[例1] 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．
(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值．
例2、．(2011²山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一 点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( )
A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) ．
二、抛物线的标准方程和几何性质
例3、抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、
2
B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是 ( ) A．4 B．33 C．43 D．8
[悟一法]
1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p，可利用题中已知条件确定p的值．注意到抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．
2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征．
例4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为 ( ) 39
A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x
22
1
三、抛物线的综合问题
[例5] (2011²江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1 值． 的 例6、(2011²湖南高考)(13分)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A， B，l与轨迹C相交于点D，E，求ADEB的最小值 2 ² 例7．已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的1 距离为2，直线l：y＝－x＋b与抛物线C交于A，B两点． 2(1)求抛物线C的方程； (2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程． 2 练习题 1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于 ( ) A．1 B．4 C．8 D．16 2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( ) A．－ 17 16 157B．－ C. 1616 2 D. 15 16 3．(2011²辽宁高考)已知F是拋物线y＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( ) 3 A. 4 2 5 B．1 C. 4 7D. 4 4．已知抛物线y＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( ) A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 5．(2012²宜宾检测)已知F为抛物线y2＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于( ) A．42 A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于 D．16 B．8C． 82 6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 P的坐标是 ( ) A．(－2,1) C．(2,1) B．(1,2) D．(－1,2) 7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ ( ) A．43 B．8 C．83 D．16 8．(2011²陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是 ( ) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 9．(2012²永州模拟)以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 3 10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________． 11．已知抛物线y＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为 F，那么| FA| ＋| FB| ＝________. 2 12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，若x1＋x2＝6，那么 |AB|等于________ 13．根据下列条件求抛物线的标准方程： (1)抛物线的焦点是双曲线 16x2－9y2＝144的左顶点； (2)过点P(2，－4)． 14．已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点 A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OMπ 与OP的夹角为，求△POM的面积． 4 4 一、抛物线的定义及其应用 [例1] 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点． (1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值； (2)若B(3,2)，求|PB|＋|PF|的最小值． [自主解答] (1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1. 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离． 于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到 F(1,0)的距离之和最小．显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，即为5. (2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值为4. 例2、．(2011²山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一 点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( ) A．(0,2) B．[0,2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝4，根据已 知只要|FM|>4即可．根据抛物线定|FM|＝y0＋2由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)． 二、抛物线的标准方程和几何性质 例3、抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，经过F的直线与抛物线交于A、 B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AK⊥l，垂足为K，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，则△AKF的面积是 ( ) A．4 B．33 C．43 D．8 设点A(x1，y1)，其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有 |BF|＝|BB1|；又|CB|＝2|FB|，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝ππCBB1＝.即直线AB与x轴的夹角为. 33 5 |BB1|1 ＝，∠|BC|2 pπ 又|AF|＝|AK|＝x1＋＝4，因此y1＝4sin＝23， 2311 因此△AKF的面积等于|AK|²y1＝³4³23＝43. 22 [悟一法] 1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p，可利用题中已知条件确定p的值．注意到抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量． 2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征． 例4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3则此抛物线的方程为 ( ) 3 A．y2＝x B．y2＝9x 29 C．y2＝x D．y2＝3x 2 解析：分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又|AA1|＝|AF|＝3， ∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F为线段AC的中点．故13 点F到准线的距离为p＝|AA1|＝，故抛物线的方程为y2＝3x. 22三、抛物线的综合问题 [例5] (2011²江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1 值． 的 [自主解答] (1)直线AB的方程是y＝22(x－)，与y2＝2px联立，从而有4x2 2－5px＋p＝0，所以：x1＋x2＝ 2 p5p，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 4 6 所以p＝4，从而抛物线方程是y2＝8x. (2)由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)； 设OC＝(x，y)＝(1，－2 33 2)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)． 3＝8x3，即[2即(2λ－1)2＝4λ＋1.解得λ＝0，或λ＝2. 例6、(2011²湖南高考)(13分)已知平面内一动点P到点F(1,0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A， B，l与轨迹C相交于点D，E，求ADEB的最小值 2 ² 妙解](1)设动点P的坐标为(x，y)，由题意有x－12 ＋y2－|x|＝1.化简得 y2＝2x＋2|x|. 当x≥0时，y2＝4x；当x<0时，y＝0. 所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0)和y＝0(x<0)． (2)由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－y＝kx－11)．由2 y＝4x ，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. (7分) 4 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝2＋2， kx1x2＝1. (8分) 1 因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－. 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则同理可得 kx3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1. ＝(x1＋1)(x2＋1)＋(x3＋1)²(x4＋1) ＝ x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋(x3＋x4)＋1 (11分) 41 ＝1＋(2＋2)＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4(k2＋2)≥8＋4³2 1 1 当且仅当k＝，即k＝±1时，ADEB取最小值16. k2 2 ² kkk2²2＝16. k 7 例7．已知点M(1，y)在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，M点到抛物线C的焦点F的1 距离为2，直线l：y＝－x＋b与抛物线C交于A，B两点． 2(1)求抛物线C的方程； (2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程． 解：(1)抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，由抛物线定义和已知条件可知 2 |MF|＝1－(－)＝1＋＝2，解得p＝2, 故所求抛物线C的方程为y＝4x. 22 ppp2 y＝－1x＋b，2(2)联立y＝4x2 消去x并化简整理得y＋8y－8b＝0. 2 依题意应有Δ＝64＋32b>0，解得b>－2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2 ＝－8，y1y2＝－8b，设圆心Q(x0，y0)，则应用x0＝ x1＋x2 2 ，y0＝ y1＋y2 2 ＝－4. 因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r＝|y0|＝4. 又|AB|＝5[x1－x22 2 ＋y1－y22 ＝1＋4 y1－y22 ＝ y1＋y2－4y1y2]＝564＋32b64＋32b所以|AB|＝2r＝58 ＝8，解得b＝－. 5 48， 5 所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝则圆心Q的坐标为( 2424 ，－4)．故所求圆的方程为(x－)2＋(y＋4)2＝16. 55 1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于 ( ) A．1 B．4 C．8 D．16 解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0，)，双曲线的上焦点为(0,2)， 4依题意则有＝2解得a＝8. 4 aa 8 2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( ) A．－ 17 16 157B．－ C. 1616 D.15 16 y12 解析：抛物线方程可化为x＝－，其准线方程为y＝.设M(x0，y0)，则由 416115 抛物线的定义，可知－y0＝1⇒y0＝－. 1616 3．(2011²辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( ) 3 A. 4 5 B．1 C. 4 7D. 4 解析：根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：11315(|AF|＋|BF|)－＝－＝. 24244 4．已知抛物线y2＝2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 ( ) A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定 解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线 l上的射影，则|AA1|＝|AF|，|BB1|＝|BF|，于是M到l的距离d＝(|AA1|＋|BB1|)11 ＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|＝半径，故相切． 22 5．(2012²宜宾检测)已知F为抛物线y＝8x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于( ) A．42 B．8C． 82 D．16 2 1 2 A、B两点，则||FA|－|FB||的值等于 y＝x－2， 解析：依题意F(2,0)，所以直线方程为y＝x－2由2 y＝8x ，消去y得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||FA|－|FB||＝|(x1＋2)－(x2＋2)|＝|x1－x2|＝(x1＋x2)－4x1x2＝144－16＝82. 6．在y＝2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点 2 P的坐标是 ( ) 9 A．(－2,1) C．(2,1) B．(1,2) D．(－1,2) 2 解析：如图所示，直线l为抛物线y＝2x的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取 等号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，则可排除A、C、D.答案：B 7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ ( ) A．43 B．8 C．83 D．16 8．(2011²陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是 ( ) A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 解析：由准线方程x＝－2，可知抛物线为焦点在x轴正 半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为 y2＝2px＝8x 9．(2012²永州模拟)以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________． 解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y＝－4，则圆心为(0,4)，半径r＝8.所以，圆的方程为x2＋(y－4)2＝64. 10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________． 解析：设抛物线方程为x2＝ay(a≠0)，则准线为y＝－.∵Q(－3，m)在抛 4物线上，∴9＝am.而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离， aa99a∴|m－(－)|＝5.将m＝代入，得|＋|＝5，解得，a＝±2，或a＝±18， 4aa4∴所求抛物线的方程为x＝±2y，或x＝±18y. 11．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点，抛物线的焦点为 F，那么| FA| ＋| FB| ＝________. 2 2 10 y2＝4x解析：由 2x＋y－4＝0 ，消去y，得x2－5x＋4＝0(*)，方程(*)的两根 为A、B两点的横坐标，故x1＋x2＝5，因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，所 以| FA| ＋| FB| ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝7 12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，若x1＋x2＝6，那么 |AB|等于________ 解析：因线段AB过焦点F，则|AB|＝|AF|＋|BF|.又由抛物线的定义知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，故|AB|＝x1＋x2＋2＝8. 13．根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线 16x2 －9y＝144的左顶点；(2)过点P(2，－4)． 解：双曲线方程化为－＝1，左顶点为(－3,0)，由题意设抛物线方程为 916 2 x2y2 py2＝－2px(p>0)，则－＝－3，∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝－12x. 2 (2)由于P(2，－4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1， ∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y. 14．已知点A(－1,0)，B(1，－1)，抛物线C：y2＝4x，O为坐标原点，过点 A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OMπ 与OP的夹角为，求△POM的面积． 4 解：设点M(，y1)，P(，y2)， 44 ∵P，M，A三点共线， ∴kAM＝kPM， 即 y21y22 y1y2 1 ＝4 ＋1 y1－y2y11 ＝，∴y1y2＝4. 22，即2 y1y2y1＋4y1＋y24－4 4 4 4 y2y2π12 ∴ OM² OP＝²＋y1y2＝5.∵向量 OM与 OP的夹角为， π1π5∴| OM|²|OP |²cos＝5.∴S△POM＝| OM| ²| OP| ²sin＝. 4242 11 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容