考研试卷——答案

max(X/Y) Pk 1 1 2 520 220 1320

34. 解：（1），相互独立

对一切i，j，PijPiPj(i1,2,3,j1,2,3)，(,)的联合分布律如下表

  3 2 1 1 2 3 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.05 0.05 0.1 （2）利用分布律表，可计算得：

(,) Z (3,1) (3,2) 5 4 4 (3,3) 3 6 0.1 (2,1) (2,2) (2,3) 3 3 0.1 2 4 1 (1,1) (1,2) 1 2 (1,3) 1 4 0 3 0.1  P 5 0.05 5 0.1 0.1 0.05 0.2 0.2 Z2的分布律表为

Z P 5 0.1 4 3 0.2 2 1 0 0.1 1 0.05 0.05 0.3 0.2 的分布律表为

 P 6 0.1 5 0.15 4 3 0.2 2 0.35 0.2 35. 解：XY的取值为0,1,,nm，当0knm时

min(k,n)P(XYk)j0min(k,n)P(Xj)P(Ykj)jjnjkjkjm(kj)j0CnpqCnCmjCmkpq

knmkmin(k,n)(j0kj)pqnmkCnmpqk36. 解：（1）ZXY在[0,2]中取值。按卷积公式Z的分布密度为 fZ(Z)fX(x)fY(Zx)dx10fY(Zx)dx0Z11Z2其他0x1,Z1xZZ,dx2Z,0,

（2）利用随机变量的商的密度公式，ZXY的密度为

fZ(Z)yfX(yZ)fY(y)dy=1-112yfX(yZ)dy

由于fX(y)是偶函数，fZ(Z)也是偶函数。 当0Z1时，

fZ(Z)10yfX(yZ)dy=1012ydy=14

当1Z+时， fZ(Z)101yfX(yz)dy=2012ydy=14Z2

因此有 1,4fZ(Z)1,24ZZ1 Z137. 解：设任意投两点为A，B，A到O的距离为，B到O的距离为。依题意(,)在边长为a的正方形内均匀分布，即(,)的联合密度函数为

12,P(x,y)=a0,0xa,0ya;其他

需要计算=的分布函数F(Z)。 当Z0时，F(Z)=P(Z)0 当0Za时，

F(Z)= P(Z)P(ZZ)Zx-y=D21a2dudv2=a(aZ)a2当Za时，F(Z)P(Z)1 ,022a(aZ),因此F(Z)2a,12a2Z,故P(Z)F(Z)a20,Z00Za Za0Za其他

38. 解：当Z0，FZ(Z)0 当0Z1时

FZ(Z)3xdxdy+3xdxdyD1D2Z0==dx3xdy+02xxxZ3xdy

12Z(3Z)12(33Z)

2Z(Z)FZ(Z)当Z1时，FZ(Z)Z(Z)FZ(Z)0

10dx3xdy1

0x32(1Z),故Z(Z)20,0Z1其他

39. 解：由题意知，与的密度函数分别为

12(x)222P(x)e，x

1,P(y)=2b0,byb其他

由于仅当byb时，P(y)有非零值

P(Z)=1ba，于是与的相互独立性，可得

P(Zy)P(y)dy12b12bbbP(Zy)dy12Zy=u12bZbZbP(u)du=1ZbZb(u)222

dut2eutZb2b2Zbe2dt=12b[(Zb)(Zb)]

40. 解：由于与相互独立，故(，)的联合密度函数是 2e(x+y),P(x,y)0,x0,y0其他

uxy由函数组x 解得反函数组

vxyxuv (0v1，u0) yu(1v)变换的雅可比行列式为

xJuyuxvyv=v1vuuu

因此

fu,v(u,v)P[x(u,v),y(u,v)]Je=ue2u2[uvu(1v)]u

,u0,0v1故(u,v)的联合密度函数为 2ueu,fu,v(u,v)0,u0,0v1其他

ux2y241. 解：由函数组解得两组反函数 xvyx1y1vu1vu1v22

vux221v及uy221v(u0,v)

于是

x1J1ux2ux1vx2v12u12u=1v1+v11+v1222u(1+v)uu(1+v)2323

21v同理 J2=12(1v)2

而由题设，(,)的联合密度函数为

12122(x+y)2P(x,y)e，x,y+

1vu+u()21+v22fU,V(u,v)2121e12(1v)2故

=2(1v)2eu2

,u0,v即为所求的(U,V)的联合密度函数。

42. 解：（1）依题设知X只能取0,1,2,Y只能取0,1,2,3 当ij2或ij3时，PXi,Yj0 当2ij3时

C2C7C1C103ij3ijPXi,Yj(i0,1,2,j0,1,2,3)

将这些一一计算，列成矩形表格便是所求(X,Y)的分布律的具体表示 （2）而X,Y的边缘分布律也可列于矩形表如下：

X Y 0 0 0 112011201 2 3 X的边缘概率 561205612081200 1 2 Y的边缘0 141207120211202112042120 35120 0 0 0 63120概率 351201 1 （3）因为PX0,Y00，但PX0PY0561201200,所以

PX0,Y0PX0PY0,因此X与Y不相互独立。

（4）在X0的条件下，Y的条件概率为

PYj|X0PX0,YjPX0(j0,1,2,3),

因此Y的条件分布律如表：

Yj|X0 P 2 3 5838 43. 解：注意到X2，对j2，

j1j1P(Xj)P(Yk122k)P(Zjk)qk1j1jk1pqjk1p

pqqk1(j1)pq2j2注意到XY，对i1,,j1，

P(Yi,Zji)P(Xj)qi1Pi|jpqji12p(j1)pqj21j1

44. 解：由边际密度与联合密度的关系可得

P(x)x24(1x)ydy,P(x,y)dy0,00x1其他

12(1x)x2，0x1即P(x)

其他0，124(1x)ydx,P(x,y)dxy,00y1其他P(y)

12y(1y)2，0y1即P(y)

其他0，故由条件密度函数的定义可知，当0y1时，有 24(1x)y,P(x,y)2P|(x|y)12(1x)xP(y)0,yx1xy或x1

于是得到在y的条件下的条件密度为 当0y1时，

2y,P|(x|y)x20,yx1xy或x1

而当y0或y1时，不存在P|(x|y)。 又当0x1时，

24(1x)y,P(x,y)2P|(y|x)12y(1y)P(x)0,0yx1xy或x1

于是得到在x的条件下的条件密度为 当0x1时， 2(1x),2P|(y|x)(1y)0,0yx1xy或x1

而当x0或x1时，不存在P|(y|x)。 45. 解：按题设，我们有

fY|X(y|x)=1exp2212(yx)，

2fX(x)12exp(xm) 22T2T1因此Y的分布密度为

fY(y)fY|X(y|x)fX(x)dx12T12T11exp22(yx)212T22(xm)dx2222222212T2myT2myT2myTexp[(x)()]dx222222222TTTT

2(212T2exp222(T)2T1(ym)2exp2222TT)12T)22[(m22yT)(222T)(m2222yT)]12(2