抛物线及其性质知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

注 若在定义中有Fl，则动点的轨迹为l的垂线，垂足为点F. 二、抛物线的方程、图形及性质

抛物线的标准方程有4种形式：y2px,y2px,x2py,x2py(p0)，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向（如表10-3所示）

表10-3 标准方程 2222y22px(p0) y22px(p0) x22py(p0) x22py(p0) y 图形 O F x l y F O y x l F O y O F l x l x 对称轴 顶点 焦点坐标 准线方程 x轴 原点(0,0) y轴 p(,0) 2px 22(p,0) 2px 2p(0,) 2py 2p(0,) 2py 2三、抛物线中常用的结论 1. 点P(x0,y0)与抛物线y2px(p0)的关系

2（1）P在抛物线内（含焦点）y02px0. 2（2）P在抛物线上y02px0. 2（3）P在抛物线外y02px0.

2. 焦半径

抛物线上的点P(x0,y0)与焦点F的距离称为焦半径，若y2px(p0)，则焦半径PFx02p，2PFmaxp. 23. p(p0)的几何意义

p为焦点F到准线l的距离，即焦准距，p越大，抛物线开口越大.

4. 焦点弦

若AB为抛物线y2px(p0)的焦点弦，A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有以下结论：

2p2（1）x1x2.

4（2）y1y2p.

（3）焦点弦长公式1：ABx1x2p，x1x22x1x2p，当x1x2时，焦点弦取最小值

22p，即所有焦点弦中通径最短，其长度为2p.

焦点弦长公式2：AB2p（为直线AB与对称轴的夹角）.

sin2（4）AOB的面积公式：SAOB5.抛物线的弦

p2（为直线AB与对称轴的夹角）. 2sin2若AB为抛物线y2px(p0) 的任意一条弦，A(x1,y1),B(x2,y2) ，弦的中点为

M(x0,y0)(y00) ，则

（1） 弦长公式：AB1k2x1x211y1y2(kABk0) k2（2） kABp y0p(xx0) y0（3） 直线AB的方程为yy0（4） 线段AB的垂直平分线方程为yy0y0(xx0) pA法） 4AA2 （1）yAx(A0), 焦点为(,0) ，准线为x

44AA2(2) xAy(A0), 焦点为(0,) ，准线为y

44y1122如y4x，即x，焦点为(0,) ，准线方程为y

416166．求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（7．参数方程

x2pt2 y2px(p0) 的参数方程为 （参数tR）

y2pt28．切线方程和切点弦方程

2 抛物线y2px(p0)的切线方程为y0yp(xx0),(x0,y0)为切点

切点弦方程为y0yp(xx0),点(x0,y0)在抛物线外

与中点弦平行的直线为y0yp(xx0),此直线与抛物线相离，点(x0,y0)（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果。

题型归纳及思路提示

题型1；抛物线的定义与方程 思路提示

求抛物线的标准方程的步骤为：

(1) 先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置： (2) 根据题目条件列出P的方程 (3) 解方程求出P，即得标准方程

例10．23 已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切,求的值为（ ）

1 B． 1 C． 2 D．4 2pp2222解析；抛物线的准线为x，圆xy6x70的标准方程为(x3)y16 ，由x与

22p圆相切，知3()4，解得p2，故选C

2A．

评注 准线 是抛物线的重要性质，要熟记准线方程。

变式1 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是（ ）

2A．y8x B． y8x C．y4x D．y4x

2222变式2 设M(x0,y0) 为抛物线C:x8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心，FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（ ）

A．0,2 B． 0,2 C．2, D．2,

例10.24 若点p到直线x1的距离比它到点2,0的距离小1 ，则点p的轨迹为（ ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析 解法一：（直接法）设P(x,y) ，依题意有x12(x2)2y21 ，

22当x1 时，x11(x2)y ，整理得y8x

2当x1 时，y4(x1) ，显然不成立，故点p的轨迹方程为y8x(x0)

2解法二：（定义法）由题意可知，点p只能在x1的右侧，点p到直线x2 的距离等于它到点

2,0的距离，根据抛物线的定义知，点p的轨迹是抛物线，故选D

变式1 设圆C 与圆x(y3)1 外切，与直线y0 相切，则C的圆心轨迹为（ ） A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．圆

变式2 动点M到点F(2,1)的距离和到直线l:3x4y100 的距离相等，则动点M的轨迹为（ ） A．抛物线 B．直线 C．线段 D．射线

22例10.25 设抛物线y28x上一点P 到y 轴的距离是4 ，则点P抛物线焦点的距离是（ ）

A．4 B．6 C．8 D．12 解析 由焦半径公式PFxpp426 知点P到焦点的距离为6，故选B 2变式1 （2012四川理8）已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2,y0) ，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM（ ） A．22 B．23 C．4 D．25

变式2 已知F是抛物线yx的焦点，A,B 是该抛物线上的两点，AFBF3 则线段AB的中点到y轴的距离为（ ） A．

2357 B．1 C． D． 4442变式3 设F为抛物线y4x的焦点，A,B,C 为该抛物线上三点，若FAFBFC0 ，则

FAFBFC（ ）

A．9 B．6 C．4 D．3

例10.26 过抛物线y22px(p0) 的焦点F作倾斜角为60的直线与抛物线分别交于A,B两点（点A

在x轴上方），则

AF BFp，作ACl 于点C，BDl于点D，BHAC于2解析 如图10-10所示，由题意得准线l:x点H，则AFAC,BFBD ，AHACBDAFBF ，因为在三角形AHB中，

HAB60，所以cos60AHAFBFAF1(AFBF)AFBF ，即 ，得3 2ABAFBFBF

变式 1 已知F是抛物线C:y4x的焦点，过F且斜率为1的直线交C于A,B 两点，设FAFB，则FA与FB的比值等于

变式2 已知点A(2,0)，抛物线C:x4y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N ，则FM:MN（ ）

A．2:5 B．1:2 C．1:5 D．1:3

题型2 与抛物线有关的距离和最值问题 思路提示

抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解。

22例10.27已知直线l1:4x3y60 和直线l2:x1，抛物线y24x上一动点P 到直线l1和l2的距

离之和的最小值是（ ） A．2 B．3 C．

1137 D． 5162分析 画出图形，利用等价转化，将距离之和的最小值转化为点到直线的距离。

解析 作辅助线如图10-11所示，连接PF 抛物线方程为y4x，l2为其准线，焦点为F(1,0) ，由抛物线的定义可如PH1PH2PH1PFFH1d(F,l1)2 ，故选A

评注 本题考查抛物线的定义及转化与化归的数学思想

变式 1 已知点P是抛物线y2x 上的一个动点，则点P到点M(0,2)与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）

2A．

179 B．3 C．5 D． 222变式2 已知点P在抛物线y4x上，那么当点P到点Q(2,1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）

A．(,1) B．(,1) C．(1,2) D．(1,2)

变式3 动圆满足过定点F(1,0) ，且与定直线x1相切，直线l:yx221 与动圆有公共点，则动圆的面积最小值为

题型3 抛物线中三角形，四边形的面积问题 思路提示

解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比。

例10.28（2012北京理12）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y4x的焦点F，且与该抛物线相交于A,B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60，则OAF的面积为

22解析 解法一：直线l的方程为y3(x1) 没，代入y4x得3x10x30 解得x1214141,x23 3得A(3,23) S

OAP11OFyA1233 22

解法二： 如图10-12所示，由题意得抛物线的准线l:x1，过A作ACl于C，FHAC于H，连接CF,OA，则AFAC，又CAF60，故三角形ACF为正三角形，因为CHp2 ，所

11OFOH1233 OAF22评注 解法一求出了交点A 的坐标，从而求得OAF 的面积；解法二利用了抛物线的定义及三角形的性质，得出OAF中边OF 的高，计算量较小，方法更简捷

以FH23 ，所以S变式1 （2012安徽理9）过抛物线y4x 的焦点F的直线交抛物线于A,B 两点，点O是坐标原点，若AF3，则AOB的面积为（ ）

2A．

22 B．2 C．3 D．22 222例10.29 抛物线y4x的焦点为F，准线为l ，经过F且斜率为3的直线与抛物线在x轴上方的部分

相交于点A，AKl，垂足为K，则AKF的面积是（ ） A．4 B．33 C．43 D．8

分析 作出图形，利用数形结合思想，在图中找到三角形的底和高从而使问题得以解决。 解析 解法一：如图10-13所示，由题意可知F(1,0)，准线方程为x1，由y3(x1)y4x2 ，解得

A(3,23) ，故AK314，因为直线AF的斜率3，所以AFx60，则FAK60，又

AKAF，则

SAKFAKF为正三角形，AKF的底为AK4 ，高为23，所以

142343 2

解法二： 由焦点F到准线l的距离为2，因为直线AF的斜率为3 ，所以AFx60，则FAK60，又AKAF，则AKF为正三角形，则FAK60FAK30，则KF2FF4 ，所以

SAKF32443，选C 42变式1 已知抛物线C;y8x的焦点为F，准线与x 轴的交点为K，点A在C 上且AK2AF，则AKF的面积为（ ）

A．4 B．8 C．16 D．32

2变式2 设抛物线y2x的焦点为F，过点M(3,0)的直线与抛物线相交于A,B两点，与抛物线的准

线相交于点C ，BF2，则

SSBCFACF 等于（ ）

A．

4241 B． C． D． 5372 有效训练题

1．抛物线y24ax(a0)上有一点M，它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为( ) A．y8x B．y12x C．y16x D．y20x 2.若点P到直线x2 的距离比它到点(1,0) 的距离大1,则点P的轨迹为( ) A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

3.已知抛物线y2px ,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定

222222x2y224. 已知双曲线C1:221(a0,b0)的离心率为2,若抛物线C2:x2py(p0) 的焦点到双曲

ab线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2 的方程为( ) A．x283163y B．x2y C．x28y D．x216y 3325. 等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上, C与抛物线y16x的准线交于A,B两

点,AB43 ,则C的实轴长为( )

A．2 B．22 C．4 D．8

6. 已知P,Q 为抛物线x2y 上两点,点P,Q的横坐标分别为4,2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A的纵坐标为( )

A．1 B．3 C．4 D．8

7. 已知以F为焦点的抛物线y4x 上的两点A,B 满足AF3FB，则弦AB 的中点到准线的距离为 8．若点3,1是抛物线y2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p 2229．已知点A2,0,B4,0 ，动点P在抛物线y4x上运动，则APBP取得最小值时的点P的坐标

2是

10．已知抛物线y2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点

（1）若有点A3,2，求的最小值，并PAPF求出取最小值时P点的坐标 （2）若点A的坐标为2,3，求PAPF的最小值

（3）若P点在y轴上的射影是M，点A的坐标是,4，求PAPM的最小值.

27211．已知抛物线方程y2mxmR，且m0 （1）若抛物线焦点坐标为1，0，求抛物线的方程

（2）若动圆M过A，且圆心M在该抛物线上运动，E，F是圆M和y轴的交点，当m满（2，0）足什么条件时，EF是定值？

12．如图10-14所示，已知点A2,8，Bx1,y1,Cx2,y2均在抛物线y2pxp0上，ABC的

2重心与此抛物线的焦点F重合。

（1）写出该抛物线的方程及焦点F的坐标 ； （2）求线段BC的中点M的坐标； （3）求BC所在直线的方程.