抛物线知识点归纳总结与金典习题

y22px(p0)抛 物 线 l y y22px(p0)y x22py(p0)y F O x l x22py(p0)y O F l O x l x O F x F 定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。 ｛MMF =点M到直线l的距离} x0,yR xR,y0 xR,y0 范围 对称性 焦点 顶点 离心率 准线 方程 顶点到准线的距离 焦点到准线的距离 焦半径 A(x1,y1) x0,yR 关于x轴对称 （p,0） 2关于y轴对称 pp，0） （0,) 22焦点在对称轴上 （(0，p） 2O(0,0) e=1 xp 2xp 2p 2yp 2yp 2准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。 p AFx1p 2AFx1p 2AFy1p 2AFy1p 2焦 点弦 长 (x1x2)p (x1x2)p (y1y2)p (y1y2)p AB 焦点弦 y o Ax1,y1 x Bx2,y2 F AB的几条性质A(x1,y1)B(x2,y2) 以AB为直径的圆必与准线l相切 2p2pAB 若的倾斜角为，则 ABsin2cos2若AB的倾斜角为，则ABp2x1x2 y1y2p2 411AFBFAB2 AFBFAF•BFAF•BFp切线 y0yp(xx0) y0yp(xx0) 方程

1. 直线与抛物线的位置关系 直线

，抛物线

，

x0xp(yy0) x0xp(yy0) ，消y得：

（1）当k=0时，直线l与抛物线的对称轴平行,有一个交点； (2）当k≠0时，

Δ＞0，直线l与抛物线相交，两个不同交点; Δ=0， 直线l与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线l与抛物线相离，无公共点.

（3）若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？（不一定）

2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线l：ykxb 抛物线

① 联立方程法：

ykxbk2x22(kbp)xb20 2y2px,(p0)

设交点坐标为A(x1,y1)，B(x2,y2)，则有0,以及x1x2,x1x2,还可进一步求出

y1y2kx1bkx2bk(x1x2)2by1y2(kx1b)(kx2b)k2x1x2kb(x1x2)b2

，

在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法,比如 a. 相交弦AB的弦长

AB1k2x1x21k2(x1x2)24x1x21k2 a或 AB11122yy1(yy)4yy 1k121212k2k2ab. 中点M(x0,y0)， x0② 点差法:

x1x2yy2, y01 22设交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，代入抛物线方程,得

y12px1 y22px2

22将两式相减,可得

(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)

y1y22px1x2y1y2

2p y1y2a. 在涉及斜率问题时，kABb. 在涉及中点轨迹问题时，设线段AB的中点为M(x0,y0)，

y1y22p2pp， x1x2y1y22y0y0 即kABp， y0同理，对于抛物线x22py(p0)，若直线l与抛物线相交于A、B两点,点

M(x0,y0)是弦AB的中点，则有kABx1x22x0x0 2p2pp（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2)直线的斜

率存在，且不等于零）

一、抛物线的定义及其应用

例1、设P是抛物线y2＝4x上的一个动点．

(1)求点P到点A（－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；

(2)若B(3，2），求｜PB|＋|PF|的最小值．

例2、(2011·山东高考)设M（x0，y0）为抛物线C：x2＝8y上一 点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、｜FM｜为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是( ）

A．（0,2） B．[0，2］ C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、抛物线y＝2px(p〉0）的焦点为F，准线为l,经过F的直线与抛物线交于

2

A、B两点,交准线于C点,点A在x轴上方，AK⊥l,垂足为K,若|BC｜＝2｜BF|，且｜AF|＝4,则△AKF的面积是 （ ） A．4 B．33 C．43 D．8

例4、过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若｜BC｜＝2|BF｜，且｜AF|＝3则此抛物线的方程为 ( ） A．y2＝错误!x B．y2＝9x C．y2＝错误!x D．y2＝3x

三、抛物线的综合问题

例5、(2011·江西高考)已知过抛物线y2＝2px(p>0）的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A（x1，y1),B（x2，y2)（x1〈x2）两点，且｜AB|＝9。 （1）求该抛物线的方程；

（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若的值．

OC＝ OA＋λOB,求λ例6、（2011·湖南高考)(13分）已知平面内一动点P到点F(1,0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1。 (1）求动点P的轨迹C的方程；

(2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨迹C相交于点A,B，

l2与轨迹C相交于点D，E，求

ADEB的最小值

· 例7、已知点M（1，y）在抛物线C：y＝2px（p〉0)上，M点到抛物线C的焦点

2

F的距离为2，直线l:y＝－错误!x＋b与抛物线C交于A，B两点． (1)求抛物线C的方程;

（2）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程．

练习题

1．已知抛物线x2＝ay的焦点恰好为双曲线y2－x2＝2的上焦点，则a等于 ( )

A．1 B．4 C．8

D．16

2．抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 ( )

A．－错误!

B．－错误! C。错误!

D.错误!

3．（2011·辽宁高考)已知F是拋物线y2＝x的焦点，A，B是该拋物线上的两点,|AF｜＋｜BF｜＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为 ( ) A。错误!

2

B．1 C。错误! D.错误!

4．已知抛物线y＝2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是 （ ）

A．相离

B．相交 C．相切

D．不确定

5．(2012·宜宾检测）已知F为抛物线y2＝8x的焦点,过F且斜率为1的直线交抛物线于

A、B两点，则｜|FA｜－|FB|｜的值等于

B．8C． 8错误!

D．16

（ ） A．4错误!

6．在y＝2x2上有一点P，它到A（1，3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是 ( )

A．(－2，1)

B．(1，2） C．(2，1)

D．（－1，2)

7．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－错误!，那么|PF|＝ ( ）

A．4错误! B．8 C．8错误! D．16 8．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2,则抛物线的方程是 ( )

A．y2＝－8x B．y2＝8x C．y2＝－4x D．y2＝4x 9．（2012·永州模拟）以抛物线x2＝16y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为________．

10．已知抛物线的顶点在原点,对称轴为y轴，抛物线上一点Q（－3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为________．

11．已知抛物线y2＝4x与直线2x＋y－4＝0相交于A、B两点,抛物线的焦点为F，那么| FA| ＋| FB| ＝________。

12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B(x2， y2）两点，

若x1＋x2＝6，那么 |AB|等于________ 13．根据下列条件求抛物线的标准方程:

（1)抛物线的焦点是双曲线 16x2－9y2＝144的左顶点； (2)过点P(2，－4)．

14．已知点A（－1，0），B(1，－1），抛物线C:y2＝4x，O为坐标原点,过点A的动直线l交抛物线C于M,P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OM与OP的夹角为错误!，求△POM的面积．

一、抛物线的定义及其应用

例1、（1)如图，易知抛物线的焦点为F（1,0)，准线是x＝－1.

由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到焦点F的距离． 于是，问题转化为:在曲线上求一点P，使点P到点A(－1,1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小．显然,连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为｜AF｜，即为错误!.

（2）如图，自点B作BQ垂直准线于Q,交抛物线于点P1,则|P1Q｜＝|P1F｜。则有|PB|＋｜PF｜≥｜P1B｜＋｜P1Q｜＝|BQ|＝4.即｜PB|＋｜PF｜的最小值为4。

例2、解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p＝4，根据已 知只要｜FM｜〉4即可．根据抛物线定｜FM|＝y0＋2由y0＋2〉4，解得y0>2，故y0的取值范围是(2，＋∞)．

二、抛物线的标准方程和几何性质

例3、设点A(x1，y1），其中y1>0.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有 |BF｜＝|BB1｜;又｜CB｜＝2｜FB｜，因此有|CB|＝2|BB1|，cos∠CBB1＝错误!＝1π，∠CBB1＝.即直线AB与x轴的夹角为错误!。又|AF|＝｜AK｜＝x1＋错误!＝4，23因此y1＝4sin错误!＝2错误!，因此△AKF的面积等于错误!|AK|·y1＝错误!×4×23＝4错误!。

例4．分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1,由已知条件|BC|＝2｜BF|得｜BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30°，又｜AA1|＝|AF|＝3，

∴|AC｜＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝｜AC|－|AF｜＝6－3＝3，∴F为线段AC的中点．故点F到准线的距离为p＝错误!|AA1|＝错误!,故抛物线的方程为y2＝3x。 三、抛物线的综合问题

例5、（1）直线AB的方程是y＝2错误!(x－错误!)，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0,所以：x1＋x2＝错误!，由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9， 所以p＝4,从而抛物线方程是y2＝8x。

(2）由p＝4,4x2－5px＋p2＝0可简化为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4,y1＝－22，y2＝4错误!,从而A(1，－2错误!），B(4，4错误!）； 设 OC＝（x，y)＝(1，－2错误!)＋λ(4，4错误!）＝（4λ＋1，4错误!λ－

3

3

2错误!）．

2又y23＝8x3,即［2错误!(2λ－1)］＝8（4λ＋1)．

即（2λ－1)2＝4λ＋1。解得λ＝0,或λ＝2.

例6、 （1）设动点P的坐标为(x，y)，由题意有错误!－｜x|＝1。化简得y2＝2x＋2｜x｜.

当x≥0时,y2＝4x；当x<0时,y＝0。

所以，动点P的轨迹C的方程为y2＝4x(x≥0）和y＝0(x〈0)． (2）由题意知，直线l1的斜率存在且不为0，设为k，则l1的方程为y＝k(x－1）．由错误!，得k2x2－（2k2＋4）x＋k2＝0. (7分)

设A(x1，y1），B(x2，y2),则x1，x2是上述方程的两个实根,于是x1＋x2＝2＋错误!，

x1x2＝1. （8分）

因为l1⊥l2，所以l2的斜率为－错误!. 设D(x3,y3），E（x4,y4),则同理可得

x3＋x4＝2＋4k2，x3x4＝1。 ＝(x1＋1）（x2＋1）＋(x3＋1）·(x4＋1）

＝ x1x2＋(x1＋x2)＋1＋x3x4＋（x3＋x4)＋1 （11分）

4

＝1＋（2＋2）＋1＋1＋(2＋4k2)＋1＝8＋4（k2＋错误!)≥8＋4×2错误!＝16。

k当且仅当k2＝错误!，即k＝±1时， ADEB取最小值16。

·

例7 、(1）抛物线y2＝2px(p〉0)的准线为x＝－错误!，由抛物线定义和已知条件可知

|MF｜＝1－（－错误!）＝1＋错误!＝2,解得p＝2， 故所求抛物线C的方程为y2＝4x。

(2)联立错误!消去x并化简整理得y2＋8y－8b＝0。

依题意应有Δ＝64＋32b>0，解得b〉－2。设A(x1，y1），B（x2，y2）,则y1

＋y2＝－8，y1y2＝－8b，设圆心Q（x0,y0)，则应用x0＝错误!,y0＝错误!＝－4。 因为以AB为直径的圆与x轴相切，所以圆的半径为r＝|y0|＝4。 又｜AB|＝错误!＝错误!＝ 5［

y1＋y2

2

－4y1y2］＝错误!

所以｜AB｜＝2r＝错误!＝8，解得b＝－错误!. 所以x1＋x2＝2b－2y1＋2b－2y2＝4b＋16＝错误!, 则圆心Q的坐标为(

24

，－4）．故所求圆的方程为（x－错误!）2＋(y＋4)2＝16. 5

练习题:

1．解析：根据抛物线方程可得其焦点坐标为（0,)，双曲线的上焦点为（0，2），

4依题意则有错误!＝2解得a＝8。

2．解析：抛物线方程可化为x2＝－错误!，其准线方程为y＝错误!.设M(x0，y0),则由抛物线的定义，可知

1

－y0＝1⇒y0＝－错误!. 16

a3．解析:根据拋物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：

错误!（|AF｜＋｜BF|)－错误!＝错误!－错误!＝错误!。

4．解析：设抛物线焦点弦为AB，中点为M，准线l，A1、B1分别为A、B在直线

l上的射影，则｜AA1|＝|AF｜，｜BB1|＝｜BF|，于是M到l的距离d＝错误（!|AA1｜＋|BB1|)＝错误!(｜AF｜＋｜BF|）＝错误!|AB|＝半径，故相切．

5．解析：依题意F(2,0),所以直线方程为y＝x－2由错误!，消去y得x2－12x＋4＝0.设A(x1，y1)，B(x2,y2)，则||FA|－|FB|｜＝|（x1＋2）－（x2＋2)｜＝|x1－x2|＝错误!＝错误!＝8错误!.

6．解析：如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线,F为其焦点,PN⊥l，AN1⊥l，由抛物线的定义知,｜PF|＝｜PN｜,∴｜AP|＋|PF|＝｜AP｜＋｜PN｜≥｜AN1|，当且仅当A、P、N三点共线时取等

号．∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1,则可排除A、C、D.答案：B 7．解析:设抛物线y2＝8x的焦点为F,准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF｜＝ （ ) A．4错误! B．8 C．8错误! D．16

8．解析：由准线方程x＝－2,可知抛物线为焦点在x轴正 ,半轴上的标准方程，同时得p＝4，所以标准方程为 y2＝2px＝8x

9．解析：抛物线的焦点为F(0,4)，准线为y＝－4，则圆心为(0,4)，半径r＝8。 所以，圆的方程为x2＋（y－4)2＝64。

10．解析：设抛物线方程为x2＝ay（a≠0)，则准线为y＝－错误!。∵Q（－3，m）在抛物线上，∴9＝am.而点Q到焦点的距离等于点Q到准线的距离，∴｜m－（－

错误!）|＝5。将m＝错误!代入,得|错误!＋错误!｜＝5，解得，a＝±2，或a＝±

18，∴所求抛物线的方程为x2＝±2y，或x2＝±18y。

11．解析:由错误!，消去y,得x2－5x＋4＝0（＊），方程(*）的两根为A、B两点的横坐标，故x1＋x2＝5，因为抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，所以| FA| ＋| FB｜ ＝（x1＋1）＋（x2＋1)＝7

12．解析:因线段AB过焦点F，则|AB|＝｜AF|＋｜BF｜.又由抛物线的定义知｜

AF|＝x1＋1，｜BF｜＝x2＋1，故｜AB|＝x1＋x2＋2＝8.

13．解析:双曲线方程化为错误!－错误!＝1，左顶点为（－3,0),由题意设抛物线方程为

y＝－2px(p>0）,则－＝－3，∴p＝6，∴抛物线方程为y2＝－12x.

2

（2)由于P(2,－4）在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴，可设抛物线方程为y2＝mx或x2＝ny，代入P点坐标求得m＝8，n＝－1， ∴所求抛物线方程为y2＝8x或x2＝－y。 14．解：设点M(错误!，y1)，P（错误!，y2),

∵P，M，A三点共线， ∴kAM＝kPM,

即错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴y1y2＝4.

∴ OM· OP＝错误!·错误!＋y1y2＝5。∵向量 OM与 OP的夹角为错误!，

∴| OM|·|OP ｜·cos错误!＝5。∴S△POM＝错误!｜ OM| ·｜

2

pOP｜ ·sin错误!＝错误!.