关于抛物线的一个性质及其应用

一　薯　曩≯　—　关于勤脚线的－一令ＪＩ＝！Ｉ－质及　江苏省兴化市第一中学　张　俊　用　性质过抛物线Ｙ　一２ｐｘ的对称轴上　一定点（ｎ，０）的直线与此抛物线相交于两　点，则这两点的纵坐标之积为定值一２　口．　证明直线的方程可设为ｚ—ｍｙ＋口，　将直线方程与抛物线方程组成方程组　ｆ｛　ｚ—ｍ、７＋ｄ．　，　消去Ｘ得Ｙ。一２ｐｒａｙ－－２ｐａ一０，　ＩＹ　一ｚＰ　’　由韦达定理即得Ｙ　・Ｙ　一一２ｐａ为定值．　在处理抛物线问题时灵活运用这一性　质效果奇佳，我们一起来看一看．　★一、证明三点共线　例１　如图ｌ，过抛物线３Ｊｚ一４ｚ交点Ｆ　的直线与抛物线交于Ａ，Ｂ两点，过点Ｂ作ｚ　轴的平行线ＢＣ与抛物线的准线相交于点　Ｃ，证明：Ａ，０，Ｃ三点共线．　Ｊ　Ｄ　／　＼　ｊ　图１　证明设Ａ（ｘ　，　），Ｂ（ｘ２，Ｙ　），则直线　ＡＯ　—　Ｙｌ一　Ｙｌ一　４．　．』　１　Ｖ１　Ｖ１　４　由于准线方程为．３２一一１，所以Ｃ（～１，　ｚ），则直线ＣＯ的斜率为ｋ∞一一　．　因为焦点Ｆ（１，０），所以由性质知Ｙ１　Ｙ２　一一４，所以＿兰＿一一　２，所以忌们一ｋｃｏ，所以点　ｙｌ　Ａ，０，Ｃ三点共线．　说明可以证明更一般的结论：过点　Ｍ（ｍ，Ｏ）的直线ＡＢ与抛物线．ｙ　一２ｐｘ　（　＞Ｏ）交于Ａ，Ｂ两点，过点Ｂ作　轴的平　行线ＢＣ与直线￡：ｚ一一ｍ相交于点Ｃ，则　Ａ，０，Ｃ三点共线．　二、证明直线的斜率为定值　例２过抛物线ｙＺ—　上一点Ａ（４，２）　作倾斜角互补的两条直线ＡＢ，ＡＣ，交抛物　线于Ｂ，Ｃ两点，求证：直线ＢＣ的斜率为　定值．　证明设Ｂ（．ｚ１，Ｙ１），Ｃ（ｚ２，Ｙ２），直线　ＡＢ，ＡＣ与ｚ轴交于Ｐ（　３，０），Ｑ（ｘ　，０）．　因为直线ＡＢ，ＡＣ的倾斜角互补，所以　直线ＡＢ与直线ＡＣ关于直线　：４成轴　对称．　则　３＋ｚ４—２×４—８．　由性质知　１・ＹＡ一一ｚ３，所以Ｙ１一～　．同理　。一一　５Ｃ４．　所以忌　一　Ｙｌ　－Ｙ２一　Ｙｌ　－ｙ２一　１　一　ｊＥ１一ｊ　’　Ｖ　—Ｖ；　Ｖ１－１一Ｖ’　Ｎｅｗ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｅｎｔｒａｎｃｅ　Ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ　８１１　１新赢啻数学　１　２　ｌ　Ａ，Ｂ，则直线ＡＢ经过定点（ｚ。＋２　，一　。）　ｚ３　ｚ４　２　２　ｚ３＋　４　４‘　故直线ＢＣ的斜率为定值～　１．　四、证明直线斜率的比值为定值　说明可以证明更一般的结论：过抛物　例４　如图４，已知抛物线ｙ２—２　ｚ（户　Ｍ（２，０）是　轴上两定点，　线Ｙ　一２ｐｘ上的一定点Ａ（ｚｏ，ｙ。）作倾斜角　＞０），点Ｎ（１，０），互补的两条直线ＡＢ，ＡＣ，交抛物线于Ｂ，Ｃ　过点Ｎ作斜率为ｋ。的直线与抛物线交于　两点，则直线ＢＣ的斜率为定值．　三、证明直线过定点　例３　过抛物线ｙ２—２　的顶点０作　相互垂直的弦ＯＡ，ＯＢ，与抛物线相交于另　两点Ａ，Ｂ，证明直线ＡＢ过定点．　证明设Ａ（　，ｙ　），Ｂ（ｚ２，Ｙ２），直线　ＡＢ与　轴的交点为Ｃ（　，０）．　则由性质知Ｙ　・Ｙ２＝＝＝一２ｐｒｏ．　因为ＯＡ上ＯＢ，所以ｚ　ｚ２＋．ｙ　ｙ２一ｏ，所　以券・券　ｚ＿０．　由题意知ｙ　ｙ２≠ｏ，所以ｙ１ｙ２：＝＝～４　，　所以一２ｐｒｏ＝：＝一４ｐ　．　所以　一２　为定值，即直线ＡＢ恒过定　点（２Ｐ，０）．　一　Ｄ　ｊ　图３　说明可以证明更一般的结论：过抛物　线Ｙ　一２ｐｘ上的一定点Ｐ（ｚ。，Ｙｏ），作互相　垂直的弦ＰＡ，ＰＢ与抛物线相交于另两点　柏　Ｎｅｗ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｅｎｔｒａｎｃｅ　Ｅｘａｍｉｎａｔｉｏｎ　—Ａ，Ｂ两点，延长ＡＭ，ＢＭ交抛物线于Ｃ，Ｄ　两点，设直线ＣＤ的斜率为　，试证明　为　２　一定值．　０　图４　证明设Ａ（　，　一），Ｂ　２ｐ，　ｅ），　ｃ（苏　），Ｄ（　２　）．　由性质得ＹＡ　Ｂ一一Ｚｐ，ＹＡＹｃ一～４ｐ，　ＹｎＹＤ一一４　．　因为尼　一　二嚣一　２ｐ，　２ｐ　２ｐ　所以是　一　一歹　２ｐ一　２ｐ　２ｐ　一　ＡＹＢ　４ｐ￣－－４ｐ一２（ｙＡ＋．ｙＢ）　．ｙＡ　ＹＢ　一二　２　Ｙ　４－ＹＢ一　２志。，故　为定值　２．一忌２　～～‘　（Ａ　）　　说明在例４条件不变的前提下，可以　证明直线ＣＤ经过定点．