一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的 1. 点
，则它的极坐标是 ( )
A、 B、 C、 D、
参考答案：
C 2. 设
，
，
，……，
，
(n∈N)，则f2011(x) =（ ）. A. B.
C.
D.
参考答案： A 略
3. 一元二次不等式ax＋bx＋20的解集是(－,)，则a＋b的值是
（ ）。
A. 10 B. －
10 C. 14 D. －14 参考答案：
D
4. 执行如右图所示的程序框图．则输出的所有点
都在函数（ ）的图象上.
A. B. C.
D.
参考答案：
C
5. 设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近
线垂直，那么此双曲线的离心率为
（ ）
A.
B.
C.
D.
参考答案： D
6. 已知椭圆
的右顶点为A，点P在椭圆上，O为坐标原点，且，
则椭圆的离心率的取值范围为
A. B. C. D. 参考答案：
1 / 7
B
7. 设是椭圆
上一动点，
是椭圆的两个焦点，则
的最大值
为[来
A. 3 B. 4 C. 5 D. 16
参考答案：
B
8. 设为两条不同的直线，
为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ）
A. ，则 B. ，则
C. ，则 D.
，则
参考答案：
A 【分析】
依据空间中点、线、面的位置逐个判断即可. 【详解】直线所在的方向向量分别记为，则它们分别为
的法向量，
因，故
，从而有
，A正确.
B、C中可能平行，故B、C错，D中
平行、异面、相交都有可能，故D错. 综上，选A.
【点睛】本题考查空间中与点、线、面位置关系有关的命题的真假判断，属于基础题.
9. 甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“三个人去的景点各不相同”，事件B为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则
等于（ ）
A.
B.
C.
D.
参考答案：
C 【分析】
这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果.
【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有
种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有
种，所以，故选C.
【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.
10. 双曲线
的渐近线的斜率是( )
A. B. C. D.
参考答案：
C 【分析】
直接利用渐近线公式得到答案.
【详解】双曲线渐近线方程为：
答案为C
【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题.
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 执行如图所示的伪代码，输出i的值为 ．
2 / 7
参考答案：
11
【考点】程序框图．
【分析】根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
【解答】解：当i=1，S=0时，满足进行循环的条件，执行循环后，S=5，i=3； 当i=3，S=5时，满足进行循环的条件，执行循环后，S=9，i=5； 当i=5，S=9时，满足进行循环的条件，执行循环后，S=13，i=7； 当i=7，S=13时，满足进行循环的条件，执行循环后，S=17，i=9； 当i=9，S=17时，满足进行循环的条件，执行循环后，S=21，i=11； 当i=11，S=21时，不满足进行循环的条件， 故输出的i值为11， 故答案为：11
12. 椭圆的焦点、，点为其上的动点，当为锐角时，点的横坐标的取
值范围是 ．（改编题）
参考答案：
13. 如图，已知椭圆的方程为：，是它的下顶点，是其右焦点，
的延长线与椭圆及其右准线分别交于、两点，若点恰好是
的中
点，则此椭圆的离心率是 ▲ .
参考答案：
14. 若直线
是y=f(x)在x=2处的切线，则
=______▲_______.
参考答案：
4
15. 下列结论：
①若命题p：?x∈R，tanx=1；命题q：?x∈R，x2﹣x+1＞0．则命题“p∧￢q”是假命题． ②已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0．则l1⊥l2的充要条件为
．
③命题“若x2
﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2
﹣3x+2≠0”； 其中正确结论的序号为 ．
参考答案：
①③
【考点】复合命题的真假；四种命题．
【分析】①若命题p：存在x∈R，使得tanx=1；命题q：对任意x∈R，x2
﹣x+1＞0，则命题“p且?q”为假命题，可先判断两个命题的真假再由且命题的判断方法判断其正误． ②已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0．则l1⊥l2的充要条件为
，由两直线垂直的条件进
行判断．
③命题“若x2
﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2
﹣3x+2≠0”，由四种命题的定义进
行判断；
【解答】解：①若命题p：存在x∈R，使得tanx=1；命题q：对任意x∈R，x2
﹣x+1＞0，则命题“p且?
q”为假命题，此结论正确，对两个命题进行研究发现两个命题都是真命题，故可得“p且?
q”为假
命题．
②已知直线l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0．则l1⊥l2的充要条件为，若两直线垂直时，两直
线斜率存在时，斜率乘积为，当a=0，b=0时，此时两直线垂直，但不满足
，故本命题
不对．
③命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1则x2﹣3x+2≠0”，由四种命题的书写规
则知，此命题正确； 故答案为①③
3 / 7
即C的普通方程为．
，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）
16. 若变量x，y满足约束条件参考答案：
，则x2＋y2的最大值和最小值的和为＿＿＿．
由
将代入（*），化简得y=x+2，
．
所以直线l的倾斜角为
17. 已知等差数列设
参考答案：
略
的首项及公差都是整数，前项和为，若，
的结果为 。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为数），
（t为参
即（t为参数），
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
代入
18. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；
（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．
（α为参数），在以原点为极点，x
．
则所以
解法二：（Ⅰ）同解法一．
【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程．
【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．
（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．
解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．
故
【解答】解法一：（Ⅰ）由
消去参数α，得
，
．
由
消去y得10x+36x+27=0，
2
并化简，得
．
．
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
，所以t1＜0，t2＜0，
．
参考答案：
（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．
于是△=362﹣4×10×27=216＞0． 设A（x1，y1），B（x2，y2），则
，
，所以x1＜0，x2＜0，
19. 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志
4 / 7
愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示. （I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的频率。
（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.
X P 0 1 2 3 4 参考答案：
X的数学期望是
（I） （II）见解析
但不包含
的事件为M，计算即得
=
（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含(II)由题意知X可取的值为：得X的分布列为 X P 【名师点睛】本题主要考查古典概型的概率公式和超几何分布概率计算公式、随机变量的分布列和数学期望.解答本题，首先要准确确定所研究对象的基本事件空间、基本事件个数，利用超几何分布的概
.利用超几何分布概率计算公式
率公式.本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.
3 4 0 1 2 20. （本题满分16分）
生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需要另投入成本为C(x)，当年产量不足80
进一步计算X的数学期望.
试题解析：（I）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含
但不包含
的事件为M，则
千件时，（万元），当年产量不小于80千件时，（万
元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完 .
（1）写出年利润L(x)（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式（利润=销售额-成本）； （2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大.
(II)由题意知X可取的值为：
.则
参考答案：
(1)因为每件商品售价为时,=当
时,
.
万元,则千件商品销售额为
万元,依题意得，当
因此X的分布列为
…………………………………………8分
5 / 7
(2)当
时,.
，
.
此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950（万元）…………………………12分
当时, ， ……14分
当且仅当,即x=100时,L(x)取得最大值1000（万元）. 因为
，所以当年产量为100千件时,生产该商品获利润最大.
答：当年产量为100 千件时,生产该商品获利润最大. …………………………16分 21. 已知点M（3,1），直线。（13分）
（1）求过点M的圆的切线方程；
（2）若直线ax-y+4=0与圆相切，求a的值；
（3）若直线ax-y+4=0与圆相交与A,B两点，且弦AB的长为
，求a的值。
参考答案：
（1）圆心C(1,2),半径r=2,当切线的斜率不存在是，方程为x=3.由圆心C(1,2)到直线x=3的距离d=3-1=2=r知，此时直线与圆相切。
当切线的斜率存在时，设切线方程为 y-1=k(x-3), 即 kx-y+1-3k=0.
由题意知，解得k=,
∴切线方程为，即3x-4y-5=0.
故国M点的圆的切线方程为x=3和3x-4y-5=0。
（2）由题意知
，解得a=0或
（3）∵圆心到直线 ax-y+4=0的距离为
∴解得a=
22. 已知三角形的三个顶点A（4，6），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣4），求BC边上中线和高线所在的
直线方程．
参考答案：
【考点】待定系数法求直线方程． 【专题】数形结合；转化思想；直线与圆．
【分析】利用中点坐标公式、点斜式可得BC边上中线所在的直线方程，利用相互垂直的直线斜率之间的关系可得BC边上的高线AH的斜率，进而得出BC边上高线所在的直线方程． 【解答】解：设BC边中点为M（x0，y0）， ∵B（﹣3，0），C（﹣1，﹣4），
∴
，．
∴M（﹣2，﹣2）．（2分）
又A（4，6），．（4分）
∴BC边上中线所在的直线方程为4x﹣3y+2=0．（6分） 设BC边上的高线为AH，
∵AH⊥BC，
∴
．（8分）
∴BC边上高线所在的直线方程为x﹣2y+8=0．（10分）
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【点评】本题考查了中点坐标公式、点斜式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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