=0只有零解，应选(D)．
6． 对三阶矩阵A的伴随矩阵A*先交换第一行与第三行，然后将第二列的一2倍加到第三列得～E，且｜A｜＞0，则A等于( )．
A． B． C． D．
正确答案：A 解析：由一E=E13A*E23(一2)得A*=一E13—1E23—1(一2)=一E13E23(2)，因为｜A*｜=｜A｜2=1且｜A｜＞0，所以｜A｜=1，于是A*=A—1，故A=(A*)—1=一E23—1(2)E13—1=一E23(一2)E13选(A)．
7． 设连续型随机变量X的分布函数F(x)严格递增，Y～U(0，1)，则Z=F—1(Y)的分布函数( )．
A．可导
B．连续但不一定可导且与X分布相同 C．只有一个间断点
D．有两个以上的间断点
正确答案：B
解析：因为Y～U(0，1)，所以Y的分布函数为FY(y)=则Z=F—1(Y)的分布
函数为 FZ(z)=P{Z≤z}=P{F—1(Y)≤z}=P{Y≤F(z)}=FY[F(z)]，因为0≤F(z)≤1，所以FZ(z)=F(z)，即Z与X分布相同，选(B)．
8． 对于任意两个随机变量X和Y，若E(XY)=EX．EY，则( )． A．D(XY)=D(X)．D(y) B．D(X+Y)=D(X)+D(Y) C．X和Y独立 D．X和Y不相关
正确答案：D
解析：因为E(XY)=E(X)．E(Y)，所以Coy(X，Y)=E(XY)一E(X)．E(Y)=0，于是ρXY=0，即X，Y不相关，应选(D)．
填空题
9． 为逆时针方向．
正确答案：8π 解析：
10． 设φ连续，且x2+y2+z2=∫xyφ(x+y一t)dt，则2z()=___________．
正确答案：φ(y)一φ(x)一2(x+y) 解析： 11． 设f(x)是以2π为周期的函数，当x∈[一π，π]时，f(x)==___________．
正确答案：
解析：当x为f(x)的连续点时，f(x)=S(x)；
12． 微分方程x2y”一2xy’+2y+=x+4的通解为___________．
正确答案：C1x+C2x2一xlnx+2
解析：令x=et，故原方程的通解为y=C1x+C2x2一xlnx+2．
13． 设矩阵A=不可对角化，则a=___________．
正确答案：0或4 解析：由｜λE—A｜==λ(λ一a)(λ一4)=0得 λ1=0，λ2=a，λ3=4．因为A不可对角化，所以A的特征值一定有重根，从而a=0或a=4．当a=0时，由r(OE—A)=r(A)=2得λ1=λ2=0只有一个线性无关的特征向量，则A不可对角化，a=0符合题意；当a=4时，4E—A=，由r(4E—A)=2得λ2=λ3=4只有一个线性无关的特征向量，故A不可对角化，a=4符合题意．
14． 10件产品中有3件产品为次品，从中任取2件，已知所取的2件产品中至少有一件是次品，则另一件也为次品的概率为___________．
正确答案：
解析：令事件A={所取两件产品中至少有一件次品}，B={两件产品都是次品}，P(A)=1一．
解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15． 设y=y(x)(x＞0)是微分方程2y”+y’一y=(4—6x)e—x的一个解，且=0．(Ⅰ)求y(x)，并求y=y(x)到x轴的最大距离．(Ⅱ)计算∫0+∞y(x)dx．
正确答案：(Ⅰ)2y”+y’一y=(4—6x)e—x的特征方程为2λ2+λ一1—0，特征值为λ1=一1，λ=， 2y”+y’一y=0的通解为y=C1e—x+C2， 令2y”+y’一y=(4—6x)e—x的特解为y0=(ax2+bx)e—x，代入得a=1，b=0， 原方程的通解为y=C1e—x+C2+x2e—x． 由=0得y(0)=0，y’(0)=0，代入通解得C1=C2=0，故y=x2e—x． 由y’=(2x—x2)e—x=0得x=2， 当x∈(0，2)时，y’＞0；当x＞2时，y’＜0，则x=2为y(x)的最大点， 故最大距离为dmax=y(2)=4e—2． (Ⅱ)∫0+∞y(x)dx=∫0+∞x2e—xdx=(3)=2!=2．
16． 设f(x)在[0，1]上二阶连续可导，且f’(0)=f’(1)．证明：存在ξ∈(0，1)，使得 2∫01f(x)dx=f(0)+f(1)+f”(ξ)．
正确答案：令F(x)=∫0xf(t)dt，则F(z)三阶连续可导且F’(x)=f(x)，由泰勒公式得因为f”(x)∈C[ξ1，ξ2]，所以f”(x)在[ξ1，ξ2]上取到最大值M和最小值m，
17． 设f(x)为[一a，a]上的连续的偶函数且f(x)＞0，令F(x)=∫—aa｜x一t｜f(t)dt．(Ⅰ)证明：F’(x)单调增加．(Ⅱ)当x取何值时，F(x)取最小值?(Ⅲ)当F(x)的最小值为f(a)一a2一1时，求函数f(x)．
正确答案：(Ⅰ)F(x)=∫—aa|x—t|f(t)dt=∫—ax(x一t)f(t)dt+∫xa(t一x)f(t)dt =x∫—axf(t)dt一∫—axtf(t)dt+∫xatf(t)dt一x∫xaf(t)dt =x∫—axf(t)dt一∫—axtf(t)dt一∫axtf(t)dt+x∫axf(t)dt， F’(x)=∫—axf(t)dt+xf(x)一xf(x)一xf(t)+∫axf(t)dt+xf(x) =∫—axf(t)dt—∫xaf(t)dt， 因为F”(x)=2f(x)＞0，所以F’(x)为单调增加的函数． (Ⅱ)因为F’(0)=∫—a0f(x)dx一∫0af(x)dx且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为F”(0)＞0， (Ⅱ)因为F’(0)=∫—a0f(x)dx一∫0af(x)dx且f(x)为偶函数，所以F’(0)=0，又因为F’(0)＞0，所以x=0为F(x)的唯一极小点，也为最小点． 故最小值为F(0)=∫—aa|t|f(t)dt=2∫0atf(t)dt． (Ⅲ)由2∫0atf(t)dt=f(a)一a2一1两边求导得 2af(a)=f’(a)一2a， 于是f’(x)一2xf(x)=2x， 解得f(x)=[∫2xe∫—2xdxdx+C]e—∫—2xdx=—1， 在2∫0atf(t)dt=f(a)一a2—1中令a=0得f(0)=1，则C=2，于是f(x)=一1．
18． 设f(x)连续可微，f(1)=1．G为不包含原点的连通区域，任取M，N∈
G，在G内曲线积分(ydx一xdy)与路径无关． (Ⅰ)求f(x)； (Ⅱ)求，取正向．
正确答案：(Ⅰ) 故f(x)=x2． (Ⅱ)取L0：2x2+y2=r2(r＞0，L0在与L0所围成的区域为D1，L0所围成的区域为D2．由格林公式得
19． 计算，其中∑为圆柱面x2+y2=1及平面z=x+2，z=0所围立体的表面．
正确答案：∑1：z=x+2(x2+y2≤1)．在xOy坐标平面上投影区域为D1：x2+y2≤1．∑2：x2+y2=1(0≤z≤x+2)．在xOz坐标平面上投影区域为D2：{x|≤1，0≤z≤x+2}．又∑2关于xOz坐标平面左右对称，被积函数关于y是偶函数，∑21(右半部分)：y=．
20． 就a，b的不同取值情况讨论方程组何时无解、何时只有唯一解、何时有无数个解，在有无数个解时求其通解．
正确答案：D==(a一6)(a+1)，1)当a≠一1，a≠6时，方程组只有唯一解；2)当a=一1时，当a=一1，b≠36时，方程组无解；当a=一1，b=36时，方程组有无数个解，
21． 设α=(1，1，—1)T是A=的一个特征向量．(Ⅰ)确定参数a，b及特征向量α所对应的特征值，(Ⅱ)问A是否可以对角化?说明理由．
正确答案：(Ⅰ)由Aα=λα，得解得a=一3，b=0，λ=一1． (Ⅱ)由｜λE—A｜=(λ+1)3=0，得λ=一1是三重特征值． 因为r(—E—A)=2，所以λ=一1对应的线性无关的特征向量只有一个，所以A不可以对角化．
22． 设X的概率密度为(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)求随机变量X的分布函数；(Ⅲ)求Y=X3的密度函数．
正确答案：
23． 设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，且总体X的密度函数为(Ⅰ)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的极大似然估计量．
正确答案：
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