数学建模_传染病模型[1]

传染病模

摘要:

本次实验是让同学们进一步了解、巩固、加强微分方程模型的建模、求解能力；学习掌握用MATLAB进行二维和三维基本图形绘制。因为MATLAB具有很强的图形处理功能和丰富的图形表现方法。它提供了大量的二维、三维图形函数，使得数学计算结果可以方便地、多样性地实现可视化，这是其它语言所不能比拟的。MATLAB不仅能绘制几乎所有的标准图形，而且其表现形式也是丰富多样的。MATLAB不仅具有高层绘图能力，而且还具有底层绘图能力——句柄绘图方法。在面向对象的图形设计基础上，使得用户可以用来开发各专业的专用图形。help graph2d可得到所有画二维、三维图形的命令。

描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮到来的时刻，预防传染病蔓延的手段，按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型。

数学建模

问题重述

问题: 有一种传染病（如SARS、甲型H1N1）正在流行。现在希望建立适当的数学模型，利用已经掌握的一些数据资料对该传染病进行有效地研究，以期对其传播蔓延进行必要的控制，减少人民生命财产的损失。考虑如下的几个问题，建立适当的数学模型，并进行一定的比较分析和评价展望。

1、不考虑环境的限制，设单位时间内感染人数的增长率是常数，建立模型求t时刻的感染人数。

2、假设环境条件下所允许的最大可感染人数为 。单位时间内感染人数的增长率是感染人数的线性函数，最大感染时的增长率为零。建立模型求t时刻的感染人数。 3、现有卫生防疫部门采集到的某地区一定时间内一定间隔区间的感染人数数据（见下表），利用该数据确定上述两个模型中的相关参数，并将它们的预测值与实际数据进行比较分析（计算仿真偏差）并对两个模型进行适当的评价。（注：该问题中，设最大可感染人数为2000人）

4、假设总人口可分为传染病患者和易感染者，易感染者因与患病者接触而得病，而患病者会因治愈而减少且对该传染病具有很强的免疫功能，建立模型分析t时刻患病者与易感染者的关系，并对传染情况（如流行趋势，是否最终消灭）进行预测。

问题分析

1、这是一个涉及传染病传播情况的实际问题，其中涉及传染病感染人数随时间的变化情况及一些初始资料，可通过建立相应的微分方程模型加以解决。

2、问题表述中已给出了各子问题的一些相应的假设。

3、在实际中，感染人数是离散变量，不具有连续可微性，不利于建立微分方程模型。但由于短时间内改变的是少数人口，这种变化与整体人口相比是微小的。因此，为了利用数学工具建立微分方程模型，我们还需要一个基本假设：感染人数是时间的连续可微函数。

关键字: 社会、经济、文化、风俗习惯等因素

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：传染病模型

模型1

在这个最简单的模型中，设时刻t的病人人数x(t)是连续、可微函数，

并且每天每个病人有效接触(足使人致病)的人数为常数考察t到tt病人人数的 增加，就有x(tt)x(t)x(t)t

再设t0时有x0有个病人，即得微分方程

dxx,x(0)x0dt方程（1）的解为

(1)

x(t)x0et(2)

结果表明，随着t的增加，病人人数x(t)无限增长，这显然是不符合实际的。

建模失败的原因在于：在病人有效接触的人群中，有健康人也有病人，而其中只有健康人才可以被传染为病人，所以在改进的模型中必须区别这两种人。

模型2 SI模型

假设条件为

1.在疾病传播期内所考察地区的总人数N不变，即不考虑生死，也不考虑迁移。人群分为易感染者（Susceptible）和已感染者（Infective）两类（取两个词的第一个字母，称之为SI模型），以下简称健康者和病人。时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作s(t)和i(t)。

2.每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率。当病人与健康者接触时，使健康者受感染变为病人。

根据假设，每个病人每天可使s(t)个健康者变为病人，因为病人数为Ni(t)，所以每天共有Ns(t)i(t)个健康者被感染，于是Nsi就是病人数Ni的增加率，即有NdiNsidt(3)dii(1i),dt

s(t)i(t)1i(0)i0(5)

(4)再记初始时刻(t0)病人的比例为i0，则方程（5）是Logistic模型。它的解为

11t1i1e0(6)i(t)~t和di~i的图形如图1和图2所示。 dt 2

数学建模

由(5),(6)式及图1可知，第一，当i1/2时di达最大值，这个时刻为dtmdi到dt

1tmlni101(7)

这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻

tm与成反比，因为日接触率表示该地区的卫生水平，越小卫生水平越高。所以改善保健设施、提高卫生水平可以推迟传染病高

潮的到来。第二，当t时i1,即所有人终将被传染，全变为病人，这显然不符合实际情况。殊莫ª其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，病人不会再变成健康者。

模型3 SIR模型

大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人即非健康者（易感染者），也非病人（已感染者），他们已经退出传染系统。这种情况比较复杂，下面将详细分析建模过程。

模型假设

1.总人数N不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者（Removed）三类，称SIR模型。三类人在总数N中占的比例分别记作s(t),i(t)和r(t)。 病人的日接触率为，日治愈率为（与SI模型相同），传染期接触为 =/。

模型构成

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：传染病模型

由假设1显然有

s(t)+i(t)+r(t)=1 (12)

根据条件2方程（8）仍然成立。对于病愈免疫的移出者而言有 drNNi(13) dt再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(s00)和i0(i00)(不妨设移出者的初始值

r00)，则由(8),(12),(13)式，SIR模型的方程可以写作disii,i(0)i0dtdssi,s(0)s0dt(14)

方程（14）无法求出s(t) 和i(t)的解析解，我们先作数值计算。

模型 4 SIR模型

SIR模型是指易感染者被传染后变为感染住，感病者可以被治愈，并会产生免疫力，变为移除者。人员流动图为：S-I-R。

大多数传染者如天花 流感 肝炎 麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以冰域的人即非易感者，也非感病者，因此他们将被移除传染系统，我们称之为移除者，记为R类

假设：

1 总人数为常数，且i（t）+s（t）+r（t）=n；

2 单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康者人数成正比，比例系数为k（传染强度）。

3 单位时间内病愈免疫的人数与但是的病人人数成正比，比例系数l。称为恢复系数。 可得方程：

diksili,dt dsksi,dti(0)i00s(0)s00初值r(0)r00

模型分析：

由以上方程组的：

di=p/s-1 p=l/k, 所以i=plns/s0-s+n.容易看出当t无限大时 dsi(t)=0;而当s0p时，i(t)单调下将趋于零；上批示，i(t)先单调上升的最高峰，然后再单调下降趋于零。所以这里仍然出现了门槛现象：p是一个门槛。从p的意义可知，应该降低传染率，提高回复率，即提高卫生医疗水平。

令t→∞可得： s0―s=2*s0 (s0―p)/p

所以：δp s0=p+δ，当时，s≈2δ，这也就解释了本文开头的问题，即统一地区

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数学建模

一种传染病每次流行时，被传染的人数大致不变。

模型的应用与推广：

根据传染病的模型建立研究进而推广产生了传染病动力学模型。传染病动力学[1]是对进行理论性定量研究的一种重要方法,是根据种群生长的特性,疾病的发生及在种群内的传播,发展规律,以及与之有关的社会等因素,建立能反映传染病动力学特性的数学模型,通过对模型动力学性态的定性,定量分析和数值模拟,来分析疾病的发展过程,揭示流行规律,预测变化趋势,分析疾病流行的原因和关键。对于2003年发生的SARS疫情,国内外学者建立了大量的动力学模型研究其传播规律和趋势,研究各种隔离预防措施的强度对控制流行的作用,为决策部门提供参考.有关SARS传播动力学研究多数采用的是SIR或SEIR模型.评价措施效果或拟合实际流行数据时,往往通过改变接触率和感染效率两个参数的值来实现.石耀霖[2]建了SARS传播的系统动力学模型,以越南的数据为参考,进行了Monte Carlo实验,初步结果表明,感染率及其随时间的变化是影响SARS传播的最重要因素.蔡全才[3]建立了可定量评价SARS干预措施效果的传播动力学模型,并对北京的数据进行了较好的拟合.

参考文献：

[1]姜启源 编辅导 课程（九） 主讲教师 : 邓 磊 [2]西北工业大学（数学建模） 精品课程

[3]耀霖.SARS传染扩散的动力学随机模型[J].科学通报,2003,48(13)1373-1377

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