顶点 对称轴 离心率 焦点 准线方程 范围 开口方向 知识拓展： pF2，0 px＝－ 2x≥0，y∈R 向右 p－，0 F2px＝ 2x≤0，y∈R 向左 y＝0 O(0，0) x＝0 e=1 p0， F2py＝－ 2y≥0，x∈R 向上 p0，－ F2py＝ 2y≤0，x∈R 向下 pp，0的距离|PF|＝x0＋，也称为抛物线的焦半径． 1．抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点F22 2．已知过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点的直线交抛物线于A、B两点，焦点为F，设A（x1，y1），B（x2，y2），112p22p2yypxx则有下列性质：ABx1x2p，，，等. (为AB的倾斜角)12122AFBFp4sin 精典例题透析 2[例1] 已知抛物线的定点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线5x-2y-10=0上，那么抛物线方程为__________.y8x [巩固]抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的标准方程是_________. y24x [例2] 已知抛物线y2px(p0)的准线经过点（-1，1），则该抛物线焦点坐标为_________.（1，0） [巩固1]抛物线y2px(p0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=_____.2 [巩固2]AB是抛物线y2x的一条焦点弦，|AB|=4，则AB中点C的横坐标是__________. 2223 2y21的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为_______.x=-2 [巩固3]若抛物线y2px的焦点与双曲线x322 5
[例3] 已知点P是抛物线C：y [巩固1]点P是抛物线y4x上一动点，则点P到点A（0，-1）的距离与到直线x=-1的距离和的最小值是_______.2 [巩固2]已知抛物线方程为y4x，直线l的方程为x-y+4=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到直线223212 x上的动点，直线l：y=x-2，则点P到直线l的最短距离为________.42l的距离为d2，则d1+d2的最小值为__________. 2521 2[巩固3]已知P为抛物线x4y上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标为（2，0），则PAPM的最小值为_________.51 [例4]已知抛物线C：y8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且AK为_____.8 [巩固]已知直线l：x-y+1=0与抛物线：x4y交于A，B两点，点P为抛物线C上一动点，且在直线l下方，则 222AF，则△AFK的面积△PAB的面积的最大值为___________.42 5
题型一：抛物线的定义及应用 [例]已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求|PA|＋|PF|的最小值，并求出取最小值时点P的坐标． 解 将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±6. ∵6>2，∴A在抛物线内部，如图． 1设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d， 277当PA⊥l时，|PA|＋d最小，最小值为，即|PA|＋|PF|的最小值为， 22此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2)． [巩固] (2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，→→若FP＝4FQ，则|QF|等于_________. 答案 3 →→→→解析 ∵FP＝4FQ，∴|FP|＝4|FQ|， ∴|PQ|3＝. |PF|4知识模块3经典题型 如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′， |PQ||QQ′|3设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4，∴＝＝， |PF||AF|4∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C. 题型二：抛物线的标准方程和几何性质 [例]抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，它与圆x2＋y2＝9相交，公共弦MN的长为25，求该抛物线的方程，并写出它的焦点坐标与准线方程． 解 由题意，得抛物线方程为x2＝2ay (a≠0)． 设公共弦MN交y轴于A，N在y轴右侧， 则|MA|＝|AN|，而|AN|＝5. ∵|ON|＝3，∴|OA|＝32－52＝2，∴N(5，±2)． 5∵N点在抛物线上，∴5＝2a·(±2)，即2a＝±， 255故抛物线的方程为x2＝y或x2＝－y. 225550，，准线方程为y＝－. 抛物线x2＝y的焦点坐标为828 5
5550，－，准线方程为y＝. 抛物线x2＝－y的焦点坐标为828[巩固]如图，抛物线E：y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|CO|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N. （1）若点C的纵坐标为2，求|MN|； （2）若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圆C的半径． 解 (1)抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1. 由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为(1,2)， 所以点C到准线l的距离d＝2，又|CO|＝5， 所以|MN|＝2|CO|2－d2＝25－4＝2. 2y2y0y40022(2)设C(，y0)，则圆C的方程为(x－)＋(y－y0)＝＋y2， 44160即y202x－x＋y2－2y0y＝0. 2y202y－2y0y＋1＋＝0， 2由x＝－1，得设M(－1，y1)，N(－1，y2)，则 yyy＝2＋1.1220y2022－4>0，Δ＝4y0－41＋＝2y02 由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4， y20所以＋1＝4，解得y0＝±6，此时Δ>0. 233所以圆心C的坐标为(，6)或(，－6)， 22333333从而|CO|2＝，|CO|＝，即圆C的半径为. 422 题型三：抛物线焦点弦的性质 [例]设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O. 思维点拨 证明kOC＝kOA. p证明 方法一 设AB：x＝my＋，代入y2＝2px， 2得y2－2pmy－p2＝0. 由根与系数的关系，得yAyB＝－p2，即p2yB＝－. yApp∵BC∥x轴，且C在准线x＝－上，∴C(－，yB)． 22yB2pyA则kOC＝＝＝＝kOA.∴直线AC经过原点O. pyAxA－2方法二 如图，记准线l与x轴的交点为E，过A作AD⊥l，垂足为D.则AD∥EF∥BC.连接AC交EF于点N， 5
则|EN||CN||BF||NF||AF|＝＝，＝. |AD||AC||AB||BC||AB|∵|AF|＝|AD|，|BF|＝|BC|， ∴|EN|＝|AD|·|BF||AF|·|BC|＝＝|NF|， |AB||AB|即N是EF的中点，从而点N与点O重合， 故直线AC经过原点O. [巩固]已知抛物线C：y2＝2px (p>0)的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M、N两点，且|MN|＝8. （1）求抛物线C的方程； →→（2）设直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求PM·PN的最小值． p解 (1)由题意可知F2，0， p则该直线方程为：y＝x－， 2代入y2＝2px (p>0)， 得：x2－3px＋p2＝0. 4设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝3p. ∵|MN|＝8，∴x1＋x2＋p＝8， 即3p＋p＝8，解得p＝2. ∴抛物线的方程为y2＝4x. (2)设l方程为y＝x＋b，代入y2＝4x， 得x2＋(2b－4)x＋b2＝0， ∵l为抛物线C的切线，∴Δ＝(2b－4)2－4b2＝0， 解得b＝1，∴l方程为y＝x＋1. 由(1)可知：x1＋x2＝6，x1x2＝1. →由P(m，m＋1)，则PM＝(x1－m，y1－(m＋1))， →PN＝(x2－m，y2－(m＋1))， →→∴PM·PN＝(x1－m)(x2－m)＋[y1－(m＋1)][y2－(m＋1)] ＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2－(m＋1)(y1＋y2)＋(m＋1)2. ∵x1＋x2＝6，x1x2＝1， (y1y2)2＝16x1x2＝16，y1y2＝－4， 2y21－y2＝4(x1－x2)， x1－x2∴y1＋y2＝4＝4， y1－y2→→∴PM·PN＝1－6m＋m2－4－4(m＋1)＋(m＋1)2 ＝2(m2－4m－3)＝2[(m－2)2－7]≥－14. →→当且仅当m＝2，即点P的坐标为(2,3)时，PM·PN的最小值为－14. 题型四：直线与抛物线的综合性问题 5
[例]已知抛物线C：y＝mx2(m>0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. （1）求抛物线C的焦点坐标． （2）若抛物线C上有一点R(xR，2)到焦点F的距离为3，求此时m的值． （3）是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． →→思维点拨 (3)中证明QA·QB＝0. 11解 (1)∵抛物线C：x2＝y，∴它的焦点F(0，)． m4m(2)∵|RF|＝yR＋111，∴2＋＝3，得m＝. 4m4m42y＝mx，(3)存在，联立方程 2x－y＋2＝0， 消去y得mx2－2x－2＝0， 1依题意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0⇒m>－. 2设2)，B(x，mx2)，则A(x1，mx1222x·x＝－.m122x1＋x2＝，m (*) 2x1＋x2mx21＋mx2∵P是线段AB的中点，∴P(，)， 22111即P(，yP)，∴Q(，)． mmm1111→→2得QA＝(x1－，mx21－)，QB＝(x2－，mx2－)， mmmm→→若存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则QA·QB＝0， 11112即(x1－)·(x2－)＋(mx21－)(mx2－)＝0， mmmm46结合(*)化简得－2－＋4＝0， mm1即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－， 2111而2∈(－，＋∞)，－∉(－，＋∞)． 222∴存在实数m＝2，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形． 5[巩固]已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P，与C的交点为Q，且|QF|＝|PQ|. 4（1）求C的方程； （2）过F的直线l与C相交于A、B两点，若AB的垂直平分线l′与C相交于M、N两点，且A、M、B、N四点在同一圆上，求l的方程． 8解 (1)设Q(x0,4)，代入y2＝2px得x0＝. p8pp8所以|PQ|＝，|QF|＝＋x0＝＋. p22p 5
p858由题设得＋＝×， 2p4p解得p＝－2(舍去)或p＝2. 所以C的方程为y2＝4x. (2)依题意知l与坐标轴不垂直，故可设l的方程为x＝my＋1(m≠0)． 代入y2＝4x，得y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. 故AB的中点为D(2m2＋1,2m)， |AB|＝m2＋1|y1－y2|＝4(m2＋1)． 1又l′的斜率为－m，所以l′的方程为x＝－y＋2m2＋3. m4将上式代入y2＝4x，并整理得y2＋y－4(2m2＋3)＝0. m设M(x3，y3)，N(x4，y4)， 4则y3＋y4＝－，y3y4＝－4(2m2＋3)． m22故MN的中点为E(2＋2m2＋3，－)， mm|MN|＝ 4m2＋12m2＋111＋2|y3－y4|＝， mm21由于MN垂直平分AB，故A，M，B，N四点在同一圆上等价于|AE|＝|BE|＝|MN|， 211从而|AB|2＋|DE|2＝|MN|2， 44即4(m2＋1)2＋(2m＋4m2＋122m2＋12222)＋(2＋2)＝， mmm4化简得m2－1＝0，解得m＝1或m＝－1. 所求直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 夯实基础训练 11．(2014·安徽)抛物线y＝x2的准线方程是________. 41解析 ∵y＝x2，∴x2＝4y. 4∴准线方程为y＝－1. 2．(2014·辽宁)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为_______. 解析 ∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上， p∴＝2，∴p＝4. 2∴抛物线的方程为y2＝8x，则焦点F的坐标为(2,0)． 又A(－2,3)，根据斜率公式得kAF＝0－33＝－. 42＋23．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为__________. 5
p解析 ∵y2＝2px的焦点坐标为(，0)， 2p∴过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－， 2p即x＝y＋，将其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2， 2即y2－2py－p2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)， y1＋y2则y1＋y2＝2p，∴＝p＝2， 2∴抛物线的方程为y2＝4x，其准线方程为x＝－1. y1y24．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于______. x1x2解析 ①若焦点弦AB⊥x轴， pp2则x1＝x2＝，所以x1x2＝； 24p②若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB：y＝k(x－)， 2p2k2联立y＝2px得kx－(kp＋2p)x＋＝0， 42222p2则x1x2＝. 4y1y2故y1y2＝－p2.故＝－4. x1x2 5．如图，过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为_________. 答案 y2＝3x 解析 如图，分别过A、B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∵|BC|＝2|BF|， ∴|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°，连接A1F，则△AA1F为等边三角形，11过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|＝|A1F1|＝|AA1|＝|AF|，223即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x，故选C. 26．(2013·江西)抛物线则p＝________. 答案 6 ppx2y2，－解析 由题意知B2，代入方程3－3＝1得p＝6. 3 5
x2＝2py(p>0)的焦点为x2y2F，其准线与双曲线－＝1相交于A、B两点，若△ABF为等边三角形，33 7．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ＝______. 答案 32 2解析 如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0)，又|PF|＝3，由抛物线定义知：点P到准线x＝－1的距离为3，∴点P的横坐标为2. 将x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由图知点P的纵坐标y＝22， ∴P(2,22)，∴直线PF的方程为y＝22(x－1)． y＝22x－1，联立直线与抛物线的方程2 y＝4x，1x＝2，x＝2，解之得或 y＝22.y＝－2 1113，－2，∴S△OPQ＝|OF|·由图知Q|y2. P－yQ|＝×1×|22＋2|＝22228．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的准线为l，过M(1,0)且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B，若AM＝MB，则p＝________. 答案 2 解析 如图，由AB的斜率为3， 知∠α＝60°，又AM＝MB， ∴M为AB的中点． 过点B作BP垂直准线l于点P， 则∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°. 1∴|BP|＝|AB|＝|BM|. 2p∴M为焦点，即＝1，∴p＝2. 29．如图，已知抛物线y2＝2px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程． 解 设直线OA的方程为y＝kx，k≠0， 1则直线OB的方程为y＝－x， ky＝kx，2p由2得x＝0或x＝2. ky＝2px，→→→→ 2p2p2∴A点坐标为k2，k，同理得B点坐标为(2pk，－2pk)， 由|OA|＝1，|OB|＝8， k2＋124p4＝1， ①k可得 4p2k2k2＋1＝64， ② 5
②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4. 则p2＝164＝. 2kk＋1522545又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x. 5510．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点． →→（1）若AF＝2FB，求直线AB的斜率； （2）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值． 解 (1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1. 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得 y2－4my－4＝0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.① →→因为AF＝2FB，所以y1＝－2y2.② 2联立①和②，消去y1，y2，得m＝±. 4所以直线AB的斜率是±22. (2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点， 从而点O与点C到直线AB的距离相等， 所以四边形OACB的面积等于2S△AOB. 1因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2| 2＝y1＋y22－4y1y2＝41＋m2， 所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4. 能力提升训练 511．(2014·课标全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，x0等于______. 41解析 由抛物线的定义，可得|AF|＝x0＋， 4515∵|AF|＝x0，∴x0＋＝x0，∴x0＝1. 44412．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为__________. 解析 如图所示，由题意， 可得|OF|＝1，由抛物线的定义， 得|AF|＝|AM|， ∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1， ∴S△AMF S△AOF 5
＝＝3， 1×|OF|×|AF|×sinπ－∠MAF221×|AF|×|AM|×sin∠MAF2y0，y0， ∴|AF|＝|AM|＝3，设A42y0y20∴＋1＝3，∴＝2，y0＝±22， 44∴点A的坐标是(2，±22)． 13．(2013·课标全国Ⅰ)O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝42x的焦点，P为C上一点，若|PF|＝42，则△POF的面积为________． 答案 23 解析 由y2＝42x知：焦点F(2，0)，准线x＝－2. 设P点坐标为(x0，y0)， 则x0＋2＝42，∴x0＝32， 2＝42×32＝24， ∴y0∴|y0|＝26， 1∴S△POF＝×2×26＝23. 2 →→14．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若MA·MB＝0，则k＝________. 答案 2 解析 抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)． 8则x1＋x2＝4＋2，x1x2＝4. k8所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16. k→→因为MA·MB＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0， 将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2. 15．(2014·安徽)如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1，E2分别交于B1，B2两点． （1）证明：A1B1∥A2B2. （2）过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2S1的面积分别为S1与S2，求的值． S2(1)证明 设直线l1，l2的方程分别为y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)， 由y＝k1x，y2＝2p1x， 2p12p1得A1k2，k， 11 5
由y＝k1x，y2＝2p2x， 222p22p2得A2k2，k. 112p12p12p22p2，同理可得B1，Bk2k2k2，k. 2222p12p12p12p11111→－，－所以A1B1＝＝2p12－2，－kk2k2kkkkk. 12121212p22p22p22p21111→A2B2＝(2－2，－)＝2p2(2－2，－)． k2k1k2k1k2k1k2k1→p1→故A1B1＝A2B2，所以A1B1∥A2B2. p2(2)解 由(1)知A1B1∥A2B2，同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2， 所以△A1B1C1∽△A2B2C2. →S1|A1B1|2因此＝. S2→|A2B2|→→p1→|A1B1|p1又由(1)中的A1B1＝A2B2知＝， p2p2→|A2B2|S1p21故＝2. S2p2
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