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中考数学专题复习新定义问题(二)

2020-10-05 来源:好走旅游网
 中考数学专题复习新定义问题(二) 学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________ 评卷人 得分 一、解答题 1.对于平面直角坐标系xOy中的图形W,给出如下定义:点P是图形W上任意一点,若存在点Q,使得∠OQP是直角,则称点Q是图形W的“直角点”. (1)已知点A6,8,在点Q10,8,Q24,2,Q38,4中,______是点A的“直角点”; (2)已知点B3,4,C4,4,若点Q是线段BC的“直角点”,求点Q的横坐标n的取值范围; (3)在(2)的条件下,已知点Dt,0,Et1,0,以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG.若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”,直接写出t的取值范围. 试卷第1页,共8页 2.对于平面内的点M,如果点P,点Q与点M所构成的MPQ是边长为1的等边三角形,则称点P,点Q为点M的一对“关联点”,进一步地,在MPQ中,若顶点M,P,Q按顺时针排列,则称点P,点Q为点M的一对“顺关联点”;若顶点M,P,Q按逆时针排列,则称点P,点Q为点M的一对“逆关联点”.已知A(1,0), 33(1)在O(0,0),B(0,1),C(2,0),D,中,点A的一对关联点是____,它们为点A22的一对___关联点(填“顺”或“逆”); (2)以原点O为圆心作半径为1的圆,已知直线l:y3xb. ∠若点P在∠O上,点Q在直线l上,点P,点Q为点A的一对关联点,求b的值; ∠若在∠O上存在点R,在直线l上存在两点Tx1,y1和Sx2,y2,其中x1x2,且点T,点S为点R的一对顺关联点,求b的取值范围. ∠P,给出如下定义:若图形Q上的所有3.在平面直角坐标系xOy中,对于图形Q 和的点都在∠P的内部或∠P的边上,则∠P的最小值称为点P对图形Q的可视度.如图1,∠AOB的度数为点O对线段AB的可视度. (1)已知点N(2,0),在点M1(0,视度为60º的点是______. (2)如图2,已知点A(-2,2),B(-2,-2),C(2,-2),D(2,2),E(0,4). ∠直接写出点E对四边形ABCD的可视度为______°; ∠已知点F(a,4),若点F对四边形ABCD的可视度为45°,求a的值. 23),M2(1,3),M3(2,3)中,对线段ON的可3 试卷第2页,共8页 4.对于平面内点P和∠G,给出如下定义:T是∠G上任意一点,点P绕点T旋转180°后得到点P',则称点P'为点P关于∠G的旋转点.下图为点P及其关于∠G的旋转点P'的示意图.在平面直角坐标系xOy中,∠O的半径为1,点P(0,-2). (1)在点A(-1,0),B(0,4),C(2,2)中,是点P关于∠O的旋转点的是 ; (2)若在直线yxb上存在点P关于∠O的旋转点,求b的取值范围; (3)若点D在∠O上,∠D的半径为1,点P关于∠D的旋转点为点P',请直接写出点P'的横坐标xP'的取值范围. 试卷第3页,共8页 5.在平面直角坐标系xOy中,对于∠M内的一点P,若在∠M外存在点P,使得MP2MP,则称点P为∠M的二倍点. (1)当∠O的半径为2时, ∠在T1(1,0),T2(1,-1),T3(33,)三个点中,是∠O的二倍点的是 ; 22∠已知一次函数ykx2k与y轴的交点是A(0,a),若一次函数在第二象限的图象上的所有点都是∠O的二倍点,求a的取值范围. 11(2)已知点M(m,0),B(0,),C(1,),∠M的半径为2,若线段BC上存在点P22为∠M的二倍点,直接写出m的取值范围 . 6.在平面直角坐标系xOy中,A1,A2,,Ak是k个互不相同的点,若这k个点横坐标的 不同取值有m个,纵坐标的不同取值有n个,pmn,则称p为这k个点的“特征值”,记为A1,A2,,Akp.如图1,点M(1,1),N(1,2),TM,N123. (1)如图2,圆C的圆心为(0,3),半径为5,与x轴交于A,B两点. ∠TA,B________,TA,B,C _________; ∠直线yb(b0)与圆C交于两点D,E,若TA,B,D,E6,求b的取值范围; (2)点A1,A2,,A8到点O的距离为1或2,且这8个点构成中心对称图形,TA1,A2,,A86,若抛物线yax2bxc(a0)恰好经过A1,A2,,A8中的三个点,并以其中一个点为顶点,直接写出a的所有可能取值. 试卷第4页,共8页 7.在∠ABC中,点P是∠BAC的角平分线AD上的一点,若以点P为圆心,PA为半径的∠P与∠ABC的交点不少于...4个,点P称为∠ABC 关于∠BAC的“劲度点”,线段 PA的长度称为∠ABC 关于∠BAC的“劲度距离”. (1)如图,在∠BAC平分线AD上的四个点P1、P2、P3、P4中,连接点A和点 的线段长度是∠ABC关于∠BAC的“劲度距离”. (2)在平面直角坐标系中,已知点M(0,t),N (4,0). ∠当t=5时,求出∠MON 关于∠MON的“劲度距离”d1的最大值. ∠如果2d22内至少有一个值是∠MON 关于∠MON的“劲度距离”,请直接写出t的取值范围. 试卷第5页,共8页 8.在平面直角坐标系xOy中,若点P和点P1关于y轴对称,点P1和点P2关于直线l对称,则称点P2是点P关于y轴,直线l的完美点. (1)如图1,点A(2,0). ∠若点B是点A关于y轴,直线l1:x4的完美点,则点B的坐标为__________ ; ∠若点C(5,0)是点A关于y轴,直线l2:xa的完美点,则a的值为__________; (2)如图2,∠O的半径为1.若∠O上存在点M,使得点M是点M关于y轴,直线l3:xb的完美点,且点M在函数y2x(x0)的图象上,求b的取值范围; (3)Et,0是x轴上的动点,∠E的半径为2,若∠E上存在点N,使得点N是点N关于y轴,直线l4:y3x2的完美点,且点N在y轴上,直接写出t的取值范围. 9.对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G,给出如下定义:若在图形G上存在两个点M,N,且MN=2,使得以P,M,N为顶点的三角形为等边三角形,则称P为图形G的“正点”.已知A(2,0),B(0,23). (1)在点C1(-1,3),C2(0,0),C3(2, 3)中,线段AB的“正点”是 ; (2)直线yk(x1)3(k0)上存在线段AB的“正点”,求k的取值范围; (3)以Tt,0(t0)为圆心,27为半径作∠T,若线段AB上总是存在∠T的“正试卷第6页,共8页 点”,直接写出t的取值范围. 10.对于平面直角坐标系xOy中的图形M,N,给出如下定义:P为图形M上任意一点,Q为图形N上任意一点,如果P,Q两点间的距离有最小值,那么称这个最小值为图形M,N间的“闭距离”,记作d(M,N),特殊地,当图形M与图形N有公共点时,规定d(M,N)=0 23),C(2,0),D(0,m). 已知点A2,0,B(0,(1)∠求d(点O,线段AB); ∠若d(线段CD,直线AB)=1,直接写出m的值; (2)∠O的半径为r,若d(∠O,线段AB)≤1,直接写出r的取值范围; (3)若直线y3xb上存在点E,使d(E,ABC)=1,直接写出b的取值范围. 11.对于平面直角坐标系xOy中的一点P和C,给出如下的定义:若C上存在一个点A,连接PA,将射线PA绕点P顺时针旋转90°得到射线PM,若射线PM与C相交于点B,则称P为C的直角点. (1)当O的半径为1时, ∠在点D(0,0)、E(1,1)、F(2,2)中,O的直角点是 . ∠已知直线l:yxb,若直线l上存在O的直角点,求b的取值范围. 3(2)若Q(q,0),Q的半径为1,直线y3xq 上存在Q的直角点,直接写2 出q的取值范围. 试卷第7页,共8页 试卷第8页,共8页 参考答案: 1.(1)Q1,Q3;(2)4n222;(3)-3t17或【解析】 【分析】 (1)在平面直接坐标系中画出相关点的坐标,根据定义就可以判断出结果. (2)根据题意画出点Q的位置轨迹,观察图形,满足题意有两种情况,分别计算即可. (3)根据题意画图,并结合第二问,发现当正方形在以OB和OC为直径的圆的相交部分的时候,是不满足题意的,所以找到个边界点,即可解题 【详解】 解:(1)Q1,Q3,如下图: -3+21t3 2 (2)∠∠OQP=90°, ∠点Q在以OP为直径的圆上(O,P两点除外) 如图1,以OB为直径作M,作MH//x轴,交M于点H(点H在点M左侧). ∠点B的坐标为(-3,4), 答案第1页,共30页 53∠M的半径为,点M的坐标为,2. 2235∠xH4. 22如图2,以OC为直径作M,作M. H∠x轴,交M于点H(点H在点M右侧)∠点C的坐标为(4,4), ∠M的半径为22,点M的坐标为(2,2). ∠xH222. ∠n的取值范围是4n222. (3) 正方形1的左下端点为左边界,此时t13. 正方形2的右上端点在右边圆上,圆心坐标为2,2 ,则满足关系式: t12122222, 化简得:t22t60, 7t217. 解得:t11(舍), 3正方形3的左端点在左边圆上,圆心坐标为,2,此时满足关系式: 2523t12, 222化简得:t2+3t30, 解得:t3321321(舍), ,t422正方形4的右下端点在右边圆上,是右边界,t14,t3. 综上所说:满足题意的解集是:-3t17或-3+21t3. 2答案第2页,共30页 【点睛】 本题是新定义题型的考查,能够根据题意画出相关图形,分类讨论是解题关键. 2.(1)C,D,逆(或D,C,顺);(2)∠b0,3或23;∠23b23. 【解析】 【分析】 AB、AC、AD、OD的长,根据“关联点”及“顺(1)根据两点间距离公式,分别求出AO、 关联点”的定义即可得答案; (2)∠根据“关联点”的定义可得APAQPQ1,可得∠QPA=60°,根据∠O半径及点A坐标可得OA=OP=AP,可得∠OAP是等边三角形,根据等边三角形点性质可得1133,P,∠OAP=∠POA=60°,P,,根据12,可得Q1(0,0)2222∠QPA=∠POA=60°,可得PQ//OA,即可得出点Q的横坐标和纵坐标,即可得Q2、Q3坐标,把Q1、Q2、Q3坐标代入直线l解析式求出b值即可;∠作RHST于点H,则RH3,根据圆的性质分别求出b的最大值和最小值即可得答案. 2【详解】 (1)∠A(1,0),O(0,0),B(0,1),C(2,0),D,323, 2∠AO=1,AB=2,AC=1,AD=1,OD=3, ∠∠ACD是等边三角形, 答案第3页,共30页 ∠C、D是点A的“关联点”, ∠点A、C、D按顺时针排列, ∠C、D是点A的“顺关联点”, 故答案为:C,D,顺(或D,C,逆) (2)∠如图. ∠点P,点Q为点A的一对“关联点”, ∠APQ为等边三角形,APAQPQ1, ∠∠QPA=60°, ∠以原点O为圆心作半径为1的圆,点P在∠O上,OA=1, ∠OA=OP=AP, ∠∠OAP是等边三角形, 1133,P,∠∠OAP=∠POA=60°,P,12, 2222∠Q1(0,0), ∠点Q在直线l上, ∠b1=0, ∠∠QPA=∠POA=60°, ∠PQ//OA, 31∠点Q横坐标为+1=, 22 ∠APAQPQ1, ∠点Q纵坐标为3, 23333Q,,Q,∠22232, 233333当Q2,,解得:b3; b时,222233333当Q3,,解得:b23. b时,2222综上所述,b0,3或23. 答案第4页,共30页 ∠如图. ∠点T,点S为点R的一对顺关联点, ∠RTS为正三角形,RT1,RT//x轴,点T和点S在直线l:y3xb上. 作RHST于点H,则RH3, 23, 2当b取最大值时,R1H1l1,OH1OR1R1H11此时b12OH123. 3当b取最小值时,R2H2l2,OH2OR2R2H21, 2此时b22OH2(23)23. 综上所述,b的取值范围为23b23. 【点睛】 本题考查等边三角形点判定与性质、圆点性质及一次函数图象上点点坐标特征,正确理解“关联点”点概念是解题关键. 3.(1)M1,M2;(2)∠90;∠232或232 答案第5页,共30页 【解析】 【分析】 (1)结合勾股定理,等边三角形的判定和性质以及锐角三角函数求角的度数,从而作出判断; (2)∠根据等腰直角三角形的判定和性质求解; ∠根据可视度的定义结合勾股定理分情况讨论求解 【详解】 解:(1)∠点N(2,0),点M1(0,∠M3N∠x轴, ON2ON2tanM13,OM123∠tanM3 M3N3323),M2(1,3),M3(2,3)中, 3∠M360,M160 OM212322,M2N12322 ∠∠OM2N是等边三角形 ∠OM2N=60 ∠对线段ON的可视度为60º的点是M1,M2 故答案为:M1,M2. (2)∠连接EA,ED 由题意可得AG=EG=2,DG=GE=2 ∠∠AGE和∠EDG均为等腰直角三角形 ∠∠AED=90° ∠点E对四边形ABCD的可视度为90° 答案第6页,共30页 故答案为:90; ∠解:由题意可知,四边形ABCD是正方形,点F在直线y=4上. 如图所示,点F对正方形ABCD的可视度为45°, 当点F是以点D为圆心,4为半径的圆和直线y=4的交点时, 过点D作DN∠EF于点N,则有DN=2,DF=4,可得NF=23. ∠a=232. 当点F是以点A为圆心,4为半径的圆和直线y=4的交点时, 同理可得,a=232. 综上,a的值为232或232. 【点睛】 本题考查解直角三角形已经图形与坐标,理解题意,利用数形结合思想解题是关键. 4.(1)点B,点C;(2)222b222;(3)4xp4 【解析】 【分析】 答案第7页,共30页 (1)根据题意结合图即可得出旋转点; (2)使直线yxb分别与圆相切时,求出b的取值范围; (3)考虑全两种情况即可得出取值范围. 【详解】 (1)点B,点C; (2)由题意可知,点P关于∠O的旋转点形成的图形为以点G(0,2)为圆心,以2个单位长度为半径的∠G. 当直线yxb与∠G相切时: 如图1,求得:b222, 如图2,求得:b222. 因为直线yxb上存在点P关于∠O的旋转点,所以,222b222. 图1 图2 (3) 当∠D的圆心在(-1,0)(1,0)时,xp 取最小和最大值, 答案第8页,共30页  P'的横坐标xP'的取值范围4xp4. 【点睛】 此题考查了圆与一次函数图像的知识,解题的关键是能够灵活运用直线与圆相切的特点,进而求解. 5.(1)∠T2,T3;∠【解析】 【分析】 (1)∠根据圆的二倍点的含义判断即可; ∠由于圆的半径为2,根据二倍点的含义,则这些点与圆心O的距离大于1,当直线与半径为1的圆相切时,可求得一次函数解析式中的k值,从而可求得a的值;当直线y=kx+2k与y轴的交点也是O与y轴的交点时,可得a的值,根据题意最后可确定a的取值范围; (2)当MC2且MB1 或MB<2且MC1时,才满足条件,由此可求得m的取值范围. 【详解】 T1不是二倍点; (1)∠∠OT1=1,2OT12,但此时T1点在圆上,不合题意,故 233∠OT2=12122,OT33,而2OT2222,22223153315 (2)或m1a2;m1222232OT3232, ∠T2,T3是二倍点. 故答案为:T2,T3 ∠当x2时,y0, ∠一次函数ykx2k过定点2,0, 如图1,当一次函数ykx2k的图象与半径为1的O相切时, 可得k323,则a. 33答案第9页,共30页 如图2当一次函数ykx2k的图象与y轴的交点也是O与y轴的交点时, 可得a2. ∠由题意可知23a2. 3(2)当MC2且MB1 或MB<2且MC1时,线段BC上存在点P为∠M的二倍点, 1122(1m)4(1m)144即或, 1122m1m444解得:153315或m1 . m12222153315或. m1m12222故答案为:【点睛】 本题是一个新定义问题,涉及直线与圆的位置关系,一次函数的图象,解一元二次不等式组等知识,解题的关键是数形结合. 6.(1)∠3,5;∠2b8且b0,b6;(2)1或2或14. 【解析】 【分析】 (1)∠先写出A,B的坐标,然后根据题意即可求解;∠D,E两点都在直线yb(b0)上,而A,B两点都在直线y0上,因此A,B,D,E四点纵坐标不同的取值有2个,要使得TA,B,D,E6,则A,B,D,E四点横坐标不同的取值必须有4个,此时这四个点的横坐标均不能相同,由对称性,当b6时,D,E分别为(4,6)和(4,6),其横坐标分别与A,B的横坐标相同,不符合题意;由图可知,直线yb与C要有公共点,则2b8,答案可解; 答案第10页,共30页 (2)根据题意画出图形,抛物线yax2bxc(a0),所以a0,抛物线开口向上,因为抛物线经过三个点,且抛物线呈对称,分析抛物线可能经过的点,进行分类讨论即可解得答案. 【详解】 (1)∠由图可知A4,0,B4,0,C0,3, 根据题意可得:TA,B213,TA,B,C325, 故答案为:3,5; ∠解:D,E两点都在直线yb(b0)上,而A,B两点都在直线y0上,因此A,B,D,E四点纵坐标不同的取值有2个,要使得TA,B,D,E6,则A,B,D,E四点横坐标不同的取值必须有4个,于是此时这四个点的横坐标均不能相同. 由对称性,当b6时,D,E分别为(4,6)和(4,6),其横坐标分别与A,B的横坐标相同,不符合题意; 由图可知,直线yb与C要有公共点,则2b8; 综上所述,b的取值范围是2b8且b0且b6. (2)∠T<A1,A2,…,A8>=6, ∠这8个点横坐标的不同取值的个数与纵坐标的不同取值的个数之和为6. ∠点A1,A2,…A8到点O的距离为1或2,且这8个点构成中心对称图形, ∠这8个点构成的图形如下图所示: 它们的坐标分别为:A1(-1,1),A2(0,1),A3(1,1),A4(-1,0),A5(1,0),A6(-1,-1),A7(0,-1),A8(1,-1). ∠抛物线y=ax2+bx+c(a>0), ∠抛物线开口向上. ∠抛物线y=ax2+bx+c(a>0)恰好经过A1,A2,…A8中的三个点,并以其中一个点为顶答案第11页,共30页 点, ∠根据抛物线为轴对称图形可得:抛物线经过A1,A3,A7或A4,A5,A7. ∠抛物线经过A1,A3,A7时, abc1abc1. c1a2解得:b0 c1抛物线经过或A4,A5,A7时, abc0abc0 c1a1解得:b0 c1或这8个点构成的图形如下图所示: 它们的坐标分别为:A1(A3(3214214,),A2(,),444421432143214,),A4(,),A5(,)4444442142143214,),A7(,),A8(,). 444444A6(∠抛物线y=ax2+bx+c(a>0)恰好经过A1,A2,…A8中的三个点,并以其中一个点为顶点, ∠根据抛物线为轴对称图形可得:抛物线经过A1,A3,A6或A4,A2,A7. ∠抛物线经过A1,A3,A6时,A6为顶点,经过A1,A3,设抛物线解析式为答案第12页,共30页 y(x2214). 44将A3坐标代入得: 142214()a. 4444解得:a14. 抛物线经过A2,A4,A7时,A7为顶点,经过A2,A4,设抛物线解析式为 y(x2214). 44将A4坐标代入得: 14322214(). 4444解得:a14. 综上,a的值为1或2或14 【点睛】 本题考查了二次函数的综合运用,解题的关键是进行分类讨论. 7.(1)P2,P3;(2)∠22;∠5t2或2t5. 【解析】 【分析】 (1)以AP为半径,以点P为圆心作圆,观察图形,结合题意即可解答; (2)∠作∠MON的角平分线OE,ON的垂直平分线PF,OE和PF相交于点P,此时∠P过点N,线段OP的长度是∠MON 关于∠MON的“劲度距离”最大值.由此求解即可;∠由题意可知圆心都在直线y=x上,再分当t>0和t<0时两种情况求t的取值范围即可. 【详解】 P3符合要求. (1)以AP为半径,以点P为圆心作圆,则P2、 答案第13页,共30页 P3; 故答案为:P2、(2)∠作∠MON的角平分线OE,ON的垂直平分线PF,OE和PF相交于点P,此时∠P过点N,线段OP的长度是∠MON 关于∠MON的“劲度距离”最大值. 易知,OE的函数表达式为y=x, PF的函数表达式为x=2,从而可得其交点坐标为P(2,2). ∠d1=OP=22; ∠由题意可知,圆心都在直线y=x上, ∠当t>0时, 当d最大为22时,圆P经过点N,此时和∠一样,点M在(0,5)处,即t=5; 11当d最小为2时,圆P经过点M,此时点P的纵坐标为OMt ,所以点P的坐标221212112(t,t),再由OP=2可得(t)(t)(2),解得t=2; 2222∠当t>0时,t的取值范围为2t5. ∠同理,当t<0时,t的取值范围为5t2. 综上所述t的取值范围为5t2或2t5. 【点睛】 本题时一次函数和圆的综合题,正确理解题意是解决问题的关键. 158.(1)∠(6,0),∠3.5;(2)b;(3)234t234. 24【解析】 答案第14页,共30页 【分析】 (1)∠根据点坐标的轴对称变换规律即可得; ∠先求出点A关于y轴,直线l2:xa的完美点,再根据点C的坐标建立方程,求解即可得; (2)先根据完美点的定义、待定系数法求出点M所在直线的解析式为y2x4b,再找出两个临界位置∠直线y2x4b(y0)与位于x轴上方的半圆O相切;∠直线y2x4b(y0)恰好经过点(1,0),分别利用相似三角形的判定与性质、一次函数的性质求出b的值即可得; (3)如图(见解析),先确定点N在E上运动,再利用待定系数法求出直线E1E的解析式,从而求出点K,E的坐标,然后求出E与y轴相切时的t值即可得出答案. 【详解】 解:(1)∠A(2,0), 点A关于y轴对称的点坐标为(2,0), 又点(2,0)关于直线l1:x4对称坐标为(6,0), B(6,0), 故答案为:(6,0); ∠A(2,0), 点A关于y轴对称的点坐标为(2,0), 又点(2,0)关于直线l2:xa对称坐标为(2a2,0),点C(5,0)是点A关于y轴,直线l2:xa的完美点, 2a25, 解得a3.5, 故答案为:3.5; (2)如图,设点M关于y轴的对称点为M, 由完美点的定义得:点M所在直线与点M所在直线y2x(x0)平行, 则设点M所在直线的解析式为y2xc(y0), 设点M的坐标为M(m,2m),则M(2bm,2m),M(2bm,2m), 将点M(2bm,2m)代入y2xc得:2(2bm)c2m, 答案第15页,共30页 解得c4b, 则点M所在直线的解析式为y2x4b, 因此,有两个临界位置:∠直线y2x4b(y0)与位于x轴上方的半圆O相切;∠直线y2x4b(y0)恰好经过点(1,0), ∠直线y2x4b(y0)与位于x轴上方的半圆O相切, 如图,设直线y2x4b(y0)与x轴交于点B,与y轴交于点A, 则A(0,4b),B(2b,0),b0, OA4b,OB2b,ABOA2OB225b, 由圆的切线的性质得:OMAB,OM1, AOBOMB90在AOB和△OMB中,, ABOOBMAOBOMB, OAAB4b25b,即, OMOB12b5, 4解得b∠直线y2x4b(y0)恰好经过点(1,0), 将点(1,0)代入得:24b0, 1解得b, 2点M在函数y2x(x0)的图象上,不含原点O(0,0), b的值不能取, 15则b的取值范围为b; 2412答案第16页,共30页 (3)如图,设点E关于y轴的对称点为E1,点E1关于直线l4:y3x2的对称点为E,连接E1E,交直线l4于点K,则E的半径为2, 当点N在E上运动时,点N在E上运动, 要使点N在y轴上,则E与y轴相切或相交即可, E(t,0), E1(t,0), E1El4, 设直线E1E的解析式为y3xn, 3答案第17页,共30页 将点E1(t,0)代入得:33tn0,解得nt, 3333xt, 33t2333xxty433,解得联立, 3t2yy3x24则直线E1E的解析式为yK(t233t2,), 44又点K是线段E1E的中点, E(t233t2,), 22t232, 2当E与y轴相切时,解得t234或t234, 综上,满足条件的t的取值范围为234t234. 【点睛】 本题考查了点坐标的轴对称变换规律、圆的切线的性质、相似三角形的判定与性质等知识 点,较难的是题(2)(3),正确找出相应的临界位置是解题关键. 9.(1)C1,C2;(2)0k3;(3)6t2-43或-2t0 【解析】 【分析】 (1)按照定义分别判断所给点能否与已知点构成等边三角形即可; (2)根据正点的定义,可以判断满足条件的正点连线是正六边形的两条边,结合直线yk(x1)3过定点1,3,进一步判断的范围即可; (3)根据正点的定义,画出满足题意的圆,根据图形进行计算,即可. 【详解】 解:过点O作OD∠AB, ∠C2(0,0),A(2,0),B(0,23), ∠AB=(20)2(023)2=4, 答案第18页,共30页 ∠OD=OAOB2233, AB4∠在线段AB上存在存在两个点M,N,且MN=2,使得以C2,M,N为顶点的三角形为等边三角形,即:C2是线段AB的“正点”. 同理:C1是线段AB的“正点”. 故答案是:C1,C2; (2)如图,线段AB的“正点”在线段OC和C'D上.且六边形BCOADC'是正六边形, ∠直线yk(x1)3(k0)过定点1,3,是正六边形的中心坐标也是1,3, 答案第19页,共30页  ∠直线yk(x1)3(k0)绕着中心(1,3)旋转. 又∠直线yk(x1)3(k0)过点O和C时,k=3,过点C和D时,k=0, ∠0k3. (3)如下图: 在∠T上取线段MN,使MN=2,往圆外作等边三角形MNE,在MN上取中点D,连接TN,ED,TD,则ED∠MN,TD∠MN,T,D,E三点共线, ∠DE=22123,TD=2721233, ∠大圆的半径=3+33=43, 同理:小圆半径=33-3=23, 当大圆或小圆与线段AB有交点时,线段AB上存在∠T的“正点”, 若大圆过点B时,则TB=43, ∠AB=4,OB=23, ∠OT=4323226, ∠tan∠OBT=OTOB=tan∠OAB,即:∠OBT=∠OAB, OBOA∠∠ABT=∠OBT+∠ABO=∠OAB+∠ABO=90°, ∠此时AB与大圆相切于点B,t=-6, 答案第20页,共30页 若大圆过点A时,AT=43,此时,t=2-43, 若小圆与线段AB相切于点C时, ∠ATC=∠ABO=30°,TC=23, 答案第21页,共30页 ∠AT=TC÷cos30°=23÷3=4,此时,t=-2, 2若小圆经过B点时,圆心与点O重合时,t=0, 综上,-6≤t≤2-43或-2t0. 【点睛】 本题是新定义题型,考查动点轨迹为圆时的综合数据处理,以及等边三角形的性质,锐角三角函数相关知识点,能够根据题意画出图形是解题关键. 10.(1)∠3;∠m232;(2)31r231;(3)232b232 【解析】 【分析】 (1)∠根据题意作图,由三角形的面积公式及“闭距离”的定义即可求解; ∠根据题意作图,根据含30°的直角三角形的性质即可求出D点坐标,故可求解; (2)根据题意作图,由d(∠O,线段AB)≤1,分情况讨论即可求解; (3)根据题意作图,找到d(∠O,线段AB)=1的点,再根据解直角三角形、一次函数的解析式求解方法求出b的值,故可求解. 答案第22页,共30页 【详解】 (1)∠如图,作OH∠AB, 0,B(0,23) ∠A2,∠AO=2,BO=23,AB=2223根据三角形的面积公式可得∠OH=2233 424 11AOBOABOH 22∠d(点O,线段AB)=3; ∠∠AO=2,BO=23,AB=2223∠AB=2AO, ∠∠ABO=30° 如图,作HD∠AB, ∠d(线段CD,直线AB)=1, ∠DH=1 ∠BD=2HD=2 ∠DO=BO-BD=232 24 答案第23页,共30页 ∠D(232,0) ∠m=232; (2)如图,OH∠AB,交∠O于M点,BI=1 当d(∠O,线段AB)≤1 当HM≤1时, 由(1)可得OH=3 ∠r31 当BI≤1时,此时IO=BI+OB=231 ∠r231 故若d(∠O,线段AB)≤1时, r的取值范围为31r231; 答案第24页,共30页 (3)∠ d(E,ABC)=1, 如图,作CM∠直线y3xb于M点,此时CM=1 设直线y3xb与x轴交于K点,则∠CKM=60° 23∠CK=CM÷cos60°= 3∠K(2+23232,0),代入y3xb得03b 33解得b=232 如图,作BG∠直线y3xb于G点,此时BG=1 设直线y3xb与y轴交于N点,则∠GNB=90°-60°=30° ∠BN=2BG=2 ∠N(0,232),代入y3xb得23230b 解得b=232 ∠存在点E,使d(E,ABC)=1, ∠b的取值范围是232b232. 答案第25页,共30页 【点睛】 此题主要考查圆与几何综合,解题的关键是根据题意作图,由“闭距离”的定义及解直角三角形、圆的性质特点进行求解. 11.(1)∠D,E;∠2≤b≤2;(2)【解析】 【分析】 (1)∠如图,由定义可得:A,B都在O上,且APB90, 再分别画出图形,即可得到答案;∠由定义可知,如图O的直角点,分布在以O为圆心以2为半径的圆上或圆内,结合∠可得直线的两个极限位置,从而可得答案; (2)先求解y3x3q与x,y轴的交点坐标,再求解ONK60QNM, 再分两246,再利用对称性得到.情况34 646 q33种情况讨论:情况1:q>0时,结合∠画出图形求解q2:q<0时, q【详解】 46,从而可得答案. 3解:(1)∠如图,由定义可得:A,B都在O上,且APB90, 当P,D重合时,则P0,0,此时APBP1, 答案第26页,共30页 故D是O的直角点, 如图,同理可得;E1,1是O的直角点, 当F2,2时,AFB<90, 答案第27页,共30页 F不是O的直角点, 故答案为:D,E; ∠由定义可知,如图O的直角点,分布在以O为圆心以2为半径的圆上或圆内 由∠可得:当直线yxb过E1,1时, 11b, b2, 当直线yxb过E1,1时, 11b, b2, 答案第28页,共30页 所以2≤b≤2; (2) y3x当x0,则yqx. 23q, 233q0, q, 当y0, 则3x22 3q0,所以直线与x轴交点为N(,0),与y轴的交点K2q, 23qOK2tanONK3. qON2ONK60QNM, 情况1:q>0时, 3如图Q(半径为2)与直线y3xq相切时, 2∠QM2,QNM60, ∠QN∠ON∠qQM26, sin603q26, QN2346. 3答案第29页,共30页 情况2:q<0时,根据对称性,q∠q的取值范围为【点睛】 4646 q3346, 3本题考查的是自定义题,同时考查了旋转的性质,圆的基本性质,圆的切线的性质定理,求解一次函数的解析式,锐角三角函数的应用,掌握数形结合的方法是解题的关键. 答案第30页,共30页

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