一、培优题易错题
1．如图，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第6个图形中小正方形的个数是________，第n（n为正整数）个图形中小正方形的个数是________（用含n的代数式表
示）．
【答案】55；（n+1）2+n
【解析】【解答】第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；
第3个图形共有小正方形的个数为4×4+3； …；
则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n， 所以第6个图形共有小正方形的个数为：7×7+6=55． 故答案为：55；（n+1）2+n
【分析】观察图形规律，第1个图形共有小正方形的个数为2×2+1；第2个图形共有小正方形的个数为3×3+2；则第n个图形共有小正方形的个数为（n+1）2+n，找出一般规律.
2．某儿童服装店老板以32元的价格买进30件连衣裙，针对不同的顾客，30件连衣裙的售价不完全相同，若以45元为标准，将超过的钱数记为正，不足的钱数记为负，记录结果如下表：
售出件数 7 6 3 5 4 5 售价（元） +2 +2 +1 0 ﹣1 ﹣2 请问，该服装店售完这30件连衣裙后，赚了多少钱？
【答案】解：由题意可得，该服装店在售完这30件连衣裙后，赚的钱数为： （45-32）×30+[7×2+6×2+3×1+5×0+4×（-1）+5×（-2）] =13×30+[14+12+3+（-4）+（-10）] =390+15 =405（元），
即该服装店在售完这30件连衣裙后，赚了405元
【解析】【分析】根据表格计算售出件数与售价积的和，再以45元为标准32元的价格买进30件，求出差价，计算即可.
3．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到
B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？
【答案】（1）+3；+4；+2；0；D （2）解：P点位置如图1所示；
（3）解：如图2，
根据已知条件可知：
A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）； 则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10
（4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2）， 所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2， 所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N， 所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）
【解析】【解答】解：（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）； 故答案为：（+3，+4），（+2，0），D；
【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负确定数据即可； （2）根据所给的路线确定点的位置即可； （3）根据表示的路线确定长度相加可得结果；
（4）观察点的变化情况，根据（1）即可确定点走了格数，从而确定结论.
4．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）；
（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．
（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？
【答案】（1）+3；+4；+2；0；D （2）解：P点位置如图1所示；
（3）解：如图2，根据已知条件可知：
A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）； 则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10
（4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2）， 所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2， 所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N， 所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）
【解析】【解答】解：（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）； 故答案为：（+3，+4），（+2，0），D；
【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负确定数据即可； （2）根据所给的路线确定点的位置即可； （3）根据表示的路线确定长度相加可得结果；
（4）观察点的变化情况，根据（1）即可确定点走了格数，从而确定结论.
5．如图，已知数轴上点A表示的数为8，B是数轴上一点，且AB=14，动点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t（t>0）秒。
（1）写出数轴上点B表示的数 ________，点P表示的数________（用含t的代数式表示）；
（2）动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，问点P运动多少秒时追上点Q？
（3）若M为AP的中点，N为PB的中点．点P在运动的过程中，线段MN的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段MN的长； （4）若点D是数轴上一点，点D表示的数是x，请你探索式子|x+6|+|x-8|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】（1）-6；8-5t
（2）解：设点P运动x秒时，在点C处追上点Q（如图）
则AC=5x，BC=3x， ∵AC-BC=AB
∴5x-3x=14 解得：x=7，
∴点P运动7秒时，在点C处追上点Q
（3）解：没有变化．分两种情况： ①当点P在点A、B两点之间运动时：
MN=MP+NP= AP+ BP= （AP+BP）= AB=7 ②当点P运动到点B的左侧时：
MN=MP-NP= AP- BP= （AP-BP）= AB=7 综上所述，线段MN的长度不发生变化，其值为7
（4）解：式子|x+6|+|x-8|有最小值，最小值为14．
【解析】【解答】解：（1）点B表示的数是-6；点P表示的数是8-5t， 【分析】（1）点B表示的数是-6；点P表示的数是8-5t，
【分析】（1）根据点A的坐标和AB之间的距离即可得出B点的坐标和P点的坐标； （2）设点P运动x秒时，在点C处追上点Q，则AC=5x，BC=3x，根据距离的差为14列出方程即可求解；
（3）分类讨论：①当点P在点A、B两点之间运动时，根据MN=MP+NP进行计算即可；②当点P运动到点B的左侧时，根据MN=MP-NP计算即可；
（4）分三种情况去绝对值符号：x8时，原式=x+6+x-8=2x-214; -6x=x+6+8-x=14; x
-6时，原式=-x-6-x+8=-2x+2
14，综上所述得出最小值。
，乙溶液中的酒精浓度为
，
8时，原式
6．有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为 的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？
【答案】 解：假设把水都蒸发掉，则甲溶液盐占盐和酒精的：10%÷（15%+10%）=40%，乙溶液中盐占盐和酒精的：5%÷（45%+5%）=10%； 需要配的溶液盐占盐和酒精的：1÷（1+3）=25%； 则：（0.25-0.1）：（0.4-0.25）=0.15：0.15=1：1，
1千克甲溶液中盐和酒精：1×（15%+10%）=0.25（千克），1千克乙溶液中盐和酒精：1×（5+45%）=0.5（千克）。
答：需要0.5千克乙溶液， 将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍。
，盐浓度为
盐浓度为 ．现在有甲溶液 千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得
【解析】【分析】 可以这样来看，将溶液中的水剔出或者说蒸发掉，那么所得到的溶液就是盐溶在酒精中。（事实上这种情况不符合物理规律，但这只是假设）。这样就能分别求出甲、乙溶液中盐占盐和酒精的百分之几。根据配制成溶液中酒精是盐的3倍先计算出配制后盐占盐和酒精的百分之几。分别求出1千克甲、乙溶液中盐和酒精的质量，然后确定需要加入的乙溶液的重量即可。
7．一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用．现在我把A桶里的液体倒入B桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把B桶里的液体倒进 A桶，使A桶内的液体体积翻番．最后，我又将A桶中的液体倒进B桶中，使B桶中液体的体积翻番．此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在B桶中，水比牛奶多出1升．现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？
【答案】 解：假设一开始 桶中有液体 升， 桶中有 升．第一次将 桶的液体倒入 桶后， 桶有液体 体 桶有液体 等，得
升， 桶剩
升；第二次将 桶的液体倒入 桶后， 桶有液
升；第三次将 桶的液体倒入 桶后，
升．由此时两桶的液体体积相 ．
升， 桶剩
升， 桶剩 ，
，
现在还不知道 桶中装的是牛奶还是水，可以将稀释牛奶的过程列成下表：
初始状态 第一次 桶倒入 桶 第二次 桶倒入 桶 第三次 桶倒入 桶 桶 原 桶液体：原 桶液体 桶 原 桶液体：原 桶液体 ，而题目中说“水比
由上表看出，最后 桶中的液体，原 桶液体与原 桶液体的比是 牛奶多 升”，所以原 桶中是水，原 桶中是牛奶． 因为在
中，“
”相当于1升，所以2个单位相当于1升．由此得到，开始时， 桶
中有 升水， 桶中有 升牛奶；结束时， 桶中有3升水和1升牛奶， 桶中有 升水和 升牛奶．
【解析】【分析】共操作了3次，假设一开始A桶中有溶液x升，b桶中有y升。然后用含有字母的式子分别表示出每次操作后溶液的重量，根据第三次操作后两桶溶液质量相等列出等式，化简等式得到x与y的比是11：5。把稀释牛奶的过程用列表的方法列出来，然后确定前后两个桶中水和牛奶的升数即可。
8．甲、乙、丙三人做一件工作，原计划按甲、乙、丙的顺序每人一天轮流去做，恰好整数天做完，若按乙、丙、甲的顺序轮流去做，则比计划多用半天；若按丙、甲、乙的顺序轮流去做，则也比原计划多用半天．已知甲单独做完这件工作要 天，且三个人的工作效率各不相同，那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做，要用多少天才能完成？ 【答案】 解：==
=
（天）
答：要用天才能完成。
【解析】【分析】 首先应确定按每一种顺序去做的时候最后一天由谁来完成。如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由丙完成，那么按乙、丙、甲的顺序和丙、甲、乙的顺序去做时用的天数将都与按甲、乙、丙的顺序做用的天数相同，这与题意不符；如果按甲、乙、丙的顺序去做，最后一天由乙完成，那么按乙、丙、甲的顺序去做，最后由甲做了半天来完成，这样有
做，最后由乙做了半天来完成，这样有 么
， 可得
；而按丙、甲、乙的顺序去 ， 可得
． 那
， 即甲、乙的工作效率相同，也与题意不合。所以按甲、乙、丙的顺序去
， 可
做，最后一天是由甲完成的。那么有 得
，
。这样就可以根据工作效率之间的关系分别求出乙和丙的工作效
率，用总工作量除以三队的工作效率和即可求出一起做完成的时间。
9．抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的 ．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？ 【答案】 解：甲的工作效率：丙的工作效率：
，
，
乙的工作效率：
，
乙独做的时间：1÷=24（天）。 答：乙一人单独抄需要24天才能完成。
【解析】【分析】 已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的 ， 又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量之和，因此甲两天抄写书稿的 ， 即甲每天抄写书稿的 ；由于丙抄写5天相当于甲乙合抄一天，从而丙6天抄写书稿的 ， 即丙每天抄写书稿的 ，这样用三人的工作效率和减去甲、丙的工作效率即可求出乙的工作效率，进而求出乙单独完成需要的时间。
10．几个同学去割两块草地的草，甲地面积是乙地面积的4倍，开始他们一起在甲地割了半天，后来留下12人割甲地的草，其余人去割乙地的草，这样又割了半天，甲、乙两地的草同时割完了，问：共有多少名学生？ 【答案】 解：每人每天割草：
（名）。
答：共有20名学生。
【解析】【分析】 有12人全天都在甲地割草，设有人上午在甲地，下午在乙地割草．由于这人在下午能割完乙地的草（甲地草的），所以这些人在上午也能割甲地的草，所以12人一天割了甲地的草，这样就可以求出每人每天割草量，用全部草量除以每人每天的割草量即可求出学生总数。
，
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